Weiter: Herleitung der Schrödingergleichung -
Oben: Quantentheorie
Zurück: Hilbert-Räume
Skript: PDF-Datei Übungen: Blätter
Eine der Methoden um die Schrödinger Gleichung abzuleiten benutzt den Ansatz
und die de Broglie Relation
. Die erste und die zweite Ableitungen lauten,
![$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial x} = i k A \exp[ i (k x - \omega t) ] = i k \psi$](img482.gif) |
(5.94) |
bzw.
![$\displaystyle \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = (i k)^{2} A \exp[ i (k x - \omega t) ] = -k^{2} \psi$](img483.gif) |
(5.95) |
Das Hamiltonsche Extremalprinzip sagt dass die Wirkung eines Systems stationär ist, d.h.
![$\displaystyle \delta S = \delta \int \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) dt = 0$](img484.gif) |
(5.96) |
Die Hamilton-Funktion ist dann definiert als die Summe zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie:
![$\displaystyle H = T + V$](img485.gif) |
(5.97) |
ist eine Funktion von
und
, wobei
der Impuls eines punktförmigen Teilchens mit
Masse
ist. Wir wissen nach Planck dass die Energie einer Welle quantisiert ist:
.
Gleichzeitig ihr Impuls ist
. Wenn ein Teilchen mit Masse
sich bewegt und eine Wellenlänge
hat, wir können die obigen Gleichungen schreiben wie es folgt
![$\displaystyle \frac{\hslash}{i} \frac{\partial \psi}{\partial x} = \hslash k \psi = p \psi$](img490.gif) |
(5.98) |
bzw.
![$\displaystyle - \frac{\hslash^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = \frac{\hslash^{2} k^{2}}{2 m} \psi = T \psi$](img491.gif) |
(5.99) |
Wir können dann die Operatoren Impuls
, und kinetische
Energie
definieren.
Die erste Ableitung von
in der Zeit
ist
![$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} = - i \omega A \exp[ i (k x - \omega t) ] = - i \omega \psi$](img495.gif) |
(5.100) |
Wir können also der Operator der gesamten Energie
definieren:
Wenn
eine Konstante ist können wir ein Quantum-Operator für die Hamilton-Funktion definieren:
![$\displaystyle \hat{\mathbf{H}} = - \frac{\hslash^{2} \partial^{2}}{2m \partial x^{2}} + V$](img498.gif) |
(5.101) |
Die Schrödingergleichung (SG) ist dann das Analogon zu der klassischen Hamilton-Funktion
:
![$\displaystyle \hat{\mathbf{H}}\psi = i \hslash \frac{\partial \psi}{\partial t}$](img500.gif) |
(5.102) |
Wir haben in dieser Ableitung die potentielle Energie als Konstante angenommen. Die Frage ist jetzt welche andere
Lösungen die Schrödinger-Gleichung haben kann, ausser die harmonische Wellenfunktion.
Wenn
d.h. wenn wir betrachten die
Wellenfunktion als eine stationäre Funktion mit harmonischer Zeitabhängigkeit wir können auch dir zeitunabhängige
Schrödinger Gleichung ableiten:
![$\displaystyle \hat{\mathbf{H}}\psi = E \psi$](img502.gif) |
(5.103) |
Next: Herleitung der Schrödingergleichung -
Up: Quantentheorie
Previous: Hilbert-Räume
Skript: PDF-Datei Übungen: Blätter
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm