Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 64])

Berechnung des Stromes in einem Medium

Wir betrachten Ladungsträger mit der einheitlichen Ladung q. Die Ladungsträgerdichte $n_{j}$ habe die Geschwindigkeit $\vec{v}_{j}$.

Der Strom $\delta I_{j}$ durch das Flächenelement $d\overrightarrow{f}$ ist

$$\delta I_{j}=\frac{\delta Q_{j}}{dt}$$ (3.2)

Die Ladungsmenge ist

$$\delta Q_{j}=qn_{j}\mid\vec{v}_{j}\mid\cdot dt\cdot\cos\alpha\cdot\mid d\vec{a}\mid$$ (3.3)

und damit

$$\delta I_{j}=qn_{j}\mid\vec{v}_{j}\mid\cos\alpha\mid d\vec{a}\mid=qn_{j} \vec{v}_{j}\cdot d\vec{a}$$ (3.4)

Der gesamte Strom der Ladungsträger $q$ ist dann

$$dI\left( d\vec{a}\right) =nq\;\frac{1}{n}\left( \sum\limits_{j}n_{j} \vec{v}_{j}\right) \cdot d\vec{a}$$ (3.5)

wobei $n=\Sigma n_{j}$ ist.

Die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger ist

$$<\vec{v}>=\frac{1}{n}\sum\limits_{j}nq\vec{v}_{j}$$ (3.6)

Wir definieren das Vektorfeld der Stromdichte

$$\vec{i}=nq<\vec{v}>$$ (3.7)

$\overrightarrow{i}$ ist abhängig vom Ort, da auch $n$ und $<\overrightarrow{v}>$ ortsabhängig sind.

Der Strom bezüglich $d\vec{a}$ ist dann

$$dI\left( d\vec{a}\right) =\vec{i}\cdot d\vec{a}$$ (3.8)

und, integriert,

$$I\left( A\right) =\int\limits_{A}\vec{i}\cdot d\vec{a}$$ (3.9)

Diese Gleichung besagt, dass der Strom gleich dem Fluss des Stromdichtefeldes durch eine Fläche $A$ ist.

Wird der Strom durch mehrere Arten von Ladungsträgern gebildet, schreibt man

$$\vec{i}=\sum\limits_{k}n_{k}q_{k}<\vec{v}_{k}>$$ (3.10)

Beispiel

Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit $10 mm$ Durchmesser und $I=100 A$

Annahme: 1 Elektron pro Cu - Atom

Anzahl Cu - Atome pro Volumen

$$n_{a} = \frac{\rho N_A}{M}=\frac{8930\frac{kg}{m^{3}}\cdot 6.02\cdot10^{23} \frac{1}{Mol}}{0.0635kg/Mol}$$ (3.11)

$$= 8.47\cdot10^{28}\frac{1}{m^{3}}=n_{e}$$

$$\left\langle v\right\rangle = \frac{I}{n e A}=$$ (3.12)

$$\frac{100A}{ 8.47\cdot10^{28}\frac{1}{m^{3}}\cdot\frac{\pi}{4}\left( 0.01\right) ^{2}m^{2}\cdot1.6\cdot10^{-19}C }$$

$$\approx 1 \mu m/s$$

Mit $v(t) = v_0\cos(2\pi \nu t)$ und $x(t) = \int v(t) dt$ hat man

$$x(t) = \frac{v_0}{2\pi \nu} \sin (2\pi \nu t) + const$$

Die maximale Strecke erhält man wenn der Sinus von $-1$ nach $+1$ geht.

Folgerung: bei $\nu = 50 Hz$ Wechselstrom zittern die Elektronen einige $\frac{1 \mu m/s}{2\pi \cdot 50 Hz} \cdot 2 \approx 6.4 nm$ weit.

Berechnung des Flusses eines Stromdichtefeldes durch ein geschlossenes Gebiet

Wir betrachten eine geschlossene Fläche $A$, die wir in zwei Teilflächen $A'$ und $A''$ aufteilen, so dass auf der Fläche $A'$ die Feldlinie aus der Fläche austreten und auf der Fläche $A''$ sie eindringen.

Die Ladungserhaltung fordert:

$$I_{aus}-I_{ein}=-\frac{d}{dt}Q_{innen}$$ (3.13)

Wir schreiben die Gleichung mit der Stromdichte um

$$\int\limits_{A'}\vec{i}\cdot da'-\int\limits_{A''}{\vec{i}}\... ...t) =-\frac{d} {dt}\int\limits_{V\left( A\right) }\rho_{el}{dV}$$ (3.14)

oder

$$\int\limits_{A}\vec{i}\cdot d\vec{a}=-\frac{d}{dt}\int\limits_{V} \rho_{el}{dV}$$ (3.15)

Dies ist die Integralform der Kontinuitätsgleichung.

Mit dem Gaussschen Satz bekommen wir

$$\int\limits_{A}{\vec{i}}\cdot d\vec{a}=\int\limits_{V}\textr... ...c{i}dV=\int\limits_{V}\frac{\partial}{\partial t}\rho_{el}{dV}$$ (3.16)

Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung lautet demnach:

$$\textrm{div} {}\vec{i}\left( \vec{x},t\right) =-\frac{\partial}{\partial t}\rho_{el}\left( \vec{x},t\right)$$ (3.17)

Bei stationären Strömen hängen $\overrightarrow{i}$ und $\rho_{el}$ nicht von der Zeit ab, so dass

$$\textrm{div} {}\vec{i}=0$$ (3.18)

ist.

$$\int\limits_{A}{\vec{i}}\cdot d\vec{a}=0$$ (3.19)

Beispiel

Stromfluss in einem Kondensator

Wir betrachten eine quasistationäre Änderung am Kondensator

$$\int\!\!\!\! {\displaystyle\int\limits_{A_{1}}} \vec{i}\cdot... ...!\! {\displaystyle\int\limits_{a_{2}}} \vec{i}\cdot d\vec{a}=0$$ (3.20)

Mit $I_{1}=- {\displaystyle\int}\!\!\! {\displaystyle\int\limits_{a_{1}}} \vec{i}\cdot d\vec{a}$ und $I_{2}= {\displaystyle\int}\!\!\! {\displaystyle\int\limits_{a_{2}}} \vec{i}d\vec{a}$ folgt

$$I_{1}=I_{2}$$ (3.21)

d.h. es scheint, als ob der Strom durch den Kondensator hindurch fliessen würde.

Wenn wir die Kontinuitätsgleichung auf $A_{2}$ anwenden, bekommen wir

$${\displaystyle\int}\!\!\! {\displaystyle\int\limits_{a_{3}}}... ...d\vec{a}=-I_{1}\left( t\right) =-\frac{dQ\left( t\right) }{dt}$$ (3.22)

oder

$$I\left( t\right) =\frac{dQ\left( t\right) }{dt}$$ (3.23)

Die Einheit der Stromstärke ist Ampère $\left[ A\right]$

$$1A=1\frac{C}{s}$$ (3.24)