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Herleitung der Schrödingergleichung - I

Eine der Methoden um die Schrödinger Gleichung abzuleiten benutzt den Ansatz $ \psi(x) = A \exp[ i (k x - \omega t)
]$ und die de Broglie Relation $ p = h/\lambda = \hslash k$ . Die erste und die zweite Ableitungen lauten,

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial x} = i k A \exp[ i (k x - \omega t) ] = i k \psi$ (5.94)

bzw.

$\displaystyle \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = (i k)^{2} A \exp[ i (k x - \omega t) ] = -k^{2} \psi$ (5.95)

Das Hamiltonsche Extremalprinzip sagt dass die Wirkung eines Systems stationär ist, d.h.

$\displaystyle \delta S = \delta \int \mathcal{L}(q, \dot{q}, t)  dt = 0$ (5.96)

Die Hamilton-Funktion ist dann definiert als die Summe zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie:

$\displaystyle H = T + V$ (5.97)

$ V$ ist eine Funktion von $ x$ und $ T = p^{2} / ( 2 m )$, wobei $ p$ der Impuls eines punktförmigen Teilchens mit Masse $ m$ ist. Wir wissen nach Planck dass die Energie einer Welle quantisiert ist: $ E = \hslash \omega$. Gleichzeitig ihr Impuls ist $ p = \hslash k$. Wenn ein Teilchen mit Masse $ m$ sich bewegt und eine Wellenlänge $ \lambda_{\text{dB}}$ hat, wir können die obigen Gleichungen schreiben wie es folgt

$\displaystyle \frac{\hslash}{i} \frac{\partial \psi}{\partial x} = \hslash k \psi = p \psi$ (5.98)

bzw.

$\displaystyle - \frac{\hslash^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = \frac{\hslash^{2} k^{2}}{2 m} \psi = T \psi$ (5.99)

Wir können dann die Operatoren Impuls $ \hat{\mathbf{p}}_{x} = \hslash \partial / i \partial x$, und kinetische Energie $ \hat{\mathbf{T}}_{x} = - [\hslash^{2} / ( 2 m )]\partial^{2} / \partial x^{2}$ definieren.

Die erste Ableitung von $ \psi$ in der Zeit $t$ ist

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} = - i \omega A \exp[ i (k x - \omega t) ] = - i \omega \psi$ (5.100)

Wir können also der Operator der gesamten Energie $ E$ definieren: $ \hat{\mathbf{E}} = i \hslash \partial / (
\partial t )$ Wenn $ V(x)$ eine Konstante ist können wir ein Quantum-Operator für die Hamilton-Funktion definieren:

$\displaystyle \hat{\mathbf{H}} = - \frac{\hslash^{2} \partial^{2}}{2m \partial x^{2}} + V$ (5.101)

Die Schrödingergleichung (SG) ist dann das Analogon zu der klassischen Hamilton-Funktion $ H = T + V$:

$\displaystyle \hat{\mathbf{H}}\psi = i \hslash \frac{\partial \psi}{\partial t}$ (5.102)

Wir haben in dieser Ableitung die potentielle Energie als Konstante angenommen. Die Frage ist jetzt welche andere Lösungen die Schrödinger-Gleichung haben kann, ausser die harmonische Wellenfunktion.

Wenn $ \psi(x) = A \exp[ i (k x - \omega t) ] = A \exp( i k x ) \exp( -i \omega t )$ d.h. wenn wir betrachten die Wellenfunktion als eine stationäre Funktion mit harmonischer Zeitabhängigkeit wir können auch dir zeitunabhängige Schrödinger Gleichung ableiten:

$\displaystyle \hat{\mathbf{H}}\psi = E \psi$ (5.103)


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm