Weiter: Herleitung der Schrödingergleichung - Oben: Quantentheorie Zurück: Quantentheorie  Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter

Unterabschnitte

• Lineare Operatoren
• Operatoren und Matrizen
• Hermitische Operatoren

Hilbert-Räume

Ein Hilbert-Raum wird definiert als folgend:

$\mathcal{H}$ ist ein linearer Vektorraum über $\mathbb{C}$ mit der Eigenschaften:

• Wenn $f \in \mathcal{H}$ and $g \in \mathcal{H}$ dann $(f + g) \in \mathcal{H}$
• Es gibt ein Null-element 0 dass $(f + 0) = f$
• Es gibt ein Symmetrisches-element $-f$ so dass $[f + (-f)] = 0$
• Das skalare Produkt zwischen zwei Elemente $f$ und $g$ von $\mathcal{H}$ ist definiert:
  $\mathcal{H} \times \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{C}: (f,g) = f \cdot g = \int_{-\infty}^{+\infty} f^{\ast}(u) g(u) du$

Die Norm von einem beliebigen $f \in \mathcal{H}$ ist definiert als $\Vert f \Vert = (f\cdot f)^{1/2}$

Weil $\mathcal{H}$ ein linearer Vektorraum ist, es gelten die folgenden Eigenschaften:

• $f \cdot ( g_{1} + g_{2} ) = f \cdot g_{1} + f \cdot g_{2}$
• $f \cdot \lambda g = \lambda ( f \cdot g )$, mit $\lambda$ konstant
• $f \cdot f \geq 0$
• $f \cdot f = 0 \Rightarrow f = 0$
• $g \cdot f = ( f \cdot g )^{\ast}$

Ein Vektorraum ist vollständig wenn für jedes $f$ es gibt eine Reihe $f_{1}, f_{2}, f_{3},\dots f_{n} \rightarrow f$ so dass,
$\lim_{n \rightarrow \infty} \Vert f_{n} - f \Vert = 0$

Wenn das skalare Produkt zwischen $f \in \mathcal{H}$ und $g \in \mathcal{H}$, $f \cdot g = 0$ dann $f$ und $g$ sind orthogonal.

Lineare Operatoren

Die lineare Operatoren haben die Eigenschaft $\hat{\mathbf{A}} f = a f$ mit $f \in \mathcal{H}$ $f$ ist Eigenfunktion von $\hat{\mathbf{A}}$ genannt und $a$ ist einen entsprechenden Eigenwert von $\hat{\mathbf{A}}$.

Operatoren und Matrizen

Heisenberg und Born haben gezeigt dass jeder Operator kann durch eine Matrix ersetzt werden.

Hermitische Operatoren

Hermitische Operatoren sind Operatoren die bestätigen die folgende Gleichung,

$$\hat{\mathbf{A}}^{\ast} f^{\ast} \cdot g = f^{\ast} \cdot \hat{\mathbf{A}}^{\ast} g$$ (5.93)

Z.B. die Operatoren $\hat{\mathbf{p}}_{x} = (\hslash / i)( \partial / \partial x )$ und $\hat{\mathbf{E}} = i ( \partial / \partial t )$ sind hermitisch.

Die Eigenfunktionen eines hermitischen Operators sind orthogonal und die entsprechende Eigenwerte sind reel.

 Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter