Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten
Mitgeführtes orthogonales
Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem
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Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten , und , andererseits die Kugelkoordinaten , , und . Am Punkt definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System , und und im mitgeführten kartesischen System , und .
Betrachtung in der -Ebene für
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Wir betrachten zuerst die -Ebene. Die Projektion des Ortsvektors auf diese Ebene nennen wir . Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)
(G..734) | ||
(G..735) |
Betrachtung in der -Ebene zur Bestimmung von und
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Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren und . In dieser Darstellung ist radial und zeigt in die Richtung der positiven -Koordinate. Dadurch ist auch , und in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man
(G..736) | ||
(G..737) | ||
Dabei merken wir uns, dass und Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir
(G..738) | ||
(G..739) | ||
(G..740) |
Wir wissen, dass , und ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere und . Wenn wir mit diesem Wissen , und sowie , und berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem , und ein orthogonales Koordinatensystem ist.
Wenn wir dieses Gleichungssystem nach , und auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen
Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.