In der Nähe eines Leiterstückes

Entlang der $x$-Achse von $x=0$ bis $x=\ell$ sei die Ladung $Q$ homogen verteilt. Zu berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt $P = (\xi;0;0)$ auf der $x$-Achse!

Die Linienladungsdichte ist

$$\lambda=\frac{Q}{\ell}$$

Das elektrische Feld bei $P$ ist

$$dE_{x}\left( x,\xi\right) =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\lambda \left( x- \xi\right)d\xi}{\left\vert x- \xi\right\vert^{3}}$$

Wir integrieren über die Länge des Drahtes

$$E_{x}\left( \xi\right) =\int\limits_0^\ell dE_{x}(x,\xi)=\fr... ...}$ ,} & \hbox{f\uml {u}r $0<x<\ell$.} \\ \end{array}\right.$$

Die Lösung dieser Gleichung ist

$$E_x(x) = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 x (x-\ell)} \left\{ \b... ...}$ ,} & \hbox{f\uml {u}r $0<x<\ell$.} \\ \end{array}\right.$$

Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.

Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge $\ell$. Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von - $\frac{\ell}{2}$ bis $\frac{\ell}{2}$ reicht. Aus Symmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in $x$-Richtung. Wir betrachten also die Komponente entlang $y$. Am Punkt $P=\left( 0;y;0\right)$ ist

$$dE_{y}\left( y\right) =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\lambda dx}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}y$$

Ebenso ist

$$E_y\left( y\right) = \int\limits_{-\frac{\ell}{2}}^{\frac{\ell}{2... ...\ell}{2}}^{\frac{\ell}{2}}} \frac{dx}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}$$

Nach Bronstein[BSMM00] ist

$$\int\frac{dx}{X^\frac{3}{2}}= \frac{x}{a^{2}\sqrt{X}}$$

mit $X=x^{2}+a^{2}$. Daraus folgt

$$E_y\left( y\right) = \left.\frac{\lambda y}{4\pi\epsilon_{0}}\left( \frac{x}{y^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \right\vert _{-\frac{\ell}{2}}^{\frac{\ell}{2} }$$

$$ = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0y}\left( \frac{\ell}{2\sqrt{\frac {\ell^{2}}{4}+y^{2}}}+\frac{\ell}{2\sqrt{\frac{\ell^{2}}{4}+y}}\right)$$

$$ = \frac{\lambda\ell}{4\pi \epsilon_0y}\frac{1}{\sqrt{y^{2}+\frac{\ell^{2}}{4}}}$$

$$ = \frac{Q} {4\pi\epsilon_0}\frac{1}{y\sqrt{y^{2}+\frac{\ell^{2}}{4}}}$$

Für $y \gg \ell$ bekommt man

$$E_{y}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda\ell}{y^{2}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0y^{2}}$$

Für $y \ll -\ell$ bekommt man

$$E_{y}=-\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda\ell}{y^{2}}=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0y^{2}}$$

Wenn die Linienladung ''unendlich'' ausgedehnt ist, gilt

$$y\ll \ell$$

Dann ist

$$E_y\approx\frac{\lambda\ell}{4\pi\epsilon_0y}\frac {1}{\sqrt{\fra... ...lambda}{2\pi\epsilon_0 \vert y\vert}=\frac {Q}{2\pi\epsilon_0\ell \vert y\vert}$$

Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.