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Das Ohmsche Gesetz

Dieser Stoff wurde am 9. 12. 2004 behandelt

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 751])

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Strom-Spannungs-Kennlinie (Versuchskarte EM-83)

Allgemein gilt für einen Leiter, dass

$\displaystyle \vec{i}\left( \vec{E}\right) =f\left( \vec{E}\right)$ (3.159)

eine beliebige Funktion des angelegten Feldes $ \vec{E}$ ist. Im linearen Fall

$\displaystyle \vec{i}\left( \vec{E}\right) =\sigma\vec{E}$ (3.160)

spricht man von einem Ohmschen Leiter.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Ohmscher Leiter (Versuchskarte EM-117)

$ \sigma$ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist

$\displaystyle \left[ \sigma\right] =\frac{A}{m^{2}} \frac{ m}{ V }
=\frac{A}{Vm}
$

Das Gesetz Gleichung (3.26) heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir

$\displaystyle {\displaystyle\int\limits_{A}} \vec{i}d\vec{a}=I= {\displaystyle\...
...d\vec{a}= {\displaystyle\int\limits_{A}} \sigma\frac{U}{d}da=\sigma\frac{A}{d}U$ (3.161)

Dabei haben wir angenommen, dass $ \overrightarrow{i}$ und $ \sigma$ konstant über $ A$ sind. Das integrale Ohmsche Gesetz kann auch als

$\displaystyle I=G\cdot U$ (3.162)

geschrieben werden. $ G$ ist der Leitwert. Die Einheit ist

$\displaystyle \left[ G\right]
=\textrm{Siemens}=\frac{A}{Vm}\frac{m^{2}}{m}=\frac{A}{V}$

Bekannter ist die Form

$\displaystyle U=\frac{1}{G}\cdot I=R\cdot I$ (3.163)

$ R=\frac{1}{G}$ ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm

$\displaystyle \left[ R\right]
=\Omega=\frac{1}{S}=\frac{V}{A}=\frac{W}{A^{2}}$

Die zu $ R$ gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand

$\displaystyle \rho=\frac{1}{\sigma}$ (3.164)

Die Einheiten sind

$\displaystyle \left[ \rho\right] =\frac{Vm}{A}=\Omega m=\frac{m}{S}$

sowie

$\displaystyle \left[ \sigma\right]
=\frac{A}{Vm}=\frac{S}{m}=\frac{1}{\Omega m}$


Wir betrachten die Bewegung von Ionen $ \left( <v>\thickapprox100m/s\right) $ in einer Umgebung von nicht ionisierten Molekülen



\includegraphics[width=0.7\textwidth]{elektrostatik-028}
Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.


Die Masse der Ionen sei $ M$, ihre Ladung $ q$ und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement $ N$

Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet

$\displaystyle \vec{F}=q\vec{E}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ (3.165)

oder

$\displaystyle \Delta\vec{p}=q\vec{E}\Delta t$ (3.166)

wobei $ \Delta t$ die freie Flugzeit ist.

Der mittlere Impuls ist

$\displaystyle M\left\langle \vec{v}\right\rangle =\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\left[ M\vec{v}_{j}^{\left( k\right) }+q\vec{E}t_{j}\right]$ (3.167)

$ \left\langle \vec{v}\right\rangle $ ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, $ \vec{v}_{j}^{\left( k\right) }$ die Geschwindigkeit nach dem letzten Stoss.

Sind die Geschwindigkeiten $ \vec{v}_{j}^{\left( k\right) }$ isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu null. Unter dieser Annahme ist

$\displaystyle M\cdot \left\langle \vec{v}\right\rangle =q\vec{E}\left(\frac{1}{N}\sum t_{j}\right) =qE\cdot\left\langle t\right\rangle$ (3.168)

wobei $ \left\langle t\right\rangle =\tau$ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Mit $ \vec{i}= n q
\langle \vec{v}\rangle$ bekommen wir

$\displaystyle \left\langle \vec{v}\right\rangle =\frac{q\cdot\left\langle t\right\rangle}{M}\vec{E}=\frac{q\tau}{M}\vec{E}$ (3.169)

und

$\displaystyle \vec{i}=n\frac{q^{2}\cdot\left\langle t\right\rangle}{M}\vec{E}=n\frac{q^{2}\tau}{M}\vec{E}$ (3.170)

Dabei ist $n$ die Dichte der Ladungsträger.

Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger

$\displaystyle \sigma=\sum\limits_{k}n_{k}\frac{q_{k}^2\tau_{k}}{M_{k}}$ (3.171)

Wir haben $ \tau=\left\langle t\right\rangle $ gesetzt.

Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn $ \tau$ und $ n_{k}$ unabhängig von $ \vec{E}$ sind,


Beispiel: Metall


Wir nehmen an, dass $ m_{e}«m_{kern}$ ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem Stossen isotrop verteilt. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist $ <v_{e}>=10^{5}m/s$ (kinetische Gastheorie). Mit

$\displaystyle \frac{1}{\rho_{\exp}}=\sigma=n_{e}\frac{e^{2}\tau}{m_{e}}$ (3.172)

bekommen wir

$\displaystyle \tau=\frac{m_{e}}{\rho_{\exp}n_{e}e^{2}}=3.3\cdot10^{-14}s$ (3.173)

(mit $ \rho_{\exp}=4.3\times10^{-8}\Omega m$ und $ n_{e}=2.5\cdot10^{28}\frac {1}{m^{3}}$ für Na-Metall)

Die mittlere freie Weglänge ist dann

$\displaystyle \lambda=\left<v_{e}\right>\tau=3.3nm$ (3.174)

im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1nm $ \Longrightarrow$ Lösung: Quantenmechanik

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Leitfähigkeit (Versuchskarte EM-172)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit (Versuchskarte TH-122)

Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist $ \rho_{el} =0$ im Inneren. Dies folgt aus

  1. Ohmsches Gesetz $ \vec{i}\left( x,y,z\right) =\sigma\vec{E}\left( x,y,z\right) $
  2. Kontinuitätsgleichung $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{i}=0$, also $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( \sigma\vec{E}\right)
=0$
    und damit $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{E}=0$
  3. das Gausssche Gesetz sagt $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{E}=\frac{\rho_{el}
}{\epsilon_{0}}$
  4. damit folgt die Behauptung, dass $ \rho_{el} =0$.

Aus der Eigenschaft

$\displaystyle \vec{E}=- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \varphi=- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U$ (3.175)

erhalten wir im Inneren eines Leiters

$\displaystyle  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{E}=- {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \varphi=-\Delta\varphi=0$ (3.176)

Dies bedeutet, dass $ \varphi$ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters ein Potentialfeld ist. Die Lösung von

$\displaystyle \Delta\varphi=0$ (3.177)

ist durch die Randbedingungen

  1. $ U=\varphi=\mathrm{const}$ an den Elektrodenflächen (bei den Anschlüssen nach aussen)
  2. $ \vec{i}_{\perp}=0$ sonst (entlang des Leiters, Drahtoberfläche!)
gegeben[*]

Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen Gleichung (3.18) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.26) bekommen wir

$\displaystyle  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{i}=  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left[\sigma\left(x,y,z\right)\vec{E}\left(x,y,z\right)\right] = 0$ (3.178)

Wir ersetzen nun $ \vec{E}$ und erhalten

$\displaystyle  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left[\sigma\left(x,y,z\right) {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U\left(x,y,z\right)\right] = 0$ (3.179)

Bei einem homogenen Leiter könnte $ \sigma\left(x,y,z\right)$ vor die Divergenz gezogen werden.


\includegraphics[width=0.4\textwidth]{elektrostatik-031}
Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter


Wir wenden die Kontinuitätsgleichung Gleichung (3.18) auf die Fläche $ A$ an.

$\displaystyle \int\limits_A\!\!\int \sigma \vec{E}\cdot d\vec{a}= \int\limits_a\!\!\int \sigma \vec{E}\cdot d\vec{a}=I$ (3.180)

wobei $ a$ die durch $ A$ aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist

$\displaystyle U_2-U_1 = \int_s \vec{E}\cdot d \vec{s}$ (3.181)

Wenn nun $ \varphi_1(x,y,z)$ eine Lösung von Gleichung (3.45) ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch

$\displaystyle U_2(x,y,z) = kU_1(x,y,z)$ (3.182)

eine Lösung. Dabei kann $ k$ eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. Da $ \vec{E}= -  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U$ auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch

$\displaystyle \vec{E}_2 = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U_2 = -k  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U_1 = k\vec{E}_1$ (3.183)

eine Lösung sein. Nach Gleichung (3.46) ist dann auch

$\displaystyle I_2 = \int\limits_a\!\!\int \sigma \vec{E}_2 \cdot d\vec{a}= \int...
...E}_1 \cdot d\vec{a}= k\int\limits_a\!\!\int \sigma \vec{E}\cdot d\vec{a}= k I_1$ (3.184)

Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter

$\displaystyle \frac{U_2}{I_2} = \frac{U_1}{I_1} = \mathrm{const}= R$ (3.185)

ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand $ R$. Um den Widerstand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man $ \vec{E}(x,y,z)$ im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst.

Im statischen Falle ist $ \vec{E}(x,y,z)=0$ im inneren eines Leiters. Bei einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten.


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Marti 2011-10-13