Eine physikalische Grösse besteht aus der Masszahl und der Einheit
Beispiel:
Gleichungen müssen nicht nur für die Masszahlen sondern auch für Einheiten gelten, das heisst, dass man mit einer Einheitenbetrachtung feststellen kann, dass eine Gleichung falsch ist. |
Beispiel:
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Die SI-Einheiten sind die gesetzlichen Einheiten. Das SI ist überbestimmt, nur die Einheiten der Länge, der Zeit und der Masse wären notwendig.
Schwingungen von | (2.1) |
Lichtweg in | (2.2) |
d.h. Lichtgeschwindigkeit ist definiert, nicht die Länge. Man könnte setzen und die Länge in Sekunden messen.
Grössen werden im cgs-System durch ,, ausgedrückt
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Eine Grösse messen heisst, das zu messende Objekt mit der Masseinheit zu vergleichen.
Es gibt auch indirekte Messmethoden, z.B. bei Thermometern
Versuch zur Vorlesung: Messunsicherheit (Versuchskarte M-183) |
Bei jeder Messung gibt es eine Messunsicherheit
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Messunsicherheiten werden wie folgt kategorisiert
Wir betrachten die Fehlerfortpflanzung anhand der Geschwindigkeitsmessung. Die Geschwindigkeit kann aus der Zeit , die zum Durchlaufen einer bestimmten Strecke benötigt wird, berechnet werden. Wir nehmen an, dass wir Messungen durchführen, und dabei die Messungen mit bezeichnen. Wir verwenden fernen den Mittelwert der Ortsmessung
und den Mittelwert der Zeitmessung
Die Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert ist dann
Die Standardabweichung eines einzelnen Messwertes einer Grösse bei Messungen ist definiert durch
Die Standardabweichung des Mittelwertes einer Grösse bei Messungen ist
Die einzelnen Messwerte können dann auch als
Es gelten
Mit wird
Dies bedeutet, dass man für statistisch unabhängige Daten sowohl zuerst das Resultat ausrechnen kann und dann mitteln, oder zuerst die Messwerte Mitteln, und dann das Resultat berechnen kann. Die beiden Resultate werden bis auf Summanden der Ordnung in den Fehlern identisch sein.
Der Begriff sagt, dass Terme mit der Ordnung (Summe aller Exponenten) von 2 oder mehr vernachlässigt wurden.
Die Messunsicherheit von wird durch
Ein einzelner berechneter Wert der Geschwindigkeit wird dann
Zufällige Fehler sind Gauss-verteilt. Der relative Fehler des Mittelwertes aller Messungen nimmt meist mit (wobei die Anzahl Messungen ist) ab. Die Messunsicherheit von wird durch
Nun ist aber und nach unseren Annahmen statistisch unabhängig, also nicht korreliert. Daraus folgt, dass das Produkt sich zu null mittelt und weggelassen werden kann. Wir haben also
Im besprochenen Falle haben wir eine Funktion, die als Polynom geschrieben werden kann. Deshalb lässt sich das Fehlerfortpflanzungsgesetz relativ schreiben. Im Allgemeinen gilt: wenn ist, lautet das Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz
Andererseits könnte man auch so argumentieren: Wir ersetzen die Messwerte durch die Schätzwerte und . Wir erhalten (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen, da wir dies ja nicht kennen)
Allgemein gilt: wenn ist, ist
Diese letzteren Rechnungen (Grösstfehlerabschätzung) sollten nicht verwendet werden. Sie liefern bis zu zehn mal zu hohe Fehlerschranken.
Othmar Marti