Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten
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Mitgeführtes orthogonales
Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem
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Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten ,
und
,
andererseits die Kugelkoordinaten
,
, und
. Am Punkt
definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine
Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils
durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig
orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System
,
und
und im mitgeführten
kartesischen System
,
und
.
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Betrachtung in der
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Wir betrachten zuerst die -Ebene. Die Projektion des Ortsvektors
auf diese Ebene nennen
wir
. Wir erhalten also die
Beziehungen (Einheitsvektoren!)
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(G..734) |
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(G..735) |
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Betrachtung in der
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Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren
und
. In dieser Darstellung ist
radial und
zeigt in die Richtung der positiven
-Koordinate. Dadurch ist
auch
,
und
in dieser
Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man
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(G..736) |
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||
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||
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(G..737) |
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||
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Dabei merken wir uns, dass und
Funktionen der Zeit sind.
Zusammenfassend erhalten wir
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(G..738) |
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(G..739) |
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(G..740) |
Wir wissen, dass
,
und
ein
orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere
und
. Wenn wir mit diesem Wissen
,
und
sowie
,
und
berechnen, können wir
zeigen, dass auch das Koordinatensystem
,
und
ein orthogonales Koordinatensystem ist.
Wenn wir dieses Gleichungssystem nach
,
und
auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen
Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.