Allgemein gilt
(4.172) |
Das heisst:
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgrösse. |
Dabei wird jede Impulskoordinate einzeln erhalten. In kartesischen Koordinatensystemen sind dies die Impulse in die -, - und -Richtung. In Kugelkoordinaten sind dies die Impulse in der -, - und -Richtung. Im Detail besprechen wir die Konsequenzen der Impulserhaltung im Abschnitt 4.4.
Allgemein gilt
(4.174) |
Unter potentieller Energie verstehen wir die Möglichkeit, Arbeit zu leisten, wobei wir die Energie, die in der Bewegung ist, ausklammern. Arbeit im physikalischen Sinne ist
(4.175) |
Wir betrachten also nur die Komponente der Kraft , die entlang des Wegelementes liegt.
Nun ist die Kraft, die das System aufbringt, die Kraft, gegen die wir arbeiten müssen, . Die im System gespeicherte Energie ist deshalb
(4.176) |
Damit ist die potentielle Energie definiert durch
|
Einheit der potentiellen Energie :
Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093) |
Link zur Vorlesung:(Bahn eines geworfenen Balles) |
Definition eines Kraftfelds:
Ein Kraftfeld ist ein Gebiet , in dem die Kraft
existiert. hängt dabei eindeutig vom Ort ab.
(4.178) |
Beispiel: Gravitation, Magnetfeld, Feder
Kraftfelder können zeitabhängig sein.
Feldlinien sind Kurven, die in jedem Punkt parallel zu sind.
Feldlinien
|
(4.179) |
Beispiel Gummiband
Die Länge sei
Das Feldlinienbild ergibt sich aus
Gummiband als Kraftfeldquelle
|
Ein Kraftfeld in einem Definitionsgebiet ist kommutativ, wenn die Arbeit für alle in liegenden Wege zwischen zwei beliebigen Punkten und gleich ist, das heisst unabhängig vom Weg. Die Arbeit ist dann eindeutig gegeben.
Definition: Sei statisch, das Gebiet sei einfach zusammenhängend
Berechnung der potentiellen Energie auf einer geschlossenen Bahn in einem
einfach-zusammenhängenden Gebiet .
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ist konservativ, wenn
(4.180) |
unabhängig von gleich null ist
Unabhängigkeit der potentiellen Energie vom Weg.
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Wenn die Arbeit unabhängig vom Weg sein soll, muss die Differenz der Arbeit entlang zeier verschiedener Wege zwischen zwei Punkten null sein.
(4.181) |
wegen der Tatsache, dass in einem konservativen Kraftfeld die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg null ist.
Wirbelfreiheit konservativer Felder.
|
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn
(4.182) |
Nach Stokes gilt
(4.183) |
da beliebig ist und auf einer beliebigen Bahn das Linienintegral entlang eines geschlossenen Weges verschwindet, muss gelten.
Die potentielle Energie ist eindeutig definiert, da in einem konservativen Kraftfeld unabhängig von ist.
Potentielle Energie und Arbeit der Feldkraft
(4.184) |
Wenn man die Arbeit durch die externe Kraft betrachtet, bekommt man
|
Beweis:
sei bezüglich definiert. Das heisst, dass
(4.185) |
Beispiel: Die Gravitation in Erdnähe wird durch das Kraftgesetz
(4.186) |
beschrieben.
|
Die dazugehörige potentielle Energie ist
(4.187) |
ist nicht die Definition der potentiellen Energie, sondern ein Spezialfall. |
Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093) |
Wir betrachten ein System, dessen Energie konstant ist.
(4.188) |
Dabei ist die noch unspezifizierte innere Energie eines Teilchens. Für Massenpunkte ist .
Die Konstanz der gesamten Energie bedeutet, dass deren zeitliche Ableitung null sein muss
(4.189) |
Diese Gleichung ist ein Ausdruck des Hamiltonschen Prinzips, dass die Gesamtenergie konstant sei. Im Einzelnen hat man
(4.190) |
Nehmen wir nun an, dass die innere Energie konstant sei (z.B. Massenpunkte). Dann ist
(4.191) |
Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt. Als Beispiel nehmen wir an, dass
sei. Die kinetische Energie ist entsprechend
Aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält man dann
Diese Gleichung kann auch mit Vektoren geschrieben werden. Wir setzen
Für kann die Bewegungsgleichung als
(4.192) |
geschrieben werden.
Versuch zur Vorlesung: Arbeit an der schiefen Ebene (Versuchskarte M-094) |
Beispiel Hebel
|
Die Grösse , also die Arbeit, wird beim Hebel erhalten.
(4.193) | ||
(4.194) |
dabei ist der Weg entlang der Bahn!
also
(4.195) | ||
(4.196) |
Beispiel:
Kreisbahn
Beispiel:
Luftwiderstand
dann ist
Gleitreibung
das heisst, die Arbeit ist, wie erwartet, proportional zur zurückgelegten Strecke.
Bei der Berechnung der Arbeit spielt Zeit keine Rolle. Wenn wir die Zeit, in der eine Arbeit geleistet wird, berücksichtigen wollen, sprechen wir von Leistung. Sie ist durch
(4.197) |
oder
(4.198) |
definiert.
Beweis:
(4.199) |
(4.200) |
Es gilt
(4.201) |
Was bedeutet dies?
Zuerst betrachten wir die Definition des Gradienten:
(4.202) |
Beweis:
(4.203) |
Andererseits haben wir
(4.204) |
Also ist die Behauptung gezeigt.
Othmar Marti