Auswahlregeln:
sind ungleich null, alle anderen gleich null
wobei das elektrische Feld ist
mit N=4 ergibt sich
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(6.368) |
aus folgt
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(6.369) |
und
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(6.370) |
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(6.371) |
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(6.372) |
aus folgt:
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(6.373) |
Dies wird nur bei H beobachtet, da nur bei H entartet ist.
Auswahlregeln
Zwischen zwei Wellenfunktionen ist das Übergangsmatrixelement für
ein Dipolmoment in x-Richtung definiert (Dipolübergangsmatrixelement).
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(6.374) |
Symmetrie von Wellenfunktionen
Beispiel: harmonischer Oszillator
Transformation
dann
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(6.375) |
d.h. das Potential des harmonischen Oszillators ist unverändert bei
Transformation
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(6.376) |
2. Ableitung
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(6.377) |
sei
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(6.378) |
wir transformieren
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(6.379) |
nun ist
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(6.380) |
also
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(6.381) |
d.h. wenn
eine Eigenfunktion von
ist, ist auch
eine Eigenfunktion.
Implizite Annahme: zur Energie gibt es nur eine Eigenfunktion (keine Entartung)
also muss
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(6.382) |
wir setzen
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(6.383) |
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(6.384) |
Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn
aus
folgt
oder
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(6.385) |
Symmetrien in drei Dimensionen
wir ersetzen
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(6.386) |
Transformation
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(6.387) |
Ist
invariant gegen
folgt
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(6.388) |
+ gerade Parität | (6.389) | |
- ungerade Parität | (6.390) |
harmonischer Oszillator
.... gerade Parität
,... ungerade Parität
Sei
und sei konstant
Schrödingergleichung
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(6.391) |
und auch
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(6.392) |
Da
eine Eigenfunktion ist,gilt auch
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(6.393) |
für einen zweiten Winkel gilt
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(6.394) |
und auch
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![]() |
(6.395) |
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(6.396) |
andererseits folgt aus
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(6.397) |
mit
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(6.398) |
![]() |
(6.399) |
also muss
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(6.400) |
Mathematik sagt, dass die einzig mögliche Lösung
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(6.401) |
wobei noch unbekannt ist.
Drehung um
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(6.402) |
daraus folgt
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(6.403) |
also
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(6.404) |
kompatibel mit magnetischer Quartenzahl im Wasserstoffatom
Auswahlregeln
aus
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(6.405) |
schreiben wir
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(6.406) |
Transformation
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(6.407) |
Integrationsgrenzen
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(6.408) |
wenn
bleibt
als quadratische Fkt gleich
also folgt
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(6.409) |
oder
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(6.410) |
Matrixelemente mit
falls
und
gleiche Parität haben ist
,
bei ungleicher Parität ist
Dipol-Matrixelemente des Wasserstoffatoms
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(6.411) |
in Polarkoordination
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(6.412) |
Wir betrachten Drehungen an die z-Achse um
wir haben (von früher)
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(6.413) |
also ist entweder
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(6.414) |
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(6.415) |
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(6.416) |
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(6.417) |
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(6.418) |
mit
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(6.419) |
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(6.420) |
Wir drehen um
um die z-Achse
also wird
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(6.421) |
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(6.422) |
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(6.423) |
also haben wir
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(6.424) |
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(6.425) |
also entweder
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![]() ![]() |
(6.426) |
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![]() ![]() |
(6.427) |
in jedem Falle ist dann
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(6.428) |
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(6.429) |
Auswahlregeln:
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linear polarisiertes Licht | (![]() |
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![]() |
zirkular polarisiert | (![]() ![]() |
Ohne Ableitung
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(6.430) |