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An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit einen Betrag und eine Richtung.
Das Vektorfeld ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn nicht von der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.
Bahnlinien: Bahn eines Teilchens
Bei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkompressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte .
Fluss
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Der Fluss ist definiert als
(7.722) |
oder
(7.723) |
Integralform
(7.724) |
wobei beliebige Fläche (auch gekrümmt) und die Stromdichte ist (analog zum elektrischen Strom). Bei einer geschlossenen Fläche fliesst netto ein Medium heraus, wenn eine Quelle im Volumen ist.
Berechnung der Divergenz
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Wir haben
Netto:
ebenso:
(7.725) |
Der Nettofluss ergibt sich zu
(7.726) |
Ohne Quelle ist , d.h. die Grösse
(7.727) |
Die Divergenz beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss.
Wenn ist, so muss sich die Dichte an dieser Stelle ändern
(7.728) |
oder
(7.729) |
Dies ist die Kontinuitätsgleichung.
heisst Quelldichte.
Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall .
Es gilt:
(7.730) |
Der Satz von Gauss besagt
(7.731) |
Geschwindigkeitsgradient und Rotation
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Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.
Wasser strömt mit am Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn
(7.732) |
zeigt in die Richtung. Im Allgemeinen ist
(7.733) |
mit wird
die Rotation des Strömungsfeldes.
Es gilt dann
(7.734) |
Falls ist kann aus dem Geschwindigkeitspotential abgeleitet werden.
(7.735) |
Dann gilt
Für inkompressible Flüssigkeiten gilt
(7.736) |
Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch die gleiche Mathematik beschrieben werden:
Strömung Graviation Elektrostatik
Mitbewegtes System
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Sei das Laborsystem, das mitbewegte System,das folgt. Seien lokale zeitliche Ableitungen und totale zeitliche Ableitungen
Das 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von aber nur in
(in betrachtet man Volumina, nicht Massen)
Also ist
(7.737) |
Lokale Ableitung:
ist in fest
(7.738) |
Totale zeitliche Ableitungen
In beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.
(7.739) |
wobei die Koordinaten in sind
(7.740) |
Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn
(7.741) |
Zusammenhang:
Dichte
(7.742) |
Beweis:
(7.743) |
(7.744) |
Grund Massenerhaltung
(7.745) |
(7.746) |
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Die Stromlinien durch definieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinen Austausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit
(7.747) |
Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.
Sei . Dann ist die Dichte und die Kontinuitätsgleichung .
(7.748) |
Im Stromfaden gilt
(7.749) |
Inkompressible Flüssigkeiten
(7.750) |
dann gilt
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Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.
ist parallel zur Wand.
(7.751) |
heisst Viskosität (Scherviskosität)
Beispiel
Wasser:
Glyzerin
Allgemein:
(7.752) |
wobei klein sein soll.
Temperaturabhängigkeit:
Moleküle müssen ihren Platz wechseln ( Bolzmannstatistik)
(7.753) |
Viskose Strömung um einen Quader
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Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlinien benachbart bleiben (Beispiel: Blut)
(7.754) |
Allgemein:
(7.755) |
oder
(7.756) |
Die Druckkraft ist
(7.757) |
also
(7.758) |
und beschreiben die Dynamik
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an der Wand
in der Mitte
Reibungskraft
Druck:
ist eine Parabel
Am Rand ist
Rohrströmung
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Am Rand ist die Geschwindigkeit null, .
also
infinitesimal
Volumenstrom:
also:
(7.759) |
Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei und
Der Strömungswiderstand ist:
Druckkraft
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Die Kugel hat im Abstand keinen Einfluss mehr auf die Strömung
Oberfläche:
Genauer erhält man
(7.760) |
|
Reibungskraft:
Verschieben um :
(7.761) |
Kinetische Energie in der Grenzschicht:
(7.762) |
mit wird
Reynolds-Kriterium
(7.763) |
(7.764) |
dabei ist eine typische Dimension und die mittlere Geschwindigkeit.
wenn
Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl. mit
turbulent | ||
laminar | (7.765) |
Bemerkung:
Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich
Windkanal
Bei ist
ist etwa der Mittelwert aus
Neben der Scherviskosität existiert noch die Volumenviskosität
(7.766) |
Dabei ist die Volumenviskosität.
Das Gesetz von Navier-Stokes lautet
(7.767) |
Vereinfachungen:
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Bei einer idealen Strömung gibt es keine Reibung, die Strömung ist laminar.
Aus der Volumenerhaltung folgt
Wir erhalten als Energiebilanz
Das ergibt nun
(7.768) |
Dies ist die Bernoulli-Gleichung.
Bei der Gravitation muss noch berücksichtigt werden (allg.
Manometer
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Ein Manometer misst nur den statischen Druck.
Prandtlsches Staurohr
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(7.769) |
Ausströmen aus einem Loch
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(7.770) |
Bei Schweredruck folgt
Wenn wird der statische Druck
Es gibt eine Dampfbildung (Kavitation).
Stromlinie
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Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Widerstand (Paradoxon von d'Alembert).
Reales Bild einer Wirbelstrasse
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Def. Wirbel: Wenn ein Boot auf einem geschlossenen Weg angetrieben wird
Def. Zirkulation :
(7.771) |
Potentialwirbel
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(7.772) | ||
(7.773) |
Beim Potentialwirbel gilt:
Nach Bernoulli:
für | (7.774) |
d.h. für ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.
Volumenkraft
(7.775) |
(nach innen gerichtet)
Helmholtzsche Wirbelsätze
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Othmar Marti