Im Vakuum gibt es keine Teilchen, also auch keine geladenen Teilchen. Wir können also setzen:
Damit lauten die Maxwellgleichungen in der Integralform
oder in der differentiellen Form
Im Vakuum ist
sowie
sowie und
. Zur
Ableitung der Wellengleichung sind die differentiellen Maxwellgleichungen besser als die integralen geeignet. Wir
verwenden
und erhalten also
Die Maxwellgleichungen im Vakuum sind symmetrisch bezüglich und . Wir nehmen die
Rotation der zweiten Maxwellgleichung.
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(6.479) |
Indem wir die Austauschbarkeit von Ableitungen verwenden. Nun setzt man die vierte Maxwellgleichung in die zweite
Gleichung ein. Wir erhalten eine Differentialgleichung für allein.
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(6.480) |
Nun gilt die Vektoridentität
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(6.481) |
Wegen der ersten Maxwellgleichung verschwindet der erste Term auf der rechten Seite. Also lauten die
Wellengleichungen
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(6.482) |
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sowie nach einer analogen Ableitung für
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(6.483) |
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Die nicht-trivialen Lösungen der Wellengleichungen heissen elektromagnetische
Wellen. Dieses Phänomen ist implizit in den Maxwellgleichungen enthalten, die aus makroskopischen Experimenten
abgeleitet wurden. Die Wellengleichung beschreibt alle Wellenphänomene aus der Kommunikationstechnik, der
Optik und der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen untereinander, für Abstände von oder mehr.
Die Maxwellgleichungen sind invariant unter der Lorentz-Transformation, nicht aber unter der
Galilei-Transformation. In jedem Inertialsystem im Vakuum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
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(6.484) |
Damit haben die Maxwellgleichungen implizit schon 1864 die spezielle Relativitätstheorie vorweggenommen.
In Medien ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit entsprechend
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(6.485) |
wobei die relative Permeabilitätszahl und die relative Dielektrizitätszahl ist.
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm