Teilchensysteme

Wir betrachten ein System von Teilchen

Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem

Die folgenden Grössen benötigen wir

• Äussere Kräfte $\vec{F}_{ai}$
• Innere Kräfte $\vec{F}_{ij}$
• Impulse $\vec{p}_{i}$ im Laborsystem gemessen

Der Gesamtimpuls ist

$$\vec{p}=\sum\limits_{i=1}^n\vec{p}_{i}$$ (4.227)

Aus dem Impulssatz folgt

$$\frac{d}{dt}\vec{p}=\frac{d}{dt}\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{p}_{i}=\vec{F}_{a}=\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ai}$$ (4.228)

Beweis

$\vec{F}_{ai}$ äussere Kraft auf $m$

$\vec{F}_{ij}$ innere Kraft von $m_{i}$ auf $m_{j}$

$\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}$ Reaktionsprinzip

$$\vec{\dot{p}}=\sum\limits_{i=1}^n\vec{\dot{p}}_{i} =\sum\limits_{i=1}^n\left( \vec{F}_{ai}+\vec{F}_{2i}+\vec{F}_{3i}+\ldots\right)$$

$$=\left(\sum\limits_{i=1}^n\vec{F}_{ai}\right)+\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}+\vec{F}_{13}+\vec{F}_{31}+\ldots$$

$$=\sum\limits_{i=1}^n\vec{F}_{ai}=\vec{F}_{a}$$

Impulserhaltung

Wenn keine äusseren Kräfte wirken gilt:

$$\vec{p}=\sum\limits_{i=1}^n\vec{p}_{i}=\sum\limits_{i=1}^nm_{i}\vec{v}_{i} =$$ (4.229)

Massenmittelpunkt

Definition des Ortsvektors des Massenmittelpunktes

$$\vec{r}_{s}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum\limits_{i=1}^n m_{i}}$$ (4.230)

Der Ortsvektor des Massenmittelpunktes ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Ortsvektoren der einzelnen Massepunkte. Aus Gleichung (4.133) bekommt man

$$\vec{r}_{s}\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n m_{i}\right)= \sum\limits_{i=1}^n m_{i}\vec{r}_{i}$$ (4.231)

Wir ersetzen die Summe durch das Integral und erhalten

Für eine kontinuierliche Massenverteilung gilt:

$$\vec{r}_{s}\int dm = \vec{r}_{s}\int \rho(\vec{r})dV =\int\vec{r}dm=\int\vec{r}\cdot\rho\left( \vec{r}\right) dV$$ (4.232)

oder

$$\vec{r}_{s} = \frac{\int \vec{r}dm}{\int dm}=\frac{\int \vec{r}\rho\left(\vec{r}\right)dV}{\int \rho\left(\vec{r}\right)dV}$$ (4.233)

In kartesischen Koordinaten gilt

$$\vec{r}_{s}=\left( \begin{array}[c]{c} x_{s} y_{s} z_{s} \end{array} \right)$$ (4.234)

mit

$$x_{s} =\frac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}$$ (4.235)

$$y_{s} =\frac{\sum m_{i}y_{i}}{\sum m_{i}}$$ (4.236)

$$z_{s} =\frac{\sum m_{i}z_{i}}{\sum m_{i}}$$ (4.237)

Impuls des Massenmittelpunktes

Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-047)

Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-065)

Mit $m=\sum m_{i\text{ }}$gilt:

$$\vec{p}=m\vec{v}_{s}=\frac{d}{dt}\left( m\vec{r}_{s}\right)$$ (4.238)

Beweis

Lokales Koordinatensystem in einer Massenverteilung

Wir verwenden ein lokales Koordinatensystem. Weiter sei $\vec{R}_{i}$ der Ortsvektor des Punktes $i$ im mitbewegten Koordinatensystem.

$$\vec{r}_{i}=\vec{r}_{s}+\vec{R}_{i}$$

$$\sum m_{i}\vec{R}_{i}=\sum m_{i}\vec{r}_{i}-m\vec{r}_{s}=0$$

wenn $m_{i}=const$

$$\Rightarrow\vec{p}=\sum m_{i}\vec{v}_{i}=\frac{d}{dt}\sum m_{i}\l... ...\left( \vec{R}_{i}\right) +\frac{d}{dt}\left( m\vec{r}_{s}\right) =m\vec{v}_{s}$$

Aus

$$\sum m_i \vec{v}_i = m \vec{v}_s = \left(\sum m_i\right) \vec{v}_s$$

bekommt man für die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes

$$\vec{v}_s = \frac{\sum m_i \vec{v}_i }{\sum m_i}$$ (4.239)

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit $v_s$ ist also das mit den Massen gewichtete Mittel der einzelnen Geschwindigkeiten.

Beschleunigung des Massenmittelpunktes

Bei konstanten Massen $m_{i}=const$ gilt für die Beschleunigung des Massenmittelpunktes

$$m\vec{a}_{s}=m\vec{\dot{v}}_{s}=\sum_{i}\vec{F}_{ai}=\frac{d} {dt}\vec{p}$$ (4.240)

Wenn keine äusseren Kräfte wirken folgt aus

$$\vec{F}_{a}=\sum\vec{F}_{ai}=0$$

$$\vec{p}=$$ (4.241)

$$\vec{v}_{s}=\frac{d}{dt}\vec{r}_{s}=$$ (4.242)

Potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld

Wir wollen nun die potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld berechnen.

Koordinatensystem zur Berechnung der potentiellen Energie im Erdschwerefeld

Sei $\vec{g}$ der Feldvektor des Gravitationsfeldes der Erde

Für die Koordinate $z$ gilt

$$mz_{s}=\sum m_{i}z_{i}$$ (4.243)

mit $m=\sum m_{i}$ der Gesamtmasse. Die potentielle Energie ist dann

$$E_{pot}=\sum_{i}m_{i}g z_{i}=g\sum m_{i}z_{i}=g\cdot m z_{s}$$ (4.244)

• $z_{s}$ wird minimal bei jeder Aufhängung eines Systems von Massepunkten an einer punktförmigen Aufhängung

• Wenn das System von Massenpunkten in $z_{s}$ unterstützt wird, ist es im indifferentes Gleichgewicht.

Massenmittelpunktssystem (2 Massen)

Definition der Grössen beim Zweikörperproblem.

Wir wollen die Bewegung der beiden Massen in einem mit dem Massenmittelpunkt mitbewegten Bezugssystem berechnen.

Seien die $\vec{u}_{i}$ die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktssystem

$$\vec{u}_{1} =\vec{v}_{1}-\vec{v}_{s}$$

$$\vec{u}_{2} =\vec{v}_{2}-\vec{v}_{s}$$

Im Laborsystem gilt nach Gleichung (4.142) :

$$\vec{v}_{s}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$ (4.245)

Die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktssystem sind

$$\vec{u}_{1} =\vec{v}_{1}-\vec{v}_{s}=\frac{\vec{v}_{1}\left( m_{1}+m_{2}\righ... ...{m_{1}+m_{2} }=\frac{m_{2}\left( \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right) }{m_{1}+m_{2} }$$

$$\vec{u}_{2} =\vec{v}_{2}-\vec{v}_{s}=\frac{m_{1}\left( \vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}\right) }{m_{1}+m_{2}}$$ (4.246)

Beispiel:

Kollision zweier Massen

Kollision zweier Massepunkte

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist

$$v_{s}=\frac{50\cdot3000-30\cdot1000}{4000}\frac{m}{s}=30\frac{m}{s}$$ (4.247)

Bei einer Kollision bleibt die Massenmittelpunktgeschwindigkeit $\vec{v}_{s}$ bleibt erhalten. Die Relativgeschwindigkeiten im Massenmittelpunktssystem sind

$$u_{1}=\frac{1000\left( 50-/-30\right) }{4000}= 20m/s$$

$$u_{2}=\frac{3000\left( -30-50\right) }{4000}= -60m/s$$ (4.248)

Im Massenmittelpunktssystem hat die leichtere Masse die grössere Geschwindigkeit.

Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines Systems von Massen ist durch

$$E_{kin} =\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{i}$$

$$=\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left( \vec{v}_{s}+\vec{u}_{i}\right) \cdot\left( \vec{v}_{s}+\vec{u}_{i}\right)$$

$$=\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left[ \vec{v}_{s}^{2}+\vec{v}_{s}\vec{u}_{i}+\vec{u}_{i}\vec{v}_{s}+\vec{u}_{i}^{2}\right]$$

$$=\frac{1}{2}\vec{v}_{s}^{2}\sum\limits_{i}m_{i}+\frac{1}{2} \vec{... ...sum\limits_{i}m_{i}2\vec{u}_{i}+\frac{1}{2}\sum \limits_{i}m_{i}\vec{u}_{i}^{2}$$

$$=\frac{1}{2}m\vec{v}_{s}^{2}+\vec{v}_{s}\underset{\text{Nach Defi... ...um\limits_{i}m_{i}\vec{u}_{i}}} +\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\vec{u}_{i}^{2}$$

$$=\frac{1}{2}m\vec{v}_{s}^{2}+\frac{1}{2}\sum m_{i}\vec{u}_{i} ^{2}=E_{kin}+E_{kin\text{,} innen}$$ (4.249)

Da die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit erhalten bleibt, ist nur $E_{kin\text{,} innen}$ relevant für Kollisionen $\Rightarrow$ Kollisionen mit gegenläufigen Bahnen beim Large Hadron Collider (LHC).

Bei inelastischen Stössen kann nur die Energie $E_{kin\text{,} innen}$ in Wärme oder Deformation umgewandelt werden.