Die Arbeit ist durch
(2.37) |
definiert.
Die potentielle Energie eines Kraftfeldes
ist die Arbeit gegen diese Feldkraft.
Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist
. Also
(2.38) | |||
(2.39) |
Eine potentielle Energie existiert, wenn
Die potentielle Energie einer Probeladung im Feld der Ladung ist
Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist
, entlang der radialen Teile ist
.
|
Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit
approximieren
können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das
Integral vereinfachen.
(2.41) | |||
Üblicherweise setzt man . Damit wird
(2.42) |
Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten
(2.43) |
berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir
(2.44) |
In Komponenten ist und
Also
(2.45) |
Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt.
(2.46) |
Die potentielle Energie der Ladung im Feld der Ladung , normiert auf ist das elektrische Potential , auch Spannung genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar.
Wichtig ist die Beziehung
(2.48) |
Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit
(2.49) |
berechnet.
Folgende Relationen gelten
Wir merken uns
analog zur potentiellen Energie.
Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist
Das Gravitationspotential ist .
Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen an den Orten ist also
(2.52) |
Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ist das Potential
Versuch zur Vorlesung: Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-8) |
Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung und dem Radius im Abstand auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden, dass
ist, mit
(2.54) |
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Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius entlang ihrer Symmetrieachse berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe sei . Ein Kreisring mit dem Radius trägt die Ladung und erzeugt dann das Potential
(2.55) |
Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir
(2.56) |
Dieses Integral ergibt nach Bronstein[BSMM00, Seite 309, Nr. 193]
(2.57) |
Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für wie das Potential einer Punktladung, da
Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit und
.
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Eine homogen mit der Flächenladungsdichte geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld . Das elektrostatische Potential eines Punktes im Abstand von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des Lots vom Punkt auf die Ebene integrieren.
(2.58) |
Für berechnet man
(2.59) |
Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit und
.
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Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld berechnet. Das radiale elektrische Feld ist . Damit ist das Potential
(2.60) |
Oder mit
(2.61) |
Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant.
(2.62) |
Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit und
.
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Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte . Das radiale elektrische Feld ist . Das Potential ist dann
(2.63) |
Wir setzen und erhalten
(2.64) |
Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten homogenen Linienladung mit und
.
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Othmar Marti