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Unterabschnitte


Mehrelektronenatome

Elektronenzustände in Atomen werden nach von tiefen Energien zu hohen besetzt.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{helium-terme}
Termschema von Helium




1.Elektron $ n=1$ $ l=0$ $ m=0$ $ s=\frac{1}{2}$ $ s_{z}
=\frac{1}{2}$
2.Elektron $ n=1$ $ l=0$ $ m=0$ $ s=\frac{1}{2}$ $ s_{z} =-\frac{1}{2}$


nach Anregung:

1.Elektron $ n=1$ $ l=0$ $ m=0$ $ s=\frac{1}{2}$ $ s_{z}=?$
2.Elektron $ n>1$ $ l=0..n-1$ $ m=-l...l$ $ s=\frac{1}{2}$ $ s_{z}=?$


Helium $ \rightarrow$ Spektrum

Singulett-System und Triplettsystem ohne Übergänge

$ 2^{3}S$ und $ 2^{1}S$ sind metastabil

$ He$ im Singulett-System $ \rightarrow$ Parahelium

$ He$ im Triplettsystem $ \rightarrow$ Orthohelium

Singulett: es wird keine Feinstruktur beobachtet, daraus folgt, dass die Spins der Elektronen antiparallel sind.


Bezeichnung: grosse Buchstaben bezeichnen gesamtes System

Gesamtspin ist $ s=s_{1}+s_{2}=S=1$

dessen magn. Moment $ \mu_{s}$ hat drei Einstellmöglichkeiten

$\displaystyle S_{z}=1,0,-1$ (6.431)

Die Aufspaltung entsteht wegen der Spin-Bahn-Kopplung


Elektrostatische Wechselwirkung

$ 2^{1}S_{0}$ liegt über $ 2^{3}S_{1}$ der Abstand der Elektronen von der Spineinstellung abhängt.


Symmetrie-Energie


Elektronenenergie

\begin{displaymath}\begin{array}[c]{cc} E=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r_{1}}-...
...silon_{0}r_{12}}  & \overbrace{\text{Abstossung}} \end{array}\end{displaymath} (6.432)

$ \Rightarrow$ Die potentielle Energie ist nicht mehr kugelsymmetrisch. Die Wellenfunktion kann nicht mehr separiert werden.

Die Schrödingergleichung ist nicht geschlossen lösbar $ \Rightarrow$ Störungsrechnung

1. Näherung: vernachlässige die Abstossung

$\displaystyle E=-\left( \frac{Rh_{c}Z^{2}}{n^{2}}\right) _{1}-\left( \frac{RhcZ^{2} }{n^{2}}\right) _{2}$ (6.433)

Energien:

$\displaystyle E_{He}=2x\left( -54,4eV\right) =-108,8eV$ (6.434)

gemessen

\begin{displaymath}\begin{array}[c]{ccc} E_{He}=-79eV & =-24,6eV & +-54,4eV  &...
...{\text{1.Elektron}} & \overbrace{\text{2.Elektron}} \end{array}\end{displaymath} (6.435)

Man könnte argumentieren, dass das äussere Elektron wegen der Abschirmung die Kernladung $ Z=1$ sieht, und nicht $ Z=2$. Dann wäre aber

$\displaystyle E_{He}$ $\displaystyle =-54.4eV-\frac{1}{4}\cdot54.4eV$ (6.436)
  $\displaystyle =-54.4eV-13.35eV$    
  $\displaystyle =-67.75eV$    

ein besserer Schätzwert, aber auch falsch.

Da $ 1{^{1}S}$ aber nicht $ 1{^{3}S}$ beobachtet wird, folgerte Wolfgang Pauli


Die Elektronenzustände eines Atoms können mit Elektronen nur so besetzt werden,dass nie zwei oder mehr Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen.

Drehimpulse

wir haben die Bahndrehimpulse $ \ell_{i}$

Spins                                                                $ s_{i}$

Die Wechselwirkung                                 $ \left( \vec{\ell}_{i}\cdot\vec{s}_{i}\right) $

Wenn nun die Spin-Bahn-Kopplung $ \left( \vec{l}_{i}\cdot\vec{s}_{i}\right) $klein ist gegen die Bahn-Bahnkopplung $ \left( \vec{l}_{i}\cdot\vec{l}_{j}\right) $und gegen die Spin-Spin-Kopplung $ \left( \vec{s}_{i}\cdot
\vec{s}_{j}\right) $

dann addieren alle

\begin{displaymath}\begin{array}[c]{cc} \ell_{i} & \vec{L}=\sum\ell_{i}  s_{i} & \vec{S}=\sum\vec{s}_{i} \end{array}\end{displaymath} (6.437)

getrennt

und der Gesamtdrehimpuls ist

$\displaystyle \vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$ (6.438)

$ \Rightarrow\qquad$
Russel-Sauders-Kopplung

Beträge

$\displaystyle \left\vert \vec{L}\right\vert =\sqrt{L\left( L+1\right) }\hbar$ (6.439)

also ist $ L=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1.....l_{1}-l_{2}\qquad\qquad$ mit $  l_{1}\geq l_{2}$

$ L=0$        S-Term

$ L=1$        P-Term

$ L=2$        D-Term


Auswahlregeln für optische Übergänge

Einzelektron $ \Delta l=\pm1$

Gesamtsystem $ \Delta L=0,\pm1$

Spin

$\displaystyle \vec{S}$ $\displaystyle =\sum\vec{s}_{i}$ (6.440)
$\displaystyle \left\vert \vec{S}\right\vert$ $\displaystyle =\sqrt{s\left( s+1\right) }\hbar$    
$\displaystyle S$ $\displaystyle =ns,\left( n-2\right) s.....0$    

bei $ n$Elektronen

Auswahlregel für Dipolstrahlung

$\displaystyle \Delta S=0$ (6.441)

$ \Rightarrow$ Terme mit verschiedenen Gesamtspin koppeln nicht $ \rightarrow$ Singulett, Triplett-System

Gesamtdrehimpuls $ \vec{J}=\vec{S}+\vec{L}\qquad\left\vert \vec{J}\right\vert =\sqrt{J\left( J+1\right) }\hbar$

Welche Werte für $ J$ sind möglich?


\begin{displaymath}
\begin{array}[c]{cc}
S=0 & J=L\\
S=\frac{1}{2} & J=L+\frac...
...rac{5}{2},L+\frac{1}{2},L-\frac{1}{2},L-\frac{3}{2}
\end{array}\end{displaymath}

$ 2S+1$ Terme


$ He$: Grundzustand

$\displaystyle n_{1}=n_{2}=1,l_{1}=l_{2}=0,s_{1}=\frac{1}{2},s_{2}=\frac{1}{2}
$

$ \Rightarrow L=0,S=0$ für $ m_{s_{1}}=-m_{s_{2}},J=0$

Name $ 1^{1}S_{0}$

oder

$ L=0,S=1$ für $ m_{s_{1}}=m_{s_{2}},J=1$

Name $ 1^{3}S_{1}$ Dieser Zustand ist verboten (Pauli)


weiter

$ n_{1}=1, l_{1}=0, s_{1}=\frac{1}{2}$

$ n_{2}=2, l_{2}=0, s_{2}=\frac{1}{2}$

entweder ist


$ L=0, S=0, J=0$

oder

$ L=0, S=1, J=1$

beide, $ 2^{1}S_{o}$ und $ 2^{3}S_{1}$ sind errlaubt und werden beobachtet

Nomenklatur $ n^{2S+1}L_{j}$

Dabei ist $ n$ die Hauptquantenzahl des höchsten angeregten Elektrons

Anzahl Eltronen 2 3 4 5
Zustände $ S=0$ $ s=\frac{1}{2}$ $ S=0$ $ S=\frac{1}{2}$
  Singulett Dublett Singulett Dublett
  $ S=1$ $ s=\frac{3}{2}$ $ S=1$ $ S=\frac{3}{2}$
  Triplett Quartett Triplett Quartett
      $ S=2$ $ S=\frac{3}{2}$
      Quintett Sextett


bei schweren Atomen nimmt die Spin-Bahn-Kopplung mit der Kernladungszahl $ Z$ zu.

Dann koppeln zuerst Spin und Bahndrehimpuls $ j_{i}=l_{i}+s_{i}$ und erst dann

$\displaystyle J=\sum j_{i}$ (6.442)

die $ L$ und $S$ sind nicht mehr definiert

$\displaystyle \left\vert \vec{J}\right\vert =\sqrt{J\left( J+1\right) }\hbar$ (6.443)

Die $ jj$-Kopplung zeigt sich am Auftreten von Interkombinationsfrequenzen. Sie tritt nur bei sehr schweren Atomen auf.

Normenklatur

$\displaystyle \left( j_{1}...j_{n, ,}j_{1}^{\prime}...j_{n}^{\prime}\right) _{J}$ (6.444)

auch hier ist

$\displaystyle \left\vert \vec{J}\right\vert =\sqrt{J\left( J+1\right) }\hbar$ (6.445)

Auswahlregeln:

$\displaystyle \Delta J=0,\pm1$ (6.446)

wobei $ J=0\leftrightarrow J=0$ verboten ist.

Das magnetische Moment bei $ LS$-Kopplung ist

$\displaystyle \vec{\mu}_{L}+\vec{\mu}_{S}\rightarrow\vec{\mu}_{J}$ (6.447)

$ \vec{\mu}_{L}$ ist antiparallel zu $ \vec{L}$

$ \vec{\mu}_{L}$ ist antiparallel zu $ \vec{s}$

da die $ g$-Faktoren jedoch unterschiedlich sind, ist $ \vec{J}$ nicht antiparallel zu $ \vec{\mu}_{j}$

Das magnetische Moment $ \vec{\mu}_{J}$ präzediert um $ \vec{J}.$

Die Komponente $ \left( \vec{\mu}_{J}\right) _{J\text{ }}$von $ \vec{\mu}_{J}$, die parallel zu $ \vec{J}$ist.

$\displaystyle \left\vert \left( \vec{\mu}_{J}\right) _{J}\right\vert =-\frac{3J...
...) }{2\sqrt{J\left( J+1\right) }}\mu_{B}=-g_{j}\sqrt{J\left( J+1\right) \mu_{B}}$ (6.448)

mit

$\displaystyle g_{j}=1+\frac{J\left( J+1\right) +S\left( S+1\right) -L\left( L+1\right) }{2J\left( J+1\right) }$ (6.449)

und

$\displaystyle \left[ \left( \mu_{J}\right) _{J}\right] _{Z}=-m_{j}g_{j}\mu_{B}$ (6.450)

mit $ m_{j}=-J,-J+1,...,J$


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm