Elektrische Felder von Leitern

Dieser Stoff wurde am 4. 11. 2004 behandelt

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 645])

Materialien Folien zur Vorlesung vom 04. 11. 2004: PDF

Versuch zur Vorlesung: Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4)

Die elektrischen Felder

• in der Nähe eines ausgedehnten Leiters
• auf der Symmetrieachse eines Kreisrings
• auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe
• innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche
• in allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter

werden im Anhang berechnet.

Versuch zur Vorlesung: Faraday-Becher (Versuchskarte ES-9)

Versuch zur Vorlesung: Faraday-Käfig (Versuchskarte ES-21)

Versuch zur Vorlesung: Van-de-Graaff-Generator (Versuchskarte ES-19)

Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.

Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius $r>R$ ist

$$Q_{ges}=\oint \epsilon_0 E_r dA = E_r 4\pi r^2$$ (2.22)

Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche $Q$ ist, haben wir

$$\frac{Q}{\epsilon_0} = E_r 4\pi r^2$$ (2.23)

Damit ist für $r>R$

$$E_r(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$ (2.24)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für $r<R$ ist die eingeschlossene Ladung $Q=0$. Damit ist auch $\Phi_{ges} = E_r 4\pi r^2 = 0$ und folglich für $r<R$

$$E_r = 0$$ (2.25)

Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale.

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius $R$ wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für $r>R$ ist wie oben $\Phi_{ges} = E_r 4\pi r^2 = Q/\epsilon_0$. Also ist für $r>R$

$$E_r(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$ (2.26)

Wenn die Ladungsdichte $\rho_{el} = Q/V = Q/(\frac{4\pi}{3}R^3)$ ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit $r<R$ umschlossene Ladung $Q' = \rho_{el} V(r) = \rho_{el} \frac{4\pi}{3} r^3$

$$Q(r) = \frac{Q}{\frac{4\pi}{3}R^3} \frac{4\pi}{3} r^3 = Q \frac{r^3}{R^3}$$ (2.27)

Weiter haben wir $E_r 4\pi\epsilon_0 r^2 = Q$. Also ist für $r<R$

$$E_r(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$$ (2.28)

Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.

• Da wir Translationsinvarianz für jede Richtung in der Plattenebene haben, muss das elektrische Feld senkrecht auf der Platte stehen.
• Die elektrischen Felder auf den beiden gegenüberliegenden Seiten der Platte müssen entgegengesetzt gerichtet sein, da die Platte eine Ebene mit Spiegelsymmetrie darstellt.
• Wir verwenden eine zylinderförmige Fläche parallel zur Platte. Die Seitenflächen können beliebig hoch sein, da die Symmetrieüberlegungen besagen, dass sie keinen Beitrag zum Fluss liefern.

Wenn $\sigma$ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist

$$\frac{\sigma A}{\epsilon_0} = \Phi = \oint E_n dA = 2 A E_n$$ (2.29)

da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.

Also ist

$$E_r = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$$ (2.30)

homogen im Raum.

Elektrisches Feld um eine endliche Platte.

Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung $\ell$. Wir können drei Fälle unterscheiden:

$r \ll \ell$

Das elektrische Feld ist von dem einer unendlich ausgedehnten ebenen leitfähigen Platte nicht unterscheidbar.

$r \approx \ell$

Das elektrische Feld befindet sich in einem Zwischenzustand.

$R \gg \ell$

Das elektrische Feld ist von dem einer Punktladung im Kugelmittelpunkt nicht unterscheidbar.

Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring[Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von $E_t = 30 \cdots 300 J/m^2$ haben. Die Definition von $E_t$ ist

$$E_t = \frac{v_s}{A}\int F(t) dt \approx \frac{ v_s F \Delta t}{A}$$

wobei $v_s = 0.01 m/s$ die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und $A$ die Kontaktfläche ist. $\Delta t = 0.1s$ ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte $\sigma$ ist $E=\sigma/\epsilon_0$. Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte $\sigma$ ist dann $F/A = \sigma^2/\epsilon_0$. Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir

$$\frac{F}{A} = \frac{\sigma^2}{\epsilon_0} = \frac{E_t }{v_s \Delta t}$$

und daraus die Flächenladungsdichte

$$\sigma = \frac{e}{d^2} = \sqrt{\frac{\epsilon_0 E_t }{v_s\Delta t}}$$

Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen $e$ im Abstand $d$ angebracht sind. $d$ ist dann

$$d = \sqrt{e \sqrt{\frac{v_s\Delta t}{\epsilon_0 E_t }}}$$

Wenn wir $E_t$ einsetzen erhalten wir $d \approx 10 nm \ldots 18 nm$. Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.

Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird $E=\sigma/\epsilon_0$.

Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum $E=\sigma/\epsilon_0$.

Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.

Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.

Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.

Der gesamte Fluss ist

$$\Phi_{ges} = \oint E_n dA = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ (2.31)

da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir

$$\oint E_n dA = E_n \oint\limits_{\textrm{obere Fl\uml {a}che}} dA = E_n A = \frac{1}{\epsilon_0} A\sigma$$ (2.32)

und

$$E_n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$ (2.33)

Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:

• Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche.
• Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse $E_r = \sigma/\epsilon_0$