Die Lorentztransformation der Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])

Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt, nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.

Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.

Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_0$ bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.

Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem $S$ ist

$$E_z = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$ (3.278)

wenn $\sigma$ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist

$$B_x = \mu_0\cdot j = \mu_0 \cdot \sigma\cdot v_0 = \frac{v_0\cdot \sigma}{\epsilon_0\cdot c^2}$$ (3.279)

Die entsprechenden Felder im Bezugssystem $S'$ müssen nun berechnet werden. Auch in $S'$ sind die Platten homogen geladen. Also haben wir

$$E_z' = \frac{\sigma'}{\epsilon_0}$$ (3.280)

und

$$B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\epsilon_0\cdot c^2}$$ (3.281)

Wir brauchen die Transformationsgesetze für $\sigma'$ und $v_0$

$$v_0' = \frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}$$ (3.282)

$$\sigma_0 = \frac{\sigma}{\gamma_0}$$

$$\sigma_0 = \frac{\sigma'}{\gamma_0'}$$

wenn $\sigma_0$ das Ruhesystem der Ladungen und $\gamma_0 = \left(1-\frac{v_0^2}{c^2}\right)^{-1/2}$ ist. Wir bekommen

$$\sigma' = \sigma\cdot\frac{\gamma_0'}{\gamma_0} = \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-v_0'^2/c^2}}$$ (3.283)

und damit

$$\sigma' = \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-\left(\frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}\right)^2/c^2}}$$ (3.284)

$$ = \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)} {\sqrt{\left(1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}\right)^2-(v_0-v)^2/c^2}}$$

$$ = \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\rig... ...\frac{v\cdot v_0}{c^2}+\frac{v^2\cdot v_0^2}{c^4}-v_0^2/c^2-v^2/c^2+2vv_0/c^4}}$$

$$ = \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)}{\sqrt{1-v_0^2/v^2}\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$ = \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)$$

Mit

$$v_0' = \frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}$$

berechnet man

$$v_0'\cdot\sigma' = \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)v_0'$$

$$ = \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right) \frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}$$

$$ = \sigma\gamma\left(v_0-v\right)$$ (3.285)

Damit ist

$$E_z' = \frac{\sigma'}{\epsilon_0} = \gamma\left(\frac {\sigma}{\e... ...ac {\sigma v\cdot v_0}{\epsilon_0c^2}\right)= \gamma\left(E_z-v\cdot B_x\right)$$ (3.286)

und

$$B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\epsilon_0\cdot c^2}=\gamma\left(... ...c{\sigma\cdot v}{\epsilon_0 c^2}\right)=\gamma\left(B_x-\frac{v}{c^2}E_z\right)$$ (3.287)

Damit sind die transversalen Felder $B_x'$ und $E_z'$ in $S'$ Linearkombinationen der Felder $B_x$ und $E_z$ in $S$.

Die Transformationseigenschaften von $B_z$ und $E_x$ erhält man, indem man die obige Anordnung um $\pi/2$ um die $y$-Achse dreht. Dann gehen

$$E_z \rightarrow E_x$$ (3.288)

$$B_x \rightarrow -B_z$$

über. Die Transformationsgleichungen sind dann

$$E_x' = \gamma \left(E_x+v\cdot B_z\right)$$ (3.289)

$$B_z' = \gamma\left(B_z+ \frac{v}{c^2}E_x\right)$$

Skizze zur Transformation eines longitudinale $\vec{E}$-Feldes (links) und des $\vec{B}$-Feldes (rechts).

Die Transformation des longitudinalen $\vec{E}$-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators¹¹ nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist

$$E_y = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$ (3.290)

$$E_y' = \frac{\sigma'}{\epsilon_0}$$

$$\sigma = \sigma'$$

Also ist auch

$$E_y' = E_y$$ (3.291)

Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist

$$B_y = \mu_0\frac{I\cdot N}{L}$$ (3.292)

wobei $N$ die Anzahl Windungen und $L$ die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit $I=\dot{Q}$ ist

$$B_y = \mu_0\frac{N}{L}\frac{dQ}{dt}$$ (3.293)

Die Anzahl Windungen $N$ und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann

$$B_y' = \mu_0\frac{N}{L'}\frac{dQ}{dt'}$$ (3.294)

Mit der Längenkontraktion $L' = \gamma L$ und der Zeitdilatation $dt' = dt/\gamma$ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit

$$B_y' = B_y$$ (3.295)

ist.

Bei einer Bewegung in die $y$-Richtung mit $\vec{v}= (0;v_y;0)$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$) werden die elektrischen und magnetischen Felder wie

$$E_x' = \gamma \left(E_x+v\cdot B_z\right)$$ (3.296)

$$E_y' = E_y$$

$$E_z' = \gamma \left(E_z-v\cdot B_x\right)$$

$$B_x' = \gamma \left(B_x-\frac{v}{c^2}E_z\right)$$

$$B_y' = B_y$$

$$B_z' = \gamma\left(B_z+ \frac{v}{c^2}E_x\right)$$