Das Ohmsche Gesetz

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 71]) (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 751])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 28. 11. 2002 (PDF)

Übungsblatt 04 vom 28.11.2002 (HTML oder PDF)

Versuch zur Vorlesung: Strom-Spannungs-Kennlinie EM-83

Allgemein gilt für einen Leiter, dass

$$\vec{i}\left( \vec{E}\right) =f\left( \vec{E}\right)$$ (3.25)

eine beliebige Funktion des angelegten Feldes $\vec{E}$ ist. Im linearen Fall

$$\vec{i}\left( \vec{E}\right) =\sigma\vec{E}$$ (3.26)

spricht man von einem Ohmschen Leiter (

Versuch zur Vorlesung: Ohmscher Leiter EM-117

). $\sigma$ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist

$$\left[ \sigma\right] =\frac{A}{m^{2}} \frac{ m}{ V } =\frac{A}{Vm}$$

Das Gesetz Gleichung (3.26) heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir

$${\displaystyle\int\limits_{F}} \vec{i}d\vec{a}=I= {\displays... ...aystyle\int\limits_{F}} \sigma\frac{U}{d}da=\sigma\frac{F}{d}U$$ (3.27)

Dabei haben wir angenommen, dass $\overrightarrow{i}$ und $\sigma$ konstant über $F$ sind. Das integrale Ohmsche Gesetz kann auch als

$$I=G\cdot U$$ (3.28)

geschrieben werden. $G$ ist der Leitwert. Die Einheit ist

$$\left[ G\right] =\textrm{Siemens}=\frac{A}{Vm}\frac{m^{2}}{m}=\frac{A}{V}$$

Bekannter ist die Form

$$U=\frac{1}{G}\cdot I=R\cdot I$$ (3.29)

$R=\frac{1}{G}$ ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm

$$\left[ R\right] =\Omega=\frac{1}{S}=\frac{V}{A}=\frac{W}{A^{2}}$$

Die zu $R$ gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand

$$\rho=\frac{1}{\sigma}$$ (3.30)

Die Einheiten sind

$$\left[ \rho\right] =\frac{Vm}{A}=\Omega m=\frac{m}{S}$$

sowie

$$\left[ \sigma\right] =\frac{A}{Vm}=\frac{S}{m}=\frac{1}{\Omega m}$$

Wir betrachten die Bewegung von Ionen $\left( <v>\thickapprox100m/s\right)$ in einer Umgebung von nicht ionisierten Molekülen

Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.

Die Masse der Ionen sei $M$, ihre Ladung $q$ und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement $N$

Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet

$$\vec{F}=q\vec{E}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$ (3.31)

oder

$$\Delta\vec{p}=q\vec{E}\Delta t$$ (3.32)

wobei $\Delta t$ die freie Flugzeit ist.

Der mittlere Impuls ist

$$M\left\langle \vec{v}\right\rangle =\frac{1}{N}\sum\limits_{... ...{N}\left[ M\vec{v}_{j}^{\left( k\right) }+q\vec{E}t_{j}\right]$$ (3.33)

$\left\langle \vec{v}\right\rangle$ ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, $\vec{v}_{j}^{\left( k\right) }$ die Geschwindigkeit nach dem letzten Stoss.

Sind die Geschwindigkeiten $\vec{v}_{j}^{\left( k\right) }$ isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu null. Unter dieser Annahme ist

$$M\left\langle \vec{v}\right\rangle =q\vec{E}\left(\frac{1}{N}\sum t_{j}\right) =qE\left\langle t\right\rangle$$ (3.34)

wobei $\left\langle t\right\rangle =\tau$ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Also ist

$$\left\langle \vec{v}\right\rangle =\frac{q\left\langle t\right\rangle}{M}\vec{E}=\frac{q\tau}{M}\vec{E}$$ (3.35)

und

$$\vec{i}=n\frac{q^{2}\left\langle t\right\rangle}{M}\vec{E}=n\frac{q^{2}\tau}{M}\vec{E}$$ (3.36)

Dabei ist $n$ die Dichte der Ladungsträger.

Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger

$$\sigma=\sum\limits_{k}n_{k}\frac{q_{k}^2\tau_{k}}{M_{k}}$$ (3.37)

Wir haben $\tau=\left\langle t\right\rangle$ gesetzt.

Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn $\tau$ und $n_{k}$ unabhängig von $\vec E$ sind,

Beispiel: Metall

Wir nehmen an, dass $m_{e}«m_{kern}$ ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem Stossen isotrop verteilt. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist $<v_{e}>=10^{5}m/s$ (kinetische Gastheorie). Mit

$$\frac{1}{\rho_{\exp}}=\sigma=n_{e}\frac{e^{2}\tau}{m_{e}}$$ (3.38)

bekommen wir

$$\tau=\frac{m_{e}}{\rho_{\exp}n_{e}e^{2}}=3.3\cdot10^{-14}s$$ (3.39)

(mit $\rho_{\exp}=4.3\times10^{-8}\Omega m$ und $n_{e}=2.5\cdot10^{28}\frac {1}{m^{3}}$ für Na-Metall)

Die mittlere freie Weglänge ist dann

$$\lambda=\left<v_{e}\right>\tau=3.3nm$$ (3.40)

im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1nm $\Longrightarrow$ Lösung: Quantenmechanik

Versuch zur Vorlesung: Leitfähigkeit EM-172

Versuch zur Vorlesung: Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit TH-122

Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist $\rho =0$ im Inneren. Dies folgt aus

1. Ohmsches Gesetz $\vec{i}\left( x,y,z\right) =\sigma\vec{E}\left( x,y,z\right)$
2. Kontinuitätsgleichung $\textrm{div} {}\vec{i}=0$, also $\textrm{div} {}\left( \sigma\vec{E}\right) =0$ und damit $\textrm{div} {}\vec{E}=0$
3. das Gausssche Gesetz sagt $\textrm{div} {}\vec{E}=\frac{\rho_{el} }{\epsilon_{0}}$
4. damit folgt die Behauptung, dass $\rho_{el}=0$.

Aus der Eigenschaft

$$\vec{E}=-\textrm{grad} {}\varphi=-\textrm{grad} {}U$$ (3.41)

erhalten wir im Inneren eines Leiters

$$\textrm{div} {}\vec{E}=\textrm{div} {}\textrm{grad} {}\varphi=\Delta\varphi=0$$ (3.42)

Dies bedeutet, dass $\varphi$ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters ein Potentialfeld ist. Die Lösung von

$$\Delta\varphi=0$$ (3.43)

ist durch die Randbedingungen

1. $U\phi=const$ an den Elektrodenflächen
2. $\vec{i}_{\perp}=0$ sonst

gegeben^3.1

Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen Gleichung (3.18) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.26) bekommen wir

$$\textrm{div} {}\vec i = \textrm{div} {}\left[\sigma\left(x,y,z\right)\vec E\left(x,y,z\right)\right] = 0$$ (3.44)

Wir ersetzen nun $\vec E$ und erhalten

$$\textrm{div} {}\left[\sigma\left(x,y,z\right)\textrm{grad} {}U\left(x,y,z\right)\right] = 0$$ (3.45)

Bei einem homogenen Leiter könnte $\sigma\left(x,y,z\right)$ vor die Divergenz gezogen werden.

Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter

Wir wenden die Kontinuitätsgleichung Gleichung (3.18) auf die Fläche $F$ an.

$$\int\limits_F\!\!\int \sigma \vec E \cdot d\vec a = \int\limits_f\!\!\int \sigma \vec E \cdot d\vec a -I$$ (3.46)

wobei $f$ die durch $F$ aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist

$$U_2-U_1 = \int_s \vec E \cdot d \vec s$$ (3.47)

Wenn nun $\varphi_1(x,y,z)$ eine Lösung von Gleichung (3.45) ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch

$$U_2(x,y,z) = kU_1(x,y,z)$$ (3.48)

eine Lösung. Dabei kann $k$ eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. Da $\vec E = - \textrm{grad} {}U$ auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch

$$\vec E_2 = -\textrm{grad} {}U_2 = -k \textrm{grad} {}U_1 = k\vec E_1$$ (3.49)

eine Lösung sein. Nach Gleichung (3.46) ist dann auch

$$I_2 = \int\limits_f\!\!\int \sigma \vec E_2 \cdot d\vec a =... ... a= k\int\limits_f\!\!\int \sigma \vec E \cdot d\vec a = k I_1$$ (3.50)

Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter

$$\frac{U_2}{I_2} = \frac{U_1}{I_1} = const = R$$ (3.51)

ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand $R$. Um den Widerstand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man $\vec E (x,y,z)$ im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst.