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Bohr-Sommerfeld-Modell des Atoms


optisches Spektrum: Balmer-Serie 1885

$\displaystyle H_{\alpha}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 656.28nm$  
$\displaystyle H_{\beta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 486.13nm$  
$\displaystyle H_{\gamma}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 434.05nm$  
$\displaystyle H_{\delta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 410.17nm$  

$\Longrightarrow$ Balmer:

$\displaystyle \lambda=\frac{n_{1}^{2}}{n_{1}^{2}-4}\cdot G \textrm{\hspace{1cm}}n_{1}=3$,$\displaystyle  4$,$\displaystyle  \ldots$ (6.200)

mit $G=364.5nm$.



andere Schreibweise

mit $ \nu\cdot\lambda=c$

$\displaystyle \nu =\frac{c}{\lambda}=\left( 1-\frac{4}{n_{1}^{2}}\right) \cdot\frac {c}{G}=\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{n_{1}^{2}}\right) \cdot\frac {4c}{G}$ (6.201)

oder mit $ 4 = n_2^2$

$\displaystyle \nu =\left( \frac{1}{n_{2}^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2}}\right) \cdot R_{H}^{^{\prime}}$ (6.202)

mit $n^{^{\prime}}<n$


$\displaystyle R_{H}'$ $\displaystyle =\frac{4c}{G}$ $\displaystyle =3.291\cdot10^{15}Hz$  
$\displaystyle R_{H,(gemessen)}$ $\displaystyle $ $\displaystyle =10970955.31\frac{1}{m}$  
$\displaystyle R_{H}$ $\displaystyle $ $\displaystyle =10973731.56855\pm 8 \frac{1}{m}\textrm{\hspace{5mm} (Theorie)}$  
$\displaystyle R_{H}'$   $\displaystyle =R_{H}\cdot c$  

Man erhält die Balmer Serie $n_{2}=2$

$\Longrightarrow$ Seriengrenze bei $ \lambda_{\infty}=91nm$



Die Differenzfrequenz zweier Linien aus einer Serie ist wieder eine beobachtete Linie im Spektrum.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{balmer}
Wellenlängen der Lyman, Balmer und Paschen-Serien im Wasserstoffspektrum.




$\displaystyle \left( \frac{1}{n_{2}^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2}}\right) -\left( \fr...
...{n_{2}^{2}}-\frac{1}{n_{3}^{2}}\right)=\frac{1}{n_{3}^{2}}-\frac{1} {n_{2}^{2}}$ (6.203)

$\Longrightarrow$ Elektronen in $H$ haben diskrete Energieniveaux




Bohrsches Modell

Elektronen bewegen sich auf Planetenbahnen

$\displaystyle \frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}=m_{0}r\omega^{2}$ Kräftegleichgewicht (6.204)


$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{kin}+E_{pot}$  
$\displaystyle E_{pot}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int\limits_\infty^r\left( \frac{-e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}{r'}^{2}}\right) d {r'}=-\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}$  
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{kin}+E_{pot}=\frac{1}{2}m_{0}r^{2}\omega^{2}-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_{0}r}$  

aus

$\displaystyle \frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_{0}r\omega^{2} \textrm{ folgt } m_{0}
r^{2}\omega^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}$  
$\displaystyle \textrm{also } E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}-\frac{e^{2}
}{4\pi\epsilon_{0}r}=-\frac{e^{2}}{8\pi\epsilon_{0}r}$  
$\displaystyle \textrm{und mit } r^{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}m_{0}\omega^{2}}$  
$\displaystyle \textrm{wird } \frac{1}{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{4\pi\epsilon_{0}m_{0}\omega^{2}
}{e^{2}}}=\frac{\l...
...i\epsilon_{0}m_{0}\right) ^{\frac{1}{3}}
\omega^{\frac{2}{3}}}{e^{\frac{2}{3}}}$  
$\displaystyle \textrm{und } E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{e^{2}}{8\pi\epsilon_{0}}\frac{\left( 4\pi\epsilon
_{0}m_{0}\right)^{\frac{1}{3}}\omega^{\frac{2}{3}}}{e^{\frac{2}{3}}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{e^{\frac{4}{3}}\omega^{\frac{2}{3}}m_{0}^{\frac{1}{3}}}{24...
...ac{2}{3}}}=\sqrt[3]{\frac{e^{4}
\omega^{2}m_{0}}{2^{7}\pi^{2}\epsilon_{0}^{2}}}$  

Problem: klassisch:

Bohrs Postulate:

mit

$\displaystyle E_{n_{1}}-E_{n_{2}}=h\nu=h\left( \frac{1}{n_{2}^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2} }\right) R_{H}$ (6.205)

folgt

$\displaystyle E_{n}=-\frac{hR_{H}'}{n^{2}}=-\frac{hcR_{H}}{n^{2}}$ (6.206)

Bohr: Umlauffrequenz = emittierte Frequenz



Dies stimmt bei kleinem $ n$ nicht.


Korrespondenzprinzip: für grosse $ n$ muss die Quantenmechanik in die klassische Mechanik übergehen.


Anwendung


$\displaystyle n_{1}$ $\displaystyle >$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle n_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n_{1}-\tau \textrm{ (benachbarte Bahn) }\tau\in\mathds{N}$  
$\displaystyle \nu$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R_{H}c\left( \frac{1}{n_{2}^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2}}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle R_{H}c\left( \frac{1}{\left( n_{1}-\tau\right) ^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2}
}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{R_{H}c}{n_{1}^{2}}\left( \frac{1}{\left( 1-\frac{\tau
}{n}\right) ^{2}}-1\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{R_{H}c}{n_{1}^{2}}\left( 1+\frac{2\tau}{n_{1}}-1\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2R_{H}c}{n_{1}^{3}}\tau$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2R_{H}c}{n_{1}^{2}}\left( n_{1}
-n_{2}\right)$  

mit $ \tau=1$ ist

$\displaystyle \nu=\frac{2R_{H}c}{n_{1}^{3}}=\frac{\omega}{2\pi}$ (6.207)

und damit:

$\displaystyle E=\frac{R_{H}hc}{n^{2}}=\sqrt[3]{\frac{e^{4}\omega^{2}m_{0}} {2^{...
...2^{7}\pi ^{2}\epsilon_{0}^{2}}\left( \frac{4\pi R_{H}c}{n_{1}^{3}}\right) ^{2}}$ (6.208)


$\displaystyle \frac{R_{H}^{3}h^{3}c^{3}}{n^{6}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{4}m_{0}}{2^{7}\pi^{2}
\epsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{2^{4}\pi^{2}R_{H}^{2}c^{2}}{n_{1}^{6}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{4}m_{0}R_{H}^{2}c^{2}}{2^{3}\epsilon_{0}^{2}n_{1}^{6}}$  
$\displaystyle R_{H}\cdot h^{3}\cdot c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{4}m_{0}}{2^{3}\epsilon_{0}^{2}}$  
$\displaystyle R_{H}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{4}m_{0}}{8\epsilon_{0}^{2}h^{3}c}\Rightarrow e^{4}\cdot
m_{0}\Rightarrow\textrm{Bestimmung von }e\textrm{!}$  

Radius der n-ten Bahn

$\displaystyle r_{n}=n^{2}\cdot\frac{h^{2}\epsilon_{0}}{\pi e^{2}m_{0}}\textrm{   $n$=Hauptquantenzahl}$ (6.209)

Bahndrehimpuls


$\displaystyle \overrightarrow{e}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{\nu}\times\overrightarrow{p}$  
$\displaystyle \left\vert\overrightarrow{e}\right\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_{0}v_{n}r_{n}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_{0}\omega
_{n}r_{n}^{2}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_{0}\frac{2R_{H}c\cdot2\pi}{n^{3}}\cdot\left( \frac
{n^{2}h^{2}\epsilon_{0}}{\pi e^{2}m_{0}}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4\pi m_{0}m_{0}e^{4}c}{8\epsilon_{0}^{2}h^{3}cn^{3}}\cdot\frac
{n^{4}h^{4}\epsilon_{0}^{2}}{\pi^{2}e^{4}m_{0}^{2}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2\pi}n=\hbar n$  

Fehler:


spektrale Grösse $ R_{H}\neq$ theoretische Grösse


Grund: man muss mit der reduzierten Masse rechnen.


$\displaystyle \mu$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$  
$\displaystyle \Longrightarrow R$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R_{\infty}\cdot\frac{1}{1+\frac{m_{0}}{M}}\;\textrm{
KM:Kern-Masse}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle $ $\displaystyle \textrm{Elektron: }9.1\cdot10^{-31}kg$  
$\displaystyle $ $\displaystyle $ $\displaystyle \textrm{Proton }1.67\cdot10^{-27}kg$  
$\displaystyle $ $\displaystyle $ $\displaystyle \Longrightarrow 1-\left( \frac{1}{1+\frac{m_{0}}{M}}\right)
=5.45\cdot10^{-4}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle $ $\displaystyle \Longrightarrow\textrm{Isotopeneffekt}$  

Wasserstoffähnlich: $He^{+},Li^{++},Be^{+++}$


Myonium-Atom $ \mu^{+}e^-$


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm