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Ein Hilbert-Raum wird definiert als folgend:
ist ein linearer Vektorraum über
mit der Eigenschaften:
- Wenn
and
dann
- Es gibt ein Null-element 0 dass
- Es gibt ein Symmetrisches-element
so dass
- Das skalare Produkt zwischen zwei Elemente
und
von
ist definiert:
Die Norm von einem beliebigen
ist definiert als
Weil
ein linearer Vektorraum ist, es gelten die folgenden Eigenschaften:
Ein Vektorraum ist vollständig wenn für jedes
es gibt eine Reihe
so dass,
Wenn das skalare Produkt zwischen
und
,
dann
und
sind orthogonal.
Die lineare Operatoren haben die Eigenschaft
mit
ist Eigenfunktion von
genannt und
ist einen entsprechenden Eigenwert von
.
Heisenberg und Born haben gezeigt dass jeder Operator kann durch eine Matrix
ersetzt werden.
Hermitische Operatoren sind Operatoren die bestätigen die folgende Gleichung,
![$\displaystyle \hat{\mathbf{A}}^{\ast} f^{\ast} \cdot g = f^{\ast} \cdot \hat{\mathbf{A}}^{\ast} g$](img477.gif) |
(5.93) |
Z.B. die Operatoren
und
sind hermitisch.
Die Eigenfunktionen eines hermitischen Operators sind orthogonal und die entsprechende Eigenwerte sind reel.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm