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Skript: PDF-Datei Übungen: Blätter
Eine der Methoden um die Schrödinger Gleichung abzuleiten benutzt den Ansatz
und die de Broglie Relation
. Die erste und die zweite Ableitungen lauten,
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(5.94) |
bzw.
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(5.95) |
Das Hamiltonsche Extremalprinzip sagt dass die Wirkung eines Systems stationär ist, d.h.
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(5.96) |
Die Hamilton-Funktion ist dann definiert als die Summe zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie:
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(5.97) |
ist eine Funktion von und
, wobei der Impuls eines punktförmigen Teilchens mit
Masse ist. Wir wissen nach Planck dass die Energie einer Welle quantisiert ist:
.
Gleichzeitig ihr Impuls ist
. Wenn ein Teilchen mit Masse sich bewegt und eine Wellenlänge
hat, wir können die obigen Gleichungen schreiben wie es folgt
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(5.98) |
bzw.
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(5.99) |
Wir können dann die Operatoren Impuls
, und kinetische
Energie
definieren.
Die erste Ableitung von in der Zeit ist
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(5.100) |
Wir können also der Operator der gesamten Energie definieren:
Wenn eine Konstante ist können wir ein Quantum-Operator für die Hamilton-Funktion definieren:
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(5.101) |
Die Schrödingergleichung (SG) ist dann das Analogon zu der klassischen Hamilton-Funktion :
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(5.102) |
Wir haben in dieser Ableitung die potentielle Energie als Konstante angenommen. Die Frage ist jetzt welche andere
Lösungen die Schrödinger-Gleichung haben kann, ausser die harmonische Wellenfunktion.
Wenn
d.h. wenn wir betrachten die
Wellenfunktion als eine stationäre Funktion mit harmonischer Zeitabhängigkeit wir können auch dir zeitunabhängige
Schrödinger Gleichung ableiten:
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(5.103) |
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm