Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag der Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Wir berechnen

$\displaystyle \left<v\right>$ $\displaystyle =\int\limits_{0}^{\infty }vf\left( v\right) dv$    
  $\displaystyle = \int\limits_{0}^{\infty }v\;\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{- \frac{mv^{2}}{2kT}} dv$    
  $\displaystyle = \int\limits_{0}^{\infty }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}v^{3}e^{- \frac{mv^{2}}{2kT}} dv$    
  $\displaystyle = \int\limits_{0}^{\infty }B\; v^3\; e^{-A\; v^2} dv$    

mit $ A= \frac{m}{2kT}$ und $ B = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(
\frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}$. Zur Lösung machen wir die Substitution $ x=v^2$. Dann ist $ 2v\; dv = dx$. Das Integral wird dann durch partielle Integration gelöst

$\displaystyle \left<v\right>$ $\displaystyle =\frac{B}{2} \int\limits_{0}^{\infty } x\;e^{-A\;x}$    
  $\displaystyle = \frac{B}{2}\left[\left.x\;\frac{1}{-A}\;e^{-A\;x}\right\vert _0^\infty-\frac{1}{-A}\int\limits_0^\infty \;e^{-A\;x} dx\right]$    
  $\displaystyle =\frac{B}{2}\left[ \left.-\frac{x}{A}\;e^{-A\;x}\right\vert _0^\infty+\left.\frac{1}{A}\frac{1}{-A}e^{-A\;x}\right\vert _0^\infty\right]$    
  $\displaystyle = \frac{B}{2}\left[0 -\frac{1}{A^2}(-1)\right]$    
  $\displaystyle = \frac{B}{2\;A^2}$    

Zurück eingesetzt ergibt

$\displaystyle \left<v\right>$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ (E..715)

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm