Unterabschnitte

Strömungen

Beschreibung von Strömungen





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-024}
Vektorfeld der Strömung




An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit $ \vec{v}\left( \vec{r}\right) $ einen Betrag und eine Richtung.

Das Vektorfeld $ \vec{v}\left( \vec{r}\right) $ ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn $ \vec{v}\left( \vec{r}\right) $ nicht von der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.

Bahnlinien: Bahn eines Teilchens

Bei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkompressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte $ \rho$.

Fluss





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-025}
Fluss




Der Fluss ist definiert als

$\displaystyle d\phi=\rho v\cos\alpha dA$ (7.722)

oder

$\displaystyle d\phi=\rho\vec{v\cdot}d\vec{A}$ (7.723)

Integralform

$\displaystyle \phi=\int\limits_{A}\rho\vec{v}d\vec{A=}\int\limits_{A}\vec{j}d\vec{A}$ (7.724)

wobei $ A$ beliebige Fläche (auch gekrümmt) und $ \vec{j}=\rho\vec{v}$ die Stromdichte ist (analog zum elektrischen Strom). Bei einer geschlossenen Fläche fliesst netto ein Medium heraus, wenn eine Quelle im Volumen ist.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-026}
Berechnung der Divergenz




Wir haben

$\displaystyle d\phi_{1}$ $\displaystyle =-\rho v_{x}\left( x\right)$    
$\displaystyle d\phi_{2}$ $\displaystyle =\rho v_{x}\left( x+dx\right) dydz$    
  $\displaystyle =\rho \left( v_{x}\left( x\right)+\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx\right) dydz$    

Netto:

$\displaystyle d\phi_{1}+d\phi_{2}=\rho v_{x}\left( x\right) \frac{\partial v_{x}}{\partial x}dxdydz=\rho\frac{\partial
v_{x}}{\partial x}dV=d\phi_{x}
$

ebenso:

$\displaystyle d\phi_{y}$ $\displaystyle =\rho\frac{\partial v_{y}}{\partial y}dV$    
$\displaystyle d\phi z$ $\displaystyle =\rho\frac{\partial v_{z}}{\partial z}dV$ (7.725)

Der Nettofluss ergibt sich zu

$\displaystyle d\phi=d\phi_{x}+d\phi_{y}+d\phi_{z}=\rho\left( \frac{\partial v_{...
...}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right) dV$ (7.726)

Ohne Quelle ist $ d\phi=0$, d.h. die Grösse

$\displaystyle  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( \vec{v}\right) =\frac{\par...
...partial x} +\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}$ (7.727)

ist gleich null.

Die Divergenz beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss.

Wenn $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( \vec{v}\right) \neq0$ ist, so muss sich die Dichte an dieser Stelle ändern

$\displaystyle d\phi=\rho  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}dV\vec{=-}\dot{\rho}dV$ (7.728)

oder

$\displaystyle \rho  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}=-\dot{\rho}$ (7.729)

Dies ist die Kontinuitätsgleichung.

$ \rho  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}= {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{j}$ heisst Quelldichte.

Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}=0$.

Es gilt:

$\displaystyle \phi=\underset{\text{Fluss durch A (\glqq Materialmenge\grqq )}}{...
...\dot{\rho}dV} }=\iiint\limits_{V}\rho  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}dV$ (7.730)

Der Satz von Gauss besagt

$\displaystyle \iint\limits_{A}\vec{v}d\vec{A}=\iiint\limits_{V} {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{v}dV$ (7.731)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-028}
Geschwindigkeitsgradient und Rotation




Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.

Wasser strömt mit $ \pm\ell\frac{dv_{y}}{dx}$ am Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn

$\displaystyle \omega_{z}=\frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}$ (7.732)

$ \omega$ zeigt in die $ z$ Richtung. Im Allgemeinen ist

$\displaystyle \vec{\omega}=\left( \frac{\partial v_{z}}{\partial y}-\frac{\part...
...l y},\frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}\right)$ (7.733)

mit $  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} = \left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)
$ wird

$  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} {\vec{v}}=\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial
y},\frac{\partial}{\partial z}\right) \times\vec{v}$ die Rotation des Strömungsfeldes.

Es gilt dann

$\displaystyle \underset{\text{Bahnkurve s}}{\underbrace{\oint\vec{v}d\vec{s}} }...
...l {a}che}}{\underbrace{\int  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} {\vec{v}d\vec{A}}}}$ (7.734)

Falls $  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}  \vec{v}=0$ ist kann $ \vec{v}$ aus dem Geschwindigkeitspotential $ U$ abgeleitet werden.

$\displaystyle \vec{v}=- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U$ (7.735)

Dann gilt $  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}  \vec{v}=0$

Für inkompressible Flüssigkeiten gilt

$\displaystyle  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} {\vec{v}}=- {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} { {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} {U}}=-\Delta U=0$ (7.736)

Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch die gleiche Mathematik beschrieben werden:

Strömung $ \longleftrightarrow$ Graviation $ \longleftrightarrow$ Elektrostatik

Lokale und totale Ableitungen *





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-029}
Mitbewegtes System




Sei $ S^{\ast}$ das Laborsystem, $ S$ das mitbewegte System,das $ \Delta m$ folgt. Seien $ s^{\ast}$ lokale zeitliche Ableitungen und $ s$ totale zeitliche Ableitungen

Das 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von $ \Delta m,$ aber nur in $ S\left( t\right) $

(in $ S^{\ast}$ betrachtet man Volumina, nicht Massen)

Also ist

$\displaystyle \vec{F}_{m}=\frac{\vec{F}}{m}=\vec{a}=\frac{d\vec{v}} {dt}    in   S\left( t\right)$ (7.737)

Lokale Ableitung:

$ \vec{r}$ ist in $ S^{\ast}$ fest

$\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( \vec{r},t\right) =\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( x,y,z,t\right)$    
$\displaystyle \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}\left( \vec{r},t\right) =\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}\left( x,y,z,t\right)$ (7.738)

Totale zeitliche Ableitungen

In $ S\left( t\right) $ beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.

$\displaystyle \vec{r}=\vec{r}\left( t\right) =\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right)$ (7.739)

wobei $ x\left( t\right) $ die Koordinaten in $ S^{\ast}$ sind

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle =\rho\left( \vec{r}\left( t\right) ,t\right) =\rho\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) t\right)$    
$\displaystyle \vec{v}$ $\displaystyle =\vec{v}\left( \vec{r}\left( t\right) ,t\right) =\vec{v}\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) t\right)$ (7.740)

Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn $ \vec{r}\left( t\right) $

$\displaystyle \frac{d\rho}{dt}$ $\displaystyle =\frac{d}{dt}\rho\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) ,t\right)$    
$\displaystyle \vec{a}$ $\displaystyle =\frac{d\vec{v}}{dt}$ (7.741)

Zusammenhang:

Dichte

$\displaystyle \frac{d}{dt}\rho=\frac{\partial}{\partial t}\rho+\left(  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}  \rho\right) \cdot\vec{v}$ (7.742)

Beweis:

$\displaystyle \frac{d}{dt}\rho=\frac{\partial\rho}{\partial x}\cdot\frac{\parti...
...{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial t} +\frac{\partial\rho}{\partial t}$ (7.743)

qed.

Beschleunigung:

$\displaystyle \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\l...
...{1}{2}\vec{v}^{2}\right) -\vec{v}\times  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{v}$ (7.744)

Kontinuitätsgleichung

Grund Massenerhaltung

$\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}+ {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \...
...rac{\partial\rho}{\partial t}+\rho  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{v}=0$ (7.745)

Beweis: Ortsfests Volumen

$\displaystyle \Delta V$ $\displaystyle =\Delta x\cdot\Delta y\cdot\Delta z$    
$\displaystyle \delta\left( \Delta m\right)$ $\displaystyle =\Delta x\cdot\Delta y\cdot\Delta z\cdot\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( z+\frac{1}{2}\Delta z\right) \delta t$    
  $\displaystyle =-\rho\left( z+\Delta z\right) \cdot v_{z}\left( z+\Delta z\right...
...rho\left( z\right) v_{z}\left( z\right) \cdot\delta t\cdot\Delta x\cdot\Delta y$    
$\displaystyle \frac{\delta\left( \Delta m\right) }{\partial t}$ $\displaystyle =\Delta x\Delta y\Delta z\frac{\partial}{\partial t}\rho\left( z\...
...{z}\left( z\right) \right) }{\partial z}\cdot\Delta z\cdot\Delta x\cdot\Delta y$    
$\displaystyle \frac{\partial\rho\left( z\right) }{\partial t}$ $\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial t}\left( \rho\left( z\right) v_{z}\left( z\right) \right)    usw.$ (7.746)





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-027}
Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit




Die Stromlinien durch $ A$ definieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinen Austausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit

$\displaystyle A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}$ (7.747)

Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.


Stationäre Strömung

Sei $ \frac{\partial}{\partial t=0}$. Dann ist die Dichte $ \frac{dp} {dt}=\left(  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}  \rho\right)
\cdot\vec{v}$ und die Kontinuitätsgleichung $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( \rho\vec{v}\right) =0$.

$\displaystyle \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}= {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \lef...
...{1}{2}\vec{v}^{2}\right) -\vec{v}\times  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{v}$ (7.748)

Im Stromfaden gilt

$\displaystyle A_{1}\rho_{1}v_{1}=A_{2}\rho_{2}v_{2}=const$ (7.749)

Inkompressible Flüssigkeiten

$\displaystyle \frac{d\rho}{dt}$ $\displaystyle =\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$    
$\displaystyle  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{v}$ $\displaystyle = 0$ (7.750)

dann gilt $ : A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}=const.$

Innere Reibung





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-030}
Innere Reibung in einer Flüssigkeit




Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.

$ \vec{v}\left( z\right) $ ist parallel zur Wand.

Für die Kraft gilt

$\displaystyle \vec{F}=\eta A\frac{\vec{v}}{z}$ (7.751)

$ \eta:\left[ \frac{Ns}{m^{2}}\right] $ heisst Viskosität (Scherviskosität)

Beispiel

Wasser: $ 1.8\cdot10^{-3}\frac{Ns}{m^{2}}$

Glyzerin $ 1\frac{Ns}{m^{2}}$

Allgemein:

$\displaystyle \vec{F}=\eta A\frac{d\vec{v}}{dz}$ (7.752)

wobei $ A$ klein sein soll.

Temperaturabhängigkeit:

Moleküle müssen ihren Platz wechseln ( $ \rightarrow$ Bolzmannstatistik)

$\displaystyle \eta=\eta_{\infty}e^{\frac{b}{T}}$ (7.753)


Laminare Strömung





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-031}
Viskose Strömung um einen Quader




Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlinien benachbart bleiben (Beispiel: Blut)

$\displaystyle d\vec{F}_{1}$ $\displaystyle =\left. -\eta\frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\right\vert _{1}dydz$    
$\displaystyle d\vec{F}_{2}$ $\displaystyle =\eta\left. \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\right\vert _{2}dyd...
...ial x}\right\vert _{1}+\frac{\partial^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}}dx\right) dydz$    
$\displaystyle d\vec{F}_{R}$ $\displaystyle =d\vec{F}_{1}+d\vec{F}_{2}=\eta\frac{\partial ^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}}dxdydz=\eta\frac{\partial^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}}dV$ (7.754)

Allgemein:

$\displaystyle d\vec{F}_{R}=\eta\left( \frac{\partial^{2}\vec{v}}{\partial x^{2}...
...v}}{\partial^{2}y^{2}}+\frac{\partial ^{2}\vec{v}}{\partial^{2}z^{2}}\right) dV$ (7.755)

oder

$\displaystyle \vec{F}_{V_{R}}=\frac{d\vec{F}}{dV}=\eta\Delta\vec{v}$ (7.756)

die Volumenkraft der Reibung.

Die Druckkraft ist

$\displaystyle d\vec{F}_{p}=pdydz-\left( p+\frac{\partial p}{\partial x}dx\right) dydz=-\frac{\partial p}{\partial x}dV$ (7.757)

also

$\displaystyle \vec{F}_{V_{p}}=- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}  p$ (7.758)

$ \vec{F}_{V_{R}}$ und $ \vec{F}_{V_{p}}$ beschreiben die Dynamik


Strömung durch einen Spalt *





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-032}
Strömung durch einen Spalt




$ v=0$ an der Wand

$ v=v_{0}$ in der Mitte

$ \frac{dv}{dx}\Rightarrow$ Reibungskraft $ F_{R}=2\ell b\eta\frac{dv}{dx}$

Druck: $ F_{p}=2xb\ell\frac{dp}{dz}$

$ \Rightarrow\frac{dv}{dx}=\frac{1}{\eta}\frac{dp}{dz}x$

$ \Rightarrow v\left( x\right) $ ist eine Parabel

$\displaystyle v=v_{0}-\frac{1}{2\eta}\frac{dp}{dx}x^{2}=v_{0}-\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta\ell }x^{2}$

Am Rand ist $ v=0$

$\displaystyle \Rightarrow\hspace{1cm} v_{0}=\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta\ell }d^{2}$

Rohrströmung





\includegraphics[width=0.2 \textwidth]{deform-033}
Rohrströmung




Am Rand ist die Geschwindigkeit null, $ v=0$.

$\displaystyle F_{R}=2\pi r\ell\eta\frac{dv}{dr}$

$\displaystyle F_{p}=\pi r^{2}\left( p_{1}-p_{2}\right) $

also

$\displaystyle \frac{dv}{dr}=\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta \ell}r
$

$\displaystyle \Rightarrow\hspace{1cm} v=v_{0}-\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta \ell}r^{2}$

und

$\displaystyle v_{0}=\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta \ell}R^{2}$

infinitesimal

$\displaystyle v_{z}\left( r\right) =-\frac{1}{4\eta}\frac{dp}{dz}\left( R^{2}-r^{2}\right) $

Volumenstrom: $ d\dot{V}=2\pi rdr\cdot v\left( r\right) $

also:

$\displaystyle \dot{V}=\int\limits_{0}^{R}2\pi rv\left( r\right) dr=\frac{\pi\left( p_{1}-p_{2}\right) }{8\eta \ell}R^{4}=\frac{\pi}{8\eta}\frac{dp}{dz}R^{4}$ (7.759)

Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei $ \frac{dp}{dz}=-8\eta\frac {\left<v\right>}{R^{2}}$ und $ \left<v\right>=\frac{\dot{V}}{\pi R^{2}}$

Der Strömungswiderstand ist: $ \frac{8\eta\ell}{\pi R^{4}}$

Druck und Volumenstrom

Druckkraft $ F_{p}=\pi R^{2}\left( p_{1}-p_{2}\right) =\frac{8\eta \ell}{R^{2} }\dot{V}$


Strömung um Kugeln





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-034}
Strömung um eine Kugel




Die Kugel hat im Abstand $ r$ keinen Einfluss mehr auf die Strömung

$\displaystyle \Rightarrow\hspace{1cm}-\frac{dv}{dz}\sim\frac{v}{r}$

Oberfläche: $ 4\pi r^{2}$

$\displaystyle F\approx\eta\frac{dv}{dz}\cdot A=-\eta\frac{v}{r}4\pi r^{2}\sim-4\pi\eta vr
$

Genauer erhält man

$\displaystyle F=-6\pi\eta vr$ (7.760)

das Stokes-Gesetz.


Prandtl-Grenzschicht





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-035}
Prandtl-Grenzschicht




Reibungskraft: $ F_{R}=\eta A\frac{v}{D}$

Verschieben um $ \ell$:

$\displaystyle W=F_{R}\cdot\ell=\eta A\frac{v}{D}\ell$ (7.761)

Kinetische Energie in der Grenzschicht:

$\displaystyle E_{kin}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{D}A\rho dz\left( v\cdot\frac{z}{D} ^{2}\right) =\frac{1}{6}A\rho v^{2}D$ (7.762)

mit $ W=E_{kin} $ wird

$\displaystyle D=\sqrt{\frac{6\eta \ell}{\rho v}}
$

Reynolds-Kriterium

$\displaystyle D$ $\displaystyle «\ell$    
  $\displaystyle \Rightarrow\frac{\ell}{D}\gg1$    
$\displaystyle \sqrt{\frac{\rho v\ell^{2}}{6\eta \ell}}$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{\rho v\ell}{6\eta}}\gg1$ (7.763)

$\displaystyle \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A \mathc...
.../''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits =\frac{\rho v\ell}{\eta}\gg1$ (7.764)

dabei ist $ \ell$ eine typische Dimension und $ v$ die mittlere Geschwindigkeit.

wenn

Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl. $ Re_{krit}$ mit

$\displaystyle \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A \mathcode\lq \-''2D\mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits$ $\displaystyle >\mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A \math...
...mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits _{krit}\Rightarrow$turbulent    
$\displaystyle \mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A \mathcode\lq \-''2D\mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits$ $\displaystyle <\mathop{\mathcode\lq \'''27\mathcode\lq \*''2A\mathcode\lq \.''613A \math...
...mathcode\lq \/''2F\mathcode\lq \:''603A \kern0pt\fam0 Re}\nolimits _{krit}\Rightarrow$laminar (7.765)


Bemerkung:
Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich $ \Rightarrow$ Windkanal

Bei $ D\ll \ell$ ist $ F_{R}=\eta A\frac{v}{D}=A\sqrt{\frac{v^{3}\eta\rho}{\ell}}$

$ F_{R}$ ist etwa der Mittelwert aus


Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit *

Neben der Scherviskosität existiert noch die Volumenviskosität $ \zeta$

$\displaystyle \sigma^{\ast}\vec{n=}\frac{\vec{F}^{\ast}}{A}=-\zeta\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt}\vec{n=-\zeta}\frac{d}{dt}\ln\rho\vec{n}$ (7.766)

Dabei ist $ \zeta$ die Volumenviskosität.

Das Gesetz von Navier-Stokes lautet

$\displaystyle \rho\frac{d\vec{v}}{dt}$ $\displaystyle =\rho\left( \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ {}\boldsymbol{\m...
...{\vec{v}^{2}}{2}-\vec{v}\times  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}  \vec{v}\right)$    
  $\displaystyle =\vec{F}_{V}- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}  p+\eta\Delta\vec{...
...t)  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}   {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{v}$    
  $\displaystyle =\vec{F}_{V}- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}  p-\eta  {}\bolds...
...t)  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}   {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{v}$ (7.767)

Vereinfachungen:


Strömung idealer Flüssigkeiten





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-036}
Ideale Strömung




Bei einer idealen Strömung gibt es keine Reibung, die Strömung ist laminar.

Aus der Volumenerhaltung folgt

$\displaystyle A_{1}\Delta x_{1}=A_{2}\Delta x_{2}=\Delta V$    

Die verrichtete Arbeit ist

$\displaystyle \Delta W_{1}=p_{1}A_{1}\Delta x_{1}$    

und

$\displaystyle \Delta W_{2}=p_{2}A_{2}\Delta x_{2}$    

Wir erhalten als Energiebilanz

$\displaystyle \Delta W=\Delta W_{1}-\Delta W_{2}=\Delta E_{kin}$    

und damit

$\displaystyle \left( p_{1}-p_{2}\right) \Delta V=\frac{1} {2}\rho\Delta V\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)$    

Das ergibt nun

$\displaystyle p+\frac{1}{2}\rho v^{2}=p_{0}=const$ (7.768)

Dies ist die Bernoulli-Gleichung.

Bei der Gravitation muss noch $ \rho gh$ berücksichtigt werden (allg. $ E_{pot})$

Anwendung





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-037}
Manometer




Ein Manometer misst nur den statischen Druck.





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-038}
Prandtlsches Staurohr




$\displaystyle p_{0}-p=\frac{1}{2}\rho v^{2}$ (7.769)





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{deform-039}
Ausströmen aus einem Loch




$\displaystyle \frac{1}{2}\rho v^{2}$ $\displaystyle =p$    
$\displaystyle v$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{2p}{\rho}}$ (7.770)

Bei Schweredruck $ p=\rho gh$ folgt $ v=\sqrt{2gh}$

Wenn $ v>\sqrt{\frac{2p_{0}}{\rho}}=v_{k}$ wird der statische Druck $ <0$

Es gibt eine Dampfbildung (Kavitation).

Strömungswiderstand *





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deform-040}
Stromlinie




Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Widerstand (Paradoxon von d'Alembert).





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-041}
Reales Bild einer Wirbelstrasse




Def. Wirbel: Wenn ein Boot auf einem geschlossenen Weg angetrieben wird

Def. Zirkulation :

$\displaystyle \Gamma=\oint\vec{v}d\vec{s}=\int  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}  \vec{v }d\vec{a}\neq0$ (7.771)





\includegraphics[width=0.3\textwidth]{deform-042}
Potentialwirbel




$\displaystyle v_{r}$ $\displaystyle = 0$ (7.772)
$\displaystyle v_{\varphi }$ $\displaystyle =\frac{\Gamma}{2\pi r}$ (7.773)

Beim Potentialwirbel gilt:

\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}[c]{c}
 {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \...
...ein Geschwindigkeitspotential }\phi=\frac{\Gamma}{2\pi}\varphi
\end{displaymath}

Druck und Druckgradient *

Nach Bernoulli:

$\displaystyle p$ $\displaystyle =p_{0}-\frac{1}{2}\rho v^{2}=p_{0}-\rho\frac{\sqrt{^{2}}}{8\pi^{2} }-\frac{1}{r^{2}}$    
$\displaystyle p$ $\displaystyle = 0$   für$\displaystyle  r_{0}=\frac{\Gamma}{2\pi}\left( \frac{\rho}{2p_{0} }\right) ^{\frac{1}{2}}$ (7.774)

d.h. für $ r<r_{0}$ ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.

Volumenkraft

$\displaystyle \vec{F}_{V}=- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} p=-\rho\frac{\Gamma^{2}}{4\pi^{2}}\frac{\vec{r}}{r^{4}}$ (7.775)

(nach innen gerichtet)

Helmholtzsche Wirbelsätze *





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{deform-043}
Helmholtzsche Wirbelsätze




Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm