Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz

Dieser Stoff wurde am 21. 10. 2004 behandelt

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 617]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 189])

Auslenkung zweier mit identischer Ladung $q$ geladener Kugeln.

Wenn zwei Kugeln mit der gleichen Ladung $q$ geladen sind, werden sie nach aussen abgestossen. Wird die Ladung verändert, ändert sich die Kraft proportional.

$$\frac{q_1}{q_2} = \frac{F_1}{F_2}$$ (2.1)

Dabei wird angenommen, dass die Ladungen Punktladungen sind.

Ladungen werden in Coulomb, abgekürzt, C, angegeben.

Eine Messung der Kräfte mit einer Drehwaage (nach Cavendish) ergibt das folgende Gesetz

$$\vec{F}(\vec{r}) = K \frac{q_1 \cdot q_2}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$$ (2.2)

wobei die Konstante vom Masssystem abhängt und im SI-System

$$K = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$$ (2.3)

ist. Die Konstante $\epsilon_0$ heisst Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Ihre Grösse ist

$$\epsilon_0 = 8.8544 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N\; m^2} \index{epsilon@$\epsilon_0$ Dielektrizit\uml {a}tskonstante des Vakuums}$$ (2.4)

Indem man $\epsilon_0$ festlegt, legt man die Grösse der Ladungseinheit fest. Im SI-System wurde $K = 10^{-7} c^2 = 8.9874 \cdot 10^9$ gesetzt, damit die elektrischen Grössen einen handhabbaren Zahlenwert haben. Mit dieser Definition folgt der Wert von $\epsilon_0$.

Dieses Gesetz kann durch folgende Überlegung erraten werden:

• $\vec{F}(\vec{r})$ ist ein Vektorfeld.
• Der mathematische Fluss dieses Vektorfeldes durch ein Flächenelement $d\vec{A}$ ist $d\Phi(\vec{r}) = d\vec{A}\cdot \vec{F}(\vec{r})$, wobei die Richtung von $\vec{A}$ die Richtung der Normalen zu diesem Flächenelement ist.
• Der gesamte Fluss durch die Kugeloberfläche $A(r) = 4\pi r^2$ ist durch $\Phi(r) = \displaystyle\iint\limits_{A}^{} d\Phi(\vec{r})= \displaystyle\iint\limits_{A}^{} \vec{F}(\vec{r}) d\vec{A}$ gegeben.
• Da das Problem kugelsymmetrisch ist, kann $\vec{F}(\vec{r})$ nicht von der Richtung abhängen und muss radial sein. Damit kann die Kraft vor das Integral genommen werden.
• $\Phi(r) = F(r) \displaystyle\iint\limits_{A}^{} d A = 4\pi r^2 F(r)$
• Wenn der Fluss des Vektorfeldes $\vec{F}$ unabhängig von $r$ sein soll, so muss die Kraft umgekehrt proportional zu $r^2$ sein.

Versuch zur Vorlesung: Coulomb-Gesetz (Versuchskarte ES-31)

Das Coulombsche Gesetz lautet

$$\vec{F}(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r_{12}^2} \frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$$ (2.5)

Das Coulombsche Gesetz ist mathematisch äquivalent zum Gravitationsgesetz. Alle Aussagen über die Gravitation gelten auch für Ladungen, mit der Abweichung, dass Ladungen zwei Vorzeichen haben können.

Elektrostatische Kräfte sind additiv.

Ladungen sind nicht beliebig teilbar. Versuche von Millikan ergaben, dass die kleinste beobachtbare Ladung den Betrag $1.6022\cdot 10^{-19}\;C$ hat. Diese Ladung ist auf

Elektronen

$q=-e = -1.6022\cdot 10^{-19}\;C$ (Masse: $m_e = 9.1096\cdot 10^{-31}\;kg$) und

Protonen

$q=e=1.6022\cdot 10^{-19}\;C$ (Masse: $m_p = 1.6726\cdot 10^{-27}\;kg$)

zu finden. $e$ heisst die Elementarladung. In Kernbauteilen, den Quarks, gibt es Ladungen vom Betrage $e/3$. Diese Ladungen sind aber nicht frei zu beobachten.

Ladungen können nur paarweise entstehen (jeweils die gleiche negative und positive Ladung). Die Gesamtladung in einem abgeschlossenen System ist konstant.