Molekulares Bild der Flüssigkeit. Links das Innere, rechts die Oberfläche. Obere Zeile:
Kohäsionskräfte an der Oberfläche sind nicht gleichverteilt. Untere Zeile: Stösse mit der
Oberfläche erzeugen eine nach aussen gerichtete Kraft.
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Im Inneren einer Flüssigkeit (oder eines Gases) sind die anziehenden Kräfte (auch Kohäsionskräfte genannt) isotrop verteilt. Es gibt auf ein bestimmtes Atom keine Nettokraft. Kohäsionskräfte sind kurzreichweitig. Mehr als über zwei bis vier Atome oder Moleküle reichen sie nicht. Ebenso sind im Inneren der Flüssigkeit oder des Gases die Stösse und die Impulse isotrop verteilt. Die Stösse ergeben also im Mittel keine Kraft. Dabei ist die Standardabweichung nicht null: dies führt zur Brownschen Bewegung.
An der Oberfläche einer Flüssigkeit existieren mindestens zwei, im Gravitationsfeld drei Kräfte.
Da die Oberfläche in Ruhe ist, müssen die drei Kräfte im Gleichgewicht sein. Die aus dem Impulsübertrag resultierende Kraft nach aussen muss also gleich der Kohäsionskraft und, eventuell, der Gravitation oder anderer äusserer Kräfte, sein.
Da die Oberfläche stabil ist, bedeutet dies auch, dass die potentielle Energie eines Atoms oder Moleküls im Inneren tiefer liegen muss als ausserhalb der Flüssigkeit. Dies kann auch so verstanden werden, dass für jedes Teilchen im Inneren im Mittel Kohäsionspotentiale (alle !)aufsummiert werden müssen, während an der Oberfläche nur Potentiale zum Summieren vorhanden sind. Die Summe aller Kohäsionspotentiale an der Oberfläche ist also weniger negativ als im Inneren. Der Energieunterschied pro Fläche ist dann die Oberflächenenergie.
Diese Oberflächenenergie kann berechnet werden, wenn man annimmt, dass die Stösse mit der Oberfläche unveränderlich eine konstante nach aussen gerichtete Kraft erzeugen. Schiebt sich nun ein Molekül an die Oberfläche, so leistet es die Arbeit gegen . Damit wird
Der Index bezeichnet dabei die Oberfläche (surface). Die gesamte Energie der Oberfläche wird berechnet, indem aufsummiert (oder integriert) wird.
Die potentielle Energie der gesamten Oberfläche (eventuell berandet) ist minimal, wenn die Oberfläche minimal ist. Die Gesamtenergie hängt mit der Oberfläche und der Oberflächenspannung wie folgt zusammen:
(7.700) |
Die Einheit der Oberflächenspannung ist .
Wenn Moleküle an der Oberfläche sind, gilt
(7.701) |
Dabei ist die Flächendichte der Moleküle, der effektive Durchmesser eines Moleküls und die Arbeit, die benötigt wird um ein Molekül gegen die Oberflächenkraft an die Oberfläche zu bringen (siehe Gleichung (7.62) ).
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(7.702) |
(7.703) |
Pro Flüssigkeitsoberfläche wirkt auf die Breite die Kraft.
(7.704) |
Tropfenzähler
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Der Querschnitt ist . Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass die aufwärtsgerichte Kraft der Oberflächenspannung gerade das Gewicht des Tropfens kompensiert. Ausser an der Berandung kompensieren sich alle Kräfte.
(7.705) |
Also ist
(7.706) |
Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.
Krümmungsradien bei einer freien Oberfläche
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Die Oberfläche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien und
Behauptung
(7.707) |
Beweis für eine Kugel
Oberflächenspannung und Druck in einer Kugel
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Wir haben eine Äquatorialfläche und einen Äquatorialumfang . Die Druckkraft ist , die Oberflächenspannung am Umfang (da wir 2 Oberflächen haben!)
Also
(7.708) |
da bei der Kugel ist.
Beispiel:
Seifenblasen.
Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wieso?)
Freie nicht geschlossene Oberflächen sind Minimalflächen mit
(7.709) |
Da der Krümmungsradius ist, gilt auch
(7.710) |
Benetzende Flüssigkeiten
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Steigt die Flüssigkeit um wird das Volumen über den Spiegel der Flüssigkeit ausserhalb der Kapillare gehoben. Die Gewichtskraft dieses Volumens muss von der Oberflächenspannung entlang des Umfangs getragen werden.
(7.711) |
(7.712) |
und
(7.713) |
Bei Nichtbenetzung beobachtet man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Quecksilber).
Wann immer zwei beliebige Substanzen sich berühren, existieren Grenzflächenenergien.
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Für benetzende Flüssigkeiten ist negativ. Da die Randlinie sich nicht bewegt, muss
(7.714) |
(7.715) |
Wenn ist, müsste sein. Es gibt deshalb einen reellen Winkel und kein Kräftegleichgewicht. Die Flüssigkeit kriecht deshalb die Wand hoch.
Wenn ist, das heisst, wenn ist, steigt der Flüssigkeitsspiegel am Rande nicht an, sondern wird nach unten gedrückt. Der Randwinkel ist dann . Quecksilber in einem Glasgefäss zeigt dieses Verhalten.
An der Grenze wo Luft, Flüssigkeit und die feste Wand sich berühren müssen die Adhäsions- und Kohäsionskräfte im Gleichgewicht sein. Die Adhäsionskräfte beschreiben die Kräfte zwischen der Flüssigkeit und der festen Wand. Die Adhäsionskräfte zwischen dem Dampf und der Wand werden vernachlässigt. Die Flüssigkeit selber wird durch Kohäsionskräfte, die anziehenden Kräfte zwischen den Molekülen, zusammengehalten.
Für ein Molekül an der Grenzlinie gibt es die Adhäsionskraft zur Wand. Diese Kraft steht senkrecht zur Wand. Die Kohäsionskräfte werden durch die anderen Flüssigkeitsmoleküle aufgebracht. Die resultierende Kohäsionskraft muss entlang der Winkelhalbierenden zwischen der Tangente zur Oberfläche und zur Wand liegen. Da die Oberfläche keine Scherkraft aufnehmen kann, muss die resultierende Kraft senkrecht zur Flüssigkeitsoberfläche liegen. Wir beobachten
Kohäsion und Adhäsion bei Benetzung und ohne Benetzung
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Der Grenzwinkel zwischen der Flüssigkeit und der Wand (in der Flüssigkeit!) kann mit dem folgenden Ansatz ausgerechnet werden. Wir legen die -Achse horizontal nach rechts, die -Achse nach oben. Die auf ein Teilchen an der Grenzlinie im Winkel wirkende Kohäsionskraft kann mit der Kohäsionskraft im Inneren (in einer Ebene) als
Wir können mit dem Kräftegleichgewicht, das heisst der resultierenden Kraft 0, für die -und -Richtung zwei Gleichungen aufstellen
(7.716) |
Eingesetzt haben wir
Aus der zweiten Gleichung in Gleichung (7.80) bekommen wir mit
Wir multiplizieren das Resultat aus Gleichung (7.81) mit in die erste Gleichung aus Gleichung (7.80) ein und erhalten
Dies ist ein bemerkenswertes Resultat: Der Betrag der resultierenden Kraft hängt nur von der Adhäsionskraft ab, nicht aber von der Kohäsionskraft.
Wir setzen das Resultat aus Gleichung (7.82) zurück in die Gleichung (7.81) ein und erhalten die transzendente Gleichung
Wenn wir annehmen, dass ist mit , so erhalten wir
Diese Gleichung gilt nur da wo ist
Othmar Marti