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Dieser Stoff wurde am 10. 2. 2005
behandelt |
Berechnung der Energie im Magnetfeld
|
Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle
verbundene reale Spule. Diese Spule
wird modelliert durch einen Widerstand
und eine ideale Spule
. Die Differentialgleichung dieses Kreises
lautet
![$\displaystyle U(t)= L\cdot \dot I(t)+R\cdot I(t)$](img1274.gif) |
(4.394) |
Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form
![$\displaystyle I_S(t) = I_0\cos(\omega t-\delta)$](img1275.gif) |
(4.395) |
Für den Fall, dass
ist, bekommt man
![$\displaystyle I_S(t) =-\frac{U_0}{\omega L}\cdot \cos\omega t$](img1277.gif) |
(4.396) |
Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist
![$\displaystyle P_U(t) = U(t)\cdot I(t)= -\frac{U_0^2}{\omega L}\cdot \sin\omega t\cdot\cos\omega t = -\frac{U_0^2}{\omega L}\cdot\frac{1}{2}\sin(2\omega t)$](img1278.gif) |
(4.397) |
Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des
-Feldes ändern, da wir keine dissipativen
Elemente haben (
). Wenn man die Differentialgleichung für den Fall mit
multipliziert, bekommt man
![$\displaystyle P_U= U(t)\cdot I(t)= L\cdot I\cdot \dot I= \frac{d}{dt}\left(\frac{L}{2}I^2\right)$](img1281.gif) |
(4.398) |
Nun ist aber
. Damit ist die Energie des Magnetfeldes
![$\displaystyle E_L = \frac{L}{2}I^2$](img1283.gif) |
(4.399) |
Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule
![$\displaystyle B = \mu_0 n I$](img1284.gif) |
(4.400) |
mit der Selbstinduktivität
![$\displaystyle L = \mu_0 n^2 A\ell$](img1285.gif) |
(4.401) |
wobei
der Querschnitt der Spule und
ihre Länge ist. Eingesetzt in die Gleichung für die Energie
bekommt man
![$\displaystyle E_L=\frac{1}{2}\cdot \mu_0 n^2 A\ell\cdot \left(\frac{B}{\mu_0 n}\right)^2 =\frac{B^2}{2\mu_0}A\ell$](img1287.gif) |
(4.402) |
Deshalb ist die Energiedichte des
-Feldes
![$\displaystyle w_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$](img1288.gif) |
(4.403) |
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Marti
2011-10-13