Unterabschnitte

Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])

Wenn sich ein System nicht in seiner Gleichgewichtslage befindet, dann schwingt in der Regel seine Position um diese Lage. Diese periodischen oder quasiperiodischen Bewegungen werden Schwingungen genannt. Die Schwingungsform kann sinusförmig sein (harmonische Schwingung) oder eine allgemeine Form haben. Mathematische Sätze sagen, dass jede periodische Bewegung in eine Summe von sinusförmigen Bewegungen aufgeteilt werden kann.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Plastikfedern (Versuchskarte M-117)

Harmonische Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{schwingung-masse-feder}
Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems




Die Kraft auf die Masse ist durch

$\displaystyle F = -k x$ (8.776)

gegeben, wobei $ k$ die Federkonstante ist. Durch diese Kraft wird die Masse beschleunigt, so dass

$\displaystyle F = -kx = ma = m\frac{d^2 x}{dt^2}$

Umgeschrieben erhalten wir die Bewegungsgleichung

$\displaystyle a=\frac{d^2 x}{dt^2} = - \left(\frac{k}{m}\right) x$ (8.777)

Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. Traditionellerweise wird die obige Gleichung auch als

$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} + \left(\frac{k}{m}\right) x = 0$ (8.778)

geschrieben. Die Bewegung ist periodisch mit der Frequenz $ \nu = 1/T$, wobei $ T$ die Schwingungsdauer ist.

Frequenzen werden in Hertz $ Hz = 1/s$ gemessen. Die Kreisfrequenz $ \omega$ hängt über $ \omega = 2 \pi \nu$ mit der Frequenz $ \nu$ zusammen. Die Kreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Frequenz verwechselt werden.

Die Lösung der Gleichung (8.3) ist

$\displaystyle x = A \cos\left(\omega t + \delta\right)$ (8.779)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Link zur Vorlesung:(Simulation der harmonischen Schwingung)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Federpendel (Versuchskarte M-105)

Diese Lösung wird durch die Simulation illustriert. Die Phase ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von $ 2\pi $ bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). Die Position beim Nulldurchgänge ist $ x(0) = A\cos\delta$.

Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch.

Die Geschwindigkeit der Masse ist

$\displaystyle v = \frac{dx}{dt} = - A \omega \sin\left(\omega t + \delta\right)$ (8.780)

Die Geschwindigkeit bei $ t=0$ ist $ v(0) = -A\omega\sin\delta$. Da von den drei die Schwingung bestimmenden Grössen zwei, $ A$ und $ \omega$ unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit $ t=0$ und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen.

Die Beschleunigung ist

$\displaystyle a = \frac{d^2x}{dt^2} = - A \omega^2 \cos\left(\omega t + \delta\right)$ (8.781)

Mit Gleichung (8.2) kann man schreiben

$\displaystyle a = - \left(\frac{k}{m}\right) x = - \left(\frac{k}{m}\right) A \cos\left(\omega t + \delta\right) - A \omega^2 \cos\left(\omega t + \delta\right)$ (8.782)

und damit

$\displaystyle \omega^2 = \frac{k}{m}$ (8.783)

Damit sind die Frequenz $ \nu$ und die Schwingungsdauer $ T_0$


$\displaystyle \nu$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$  
$\displaystyle T_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (8.784)

Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (lineares System).

Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 387])





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{schwingungen-kreisbewegung}
Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung




Da die Funktionen $ \sin\omega t$ und $ \cos\omega t$ beide die Schwingungsgleichung erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingung die Projektion einer Kreisbewegung ist (siehe auch die Simulation). Nach der Definition des Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius $ A$ auf die $ x$-Achse gerade der Cosinus.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Link zur Vorlesung:(Schwingung und Kreisbewegung)

Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 388])

Die potentielle Energie einer um die Länge $ x$ ausgelenkten Feder ist

$\displaystyle E_{pot}(t) = \frac{1}{2} k x^2(t)$ (8.785)

Die kinetische Energie ist

$\displaystyle E_{kin}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t)$ (8.786)

Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energie fordert

$\displaystyle E_{ges}(t) = \textrm{const} = E_{kin}(t)+E_{pot}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t) + \frac{1}{2} k x^2(t)$ (8.787)

Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung $ \vert x(t)\vert = A$ ist die Geschwindigkeit $ v(t)=0$. Also ist bei einem harmonischen Oszillator

$\displaystyle E_{ges} = \frac{1}{2} k A^2$ (8.788)

die Gesamtenergie.

Setzen wir die Lösung $ x(t) = A\cos\left(\omega t + \delta\right)$ und damit auch $ \frac{dx(t)}{dt} = -
A\omega\sin\left(\omega t + \delta\right)$ jeweils ein, erhalten wir

$\displaystyle E_{pot}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \left(\omega t + \delta\right)$  
$\displaystyle E_{kin}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2\left(\omega t + \delta\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} k A^2 \sin^2\left(\omega t + \delta\right)$ (8.789)

wobei wir $ \omega^2 = k/m$ verwendet haben. Die Gesamtenergie ist


$\displaystyle E_{ges}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \left(\omega t + \delta\right) + \frac{1}{2} k A^2 \sin^2\left(\omega t +
\delta\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} k A^2 \left[\sin^2\left( \omega t +
\delta\right)+\cos^2 \left(\omega t + \delta\right)\right]$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} k A^2$ (8.790)

unabhängig von $ t$. Der Energieinhalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her.

Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator.

Beispiele:

Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase $ \Theta = \omega t + \delta$ wie folgt geschrieben werden:


$\displaystyle E_{pot}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{ges}\cos^2\Theta$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{ges}\frac{1}{2}\left(1+\cos 2\Theta\right)$  
$\displaystyle E_{kin}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{ges} \sin^2\Theta$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{ges}\frac{1}{2}\left(1-\cos 2\Theta\right)$ (8.791)

Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte

$\displaystyle \left<E_{pot}\right> = \left<E_{kin}\right> = \frac{1}{2}E_{ges}$ (8.792)

sind.

Phasenbild

Bei einer Schwingung|harmonisch ist

$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle = A \cos(\omega  t)$    
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle = -\omega A  \sin(\omega  t)$    

Im Phasenbild wird nun $ v(t)$ gegen $ x(t)$ aufgetragen. Dabei ist die Zeit $ t$ der Parameter. Wir sprechen auch von einer Parameterdarstellung.





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{phasenbild}
Phasenbild eines harmonischen Oszillators




Das Phasenbild zeigt den Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit, nicht jedoch den Zeitlichen Ablauf. Phasenbilder werden zum Beispiel verwendet, um chaotische System zu beschreiben.

Zeichnet man $ p(t) = m v(t)$ gegen $ x(t)$ auf, so nennt man die Fläche

$\displaystyle h = p x = m  v  x$ (8.793)

Die Einheit dieses $ h$ ist $ kg  \frac{m}{s}  m = m^2 kg s^{-1} = J s$. Dies ist die gleiche Einheit wie beim Planckschen Wirkungsquantum. Die von einem Zustand im Phasenbild eingenommene Fläche sagt also etwas aus, wie nahe dieser Zustand einem Quantenzustand ist.

Feder-Masse-System im Schwerefeld

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 392])





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{schwingungen-schwerefeld}
Schwingendes System im Schwerefeld




Eine Feder im Schwerefeld mit Masse wird durch die Bewegungsgleichung

$\displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx +mg$ (8.794)

beschrieben (1. Simulation und 2. Simulation). Die Ruhelage ist durch $ 0=-k
x_0 + mg$ gegeben. Also ist

$\displaystyle x_0 = \frac{mg}{k}$ (8.795)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir die Koordinate $ x' = x-x_0$ verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme $ x$ und $ x'$ sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen $ \frac{dx}{dt} = \frac{dx'}{dt}$ und die zweiten Ableitungen $ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2x'}{dt^2}$ gleich. Deshalb wird Gleichung (8.19)

$\displaystyle m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k\left(x'+x_0\right) +mg = -kx' -kx_0 +mg = -kx'$ (8.796)

da $ kx_0 = mg$ ist. Damit erhalten wir die bekannte Lösung

$\displaystyle x'(t) = A\cos\left(\omega t +\delta \right)$ (8.797)

Die potentielle Energie bezogen auf die neue Gleichgewichtslage $ x_0$ ist

$\displaystyle E_{pot,F} = \frac{1}{2} k \left(x'+x_0\right)^2 - \frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{1}{2} k x'^2 + k x' x_0 = \frac{1}{2} k x'^2 + m g x'$ (8.798)

da $ kx_0 = mg$ ist. Zusätzlich gibt es die potentielle Energie der Gravitation $ E_{pot,g} = -mgx'$ bezogen auf die Ruhelage. Die gesamte potentielle Energie ist die Summe aus den potentiellen Energien der Feder und der Gravitation.

$\displaystyle E_{pot} = E_{pot,F}+E_{pot,g}=\frac{1}{2} k x'^2 + m g x'- mgx' = \frac{1}{2} k x'^2$ (8.799)

Diese potentielle Energie ist unabhängig von $ g$, wenn wir von der jeweiligen Ruhelage aus rechnen.


Pendel im Schwerefeld

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 394])


Mathematisches Pendel

$ _{}$





\includegraphics[width=0.55\textwidth]{schwingung-pendel}
Mathematisches Pendel im Schwerefeld




Ein mathematisches Pendel ist eine Punktmasse $ m$ aufgehängt an einem masselosen Faden der Länge $ L$.

Der vom Pendel zurückgelegte Weg ist die Bogenlänge

$\displaystyle s = L\phi$ (8.800)

Die Kraft tangential an den Bogen $ -mg\sin \phi$ beschleunigt die Masse $ m$. Die Bewegungsgleichung ist

$\displaystyle -mg \sin\phi = m\frac{d^2 s}{dt^2}$ (8.801)

Umgeschrieben erhalten wir

$\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = - g\sin\phi = - g \sin\frac{s}{L}$ (8.802)

Für sehr kleine Winkel $ \phi \ll 1$ ist $ \sin\phi \approx \phi$. Damit wird die obige Gleichung

$\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = - g \frac{s}{L} = -\frac{g}{L} s$ (8.803)

Mit $ g/L = \omega^2$ erhalten wir die Schwingungsgleichung

$\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = - \omega^2 s$ (8.804)

deren Lösung $ s(t) = s_0\cos\left(\omega t + \delta\right)$ bekannt ist (Simulation). Die Schwingungsdauer ist

$\displaystyle T_0 = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ (8.805)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Link zur Vorlesung:(Fadenpendel)

Für grosse Amplituden ist die Schwingungsdauer durch die Reihenentwicklung

$\displaystyle T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left[1+\frac{1}{2^2}\sin^2\left(\fra...
...t(\frac{3}{4}\right)^2\sin^4\left(\frac{1}{2}\frac{s_0}{L}\right)+\ldots\right]$ (8.806)

gegeben.


Physikalisches Pendel

$ _{}$





\includegraphics[width=0.34\textwidth]{schwingung-phys-pendel}
Physikalisches Pendel. $ A$ ist der Aufhängungspunkt, $ S$ der Massenmittelpunkt.




Wir müssen nun mit dem Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Drehpunktes $ A$ rechnen. Das Drehmoment ist

$\displaystyle \left\vert\vec{M}\right\vert = I\alpha = I \frac{d^2\phi}{dt^2}$ (8.807)

Die Bewegungsgleichung ist also

$\displaystyle -mgd \sin\phi = I \frac{d^2\phi}{dt^2}$ (8.808)

In der traditionellen Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung

$\displaystyle \frac{d^2\phi}{dt^2} + \frac{mgd}{I} \sin\phi =0$ (8.809)

Mit $ \frac{mgd}{I} = \omega^2$ und unter der Annahme einer kleinen Amplitude ist das physikalische Pendel ein harmonischer Oszillator mit der Bewegungsgleichung

$\displaystyle \frac{d^2\phi}{dt^2} + \omega^2 \phi =0$ (8.810)

Die Schwingungsdauer ist

$\displaystyle T_0 = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$ (8.811)

Eine Anwendungsmöglichkeit dieser Gleichung ist die Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers

$\displaystyle I = \frac{m g d T_0^2}{4\pi^2}$ (8.812)

Zum Beispiel ist für einen einseitig eingespannten Stab das Trägheitsmoment $ I = \frac{1}{3} m \ell^2$. Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also $ d = \frac{1}{2}\ell$. Damit wird die Schwingungsdauer

$\displaystyle T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{3} m\ell^2}{m g \frac{1}{2} \ell}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\ell}{3g}}$

Vergleiche dies mit dem Resultat für ein mathematisches Pendel $ T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.

Torsionspendel

$ _{}$





\includegraphics[width=0.45\textwidth]{schwingung-torsions-pendel}
Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage)




\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Drehpendel (Versuchskarte SW-021)

Das rückstellende Moment ist proportional zum Verdrillungswinkel und dient zur Winkelbeschleunigung des Drehkörpers mit dem Trägheitsmoment $ I$

$\displaystyle \left\vert\vec{M}\right\vert = -D\phi = I\frac{d^2 \phi}{dt^2}$ (8.813)

Wieder setzen wir $ \omega^2 = \frac{D}{I}$. Die Periodendauer ist

$\displaystyle T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}}$ (8.814)

Bewegung in der Nähe von Gleichgewichtspunkten

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 400])

Wir nehmen eine allgemeine Potentialfunktion

$\displaystyle E_{pot}(x) = E_{pot}(x_0) + \left.\frac{dE_{pot}(x)}{dx}\right\ve...
...left.\frac{1}{2}\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0} (x-x_0)^2 + \ldots$ (8.815)

an und entwickeln sie in eine Taylorreihe um den Punkt $ x_0$. Dieser Punkt soll ein Gleichgewichtspunkt sein. Dann ist die Kraft $ F(x) =
-\frac{dE_{pot}(x)}{dx}$ als Funktion durch die erste Ableitung der potentiellen Energie gegeben. Am Gleichgewichtspunkt ist jedoch die Kraft null, also $ \left(\left.\frac{dE_{pot}(x)}{dx}\right\vert _{x_0}=0\right)$. Die Steigung der Kraft-Distanz-Kurve im Gleichgewichtspunkt $ x_0$, die Federkonstante $ k$, ist durch die zweite Ableitung gegeben.

Also kann an jedem Gleichgewichtspunkt bei genügend kleinen Auslenkungen die Schwingungsgleichung


$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2} + \left.\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0} (x-x_0)$  
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left.\frac{dE_{pot}(x)}{dx}\right\vert _{x_0}$ (8.816)

geschrieben werden. Die Frequenz für kleine Bewegungen ist

$\displaystyle \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{m}\cdot \left.\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0}}$ (8.817)

Daraus folgt für die Periodendauer

$\displaystyle T = {2\pi} \sqrt{\frac{m}{\left.\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0}}}$ (8.818)

Gedämpfte Schwingung

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 401]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 150])

Eine genaue Beobachtung zeigt, dass die Amplitude jeder freie Schwingung sich nach einer gewissen, charakteristischen Zeit um einen bestimmten Betrag erniedrigt. Die Dämpfung ist in vielen Fällen proportional zur Geschwindigkeit

$\displaystyle \vec{F_D}= - b\vec{v}$ (8.819)

Das Kräftegleichgewicht ergibt

$\displaystyle -kx -b v = m\frac{dv}{dt}$ (8.820)

Für kleine Dämpfungen ist die neue Resonanzfrequenz $ \omega'$ in der Nähe von $ \omega_0$. Mit jeder Schwingung nimmt die Energie $ E_{tot} = E_{pot}(x_{max})= E_{kin}(v_{max}) = 2\left< E_{kin}\right> =
\left<mv^2\right> = m\left<v^2\right>$ in einer definierten Zeiteinheit um einen bestimmten Betrag ab. Diese Leistung ist

$\displaystyle P = \frac{dE_{tot}}{dt} = \vec{F_D}\cdot \vec{v}= -bv^2$ (8.821)

Wenn wir $ v^2$ durch $ \left<v^2\right> = \frac{E_{tot}}{m}$ ersetzt, bekommt man

$\displaystyle \frac{dE_{tot}}{dt} = - \frac{b}{m}E_{tot}$ (8.822)

Der Energieinhalt eines gedämpften Oszillators nimmt also exponentiell ab. Die relative Abnahme der Energie ist für alle Zeiten gleich. Wir lösen die Gleichung durch

$\displaystyle \frac{dE_{tot}}{E_{tot}} = -\frac{b}{m}dt$ (8.823)

und erhalten nach der Integration

$\displaystyle \ln E_{tot}(t) = -\frac{b}{m} t + C$ (8.824)

oder, nach einer Exponentiation

$\displaystyle E_{tot}(t) = e^{-(b/m)t+C} = e^C\cdot e^{-(b/m) t} = E_0 e^{-(b/m)t}$ (8.825)

Wir haben $ E_0 = e^C$ gesetzt. Mit der Zeitkonstante $ \tau = m/b$ bekommen wir

$\displaystyle E = E_0 e^{-(b/m)t} = E_0 e^{-t/\tau}$ (8.826)

Güte des schwingungsfähigen Systems

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Federpendel: Amplitudenverlauf (Versuchskarte M-105)

Der Energieverlust pro Periode $ T_0$ ist

$\displaystyle \frac{\Delta E_{tot}}{E_{tot}} = -\frac{b}{m} T_0$ (8.827)

Man charakterisiert die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems oft durch die Güte $ Q$. Wenn der Energieverlust pro Periode $ \Delta E_{tot}$ ist, gilt

$\displaystyle Q = 2\pi \frac{E_{tot}}{-\Delta E_{tot}}$ (8.828)

Der $ Q$-Faktor ist umgekehrt proportional zum relativen Energieverlust pro Periode

$\displaystyle \frac{-\Delta E_{tot}}{E_{tot}} = \frac{2\pi}{Q}$

Es gilt auch

$\displaystyle Q = 2\pi \frac{E_{tot}}{-\Delta E_{tot}} = 2\pi \frac{m}{b T_0} = 2\pi\frac{\tau}{T_0}$ (8.829)

Da die Energie des Oszillators proportional zum Quadrat der Amplitude ist ( $ E_{tot} = \frac{1}{2}
kx_{max}^2 = \frac{1}{2}kA^2$ gilt für die Abnahme der Amplitude

$\displaystyle \frac{E_{tot}}{E_0} = \frac{A^2}{A_0^2}=e^{-t/\tau}$ (8.830)

Also ist

$\displaystyle A = A_0 e^{-t/(2\tau)}$ (8.831)

Zur Lösung der Schwingungsgleichung machen wir den komplexen Ansatz

$\displaystyle x(t) = A_0 e^{-i\omega t}$

und setzen in Gleichung (8.45) ein. Mit $ k/m = \omega_0^2$ bekommen wir

0 $\displaystyle = m\ddot{x}+b\dot{x}+k x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}+\omega_0^2 x$    
  $\displaystyle = -\omega^2 A_0 e^{-i\omega t} -i\omega A_0 e^{-i\omega t} +\omega_0^2A_0 e^{-i\omega t}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \omega_0^2-\omega^2-i\omega\frac{b}{m}$    

Dies ist eine quadratische Gleichung in $ \omega$. Die Lösungen sind

$\displaystyle \omega_{1\text{,} 2}$ $\displaystyle = -\frac{i\frac{b}{m} \pm \sqrt{-\frac{b^2}{m^2}+4\omega_0^2}}{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -i\frac{b}{2m} \mp \sqrt{\omega_0^2-\frac{b^2}{4m^2}}$    

Es gibt drei Lösungen

$\displaystyle \omega_{1\text{,} 2} = \left\{ \begin{array}{ll} -i\frac{b}{2m} ...
...\frac{b}{2m}$ (\uml {u}berkritische D\uml {a}mpfung).}   \end{array} \right.$ (8.832)

Bei $ b/(2m)=\omega_0$ haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen Fällen haben wir jeweils das $ \pm$.

Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind

$\displaystyle x(t) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-\frac{b}{2m}t}\left(A_{0\tex...
...\right), & \hbox{f\uml {u}r $\omega_0<\frac{b}{2m}$ .}   \end{array} \right.$ (8.833)

Wir testen noch, dass für $ \omega_0=b/(2m)$ die Lösung stimmt. Für diesen Spezialfall lautet die Differentialgleichung

$\displaystyle 0 =$ $\displaystyle \ddot{x}+2\omega_0 \dot x +\omega_0^2 x$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle -2\omega_0A_{0\text{,} 2}e^{-\omega_0 t}+\omega_0^2\left(A_{0\text{,}  1}+A_{0\text{,} 2}t\right) e^{-\omega_0 t}$    
  $\displaystyle +2\omega_0 A_{0\text{,} 2}e^{-\omega_0 t}-2\omega_0^2 \left(A_{0\text{,}  1}+A_{0\text{,} 2}t\right) e^{-\omega_0 t}$    
  $\displaystyle +\omega_0^2\left(A_{0\text{,} 1} + A_{0\text{,} 2} t\right)e^{-\omega_0 t}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle -2\omega_0A_{0\text{,} 2}+\omega_0^2\left(A_{0\text{,}  1}+A_{0...
...xt{,} 2}t\right) +\omega_0^2\left(A_{0\text{,} 1} + A_{0\text{,} 2} t\right)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \omega_0^2\left[A_{0\text{,} 1}+A_{0\text{,} 2}t-2\left(A_{0\te...
...\text{,}  2}t\right]+\omega_0\left[-2A_{0\text{,} 2}+2A_{0\text{,} 2}\right]$    
$\displaystyle =$ 0    

Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falle der unterkritischen Dämpfung ist


$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_0 e^{-(b/(2m))t}\cos(\omega' t + \delta)$  
$\displaystyle \omega'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \omega_0\sqrt{1-\left(\frac{b}{2 m \omega_0}\right)^2} =
\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ (8.834)

Wenn die Dämpfung den kritischen Wert $ b_k = 2 m\omega_0$ übertrifft, schwingt das System nicht mehr. Für $ b=b_k$ nennt man das System kritisch gedämpft. Für $ b>b_k$ ist es überkritisch gedämpft und für $ b<b_k$ unterkritisch gedämpft.

Zum Beispiel verwendet man in Autos geschwindigkeitsproportionale Stossdämpfer um eine kritische Dämpfung zu erreichen. Sind die Stossdämpfer alt, wird die Dämpfung der Fahrzeugschwingungen, z.B. durch Bodenwellen angeregt, unterkritisch und man fliegt von der Strasse.


Erzwungene (gedämpfte) Schwingung und Resonanz

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 406]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 154])





\includegraphics[width=0.12\textwidth]{schwingung-getriebenes-pendel}
Mit einem Exzenter angetriebenes Federpendel




\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Erzwungene Schwingung (Versuchskarte SW-090)

Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungsschwingung $ z(t) = z_0\cos\omega t$ sowie durch das Federpendel mit der Masse $ m$, der Dämpfung $ b$ und die Federkonstante $ k$. Die rücktreibende Kraft an der Feder ist

$\displaystyle F_F(t) = -k\left(x(t)-z(t)\right)$ (8.835)

Die Beschleunigung ist wieder durch $ m\ddot{x}(t) = F(t)$ gegeben; die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung durch $ -b\dot{x}(t)$

Die Bewegungsgleichung ist also

$\displaystyle F(t) = -k\left(x(t)-z(t)\right) -b\dot{x}(t) = m\ddot{x}(t)$ (8.836)

Wenn wir $ z(t)$ einsetzten und umstellen, erhalten wir

$\displaystyle m\ddot{x}(t)+b\dot{x}(t)+k x(t) = z_0 k \cos\omega t$ (8.837)

Wir teilen durch $ m$ und kürzen $ k/m = \omega_0^2$ ab und erhalten

$\displaystyle \ddot{x}(t)+ \frac{b}{m} \dot{x}(t) +\omega_0^2 x(t) = z_0 \omega_0^2 \cos\omega t$ (8.838)

Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung

$\displaystyle \ddot{x}(t)+ \frac{b}{m} \dot{x}(t) +\omega_0^2 x(t) = 0$

(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowie der stationären Lösung. Dieser Teil der Lösung hat die Form

$\displaystyle x(t) = A(\omega) \cos \left(\omega t -\delta(\omega)\right)$ (8.839)

wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir


$\displaystyle $   $\displaystyle A(\omega)\left[-\omega^2 \cos(\omega t -\delta(\omega)) -\frac{b}...
...in(\omega t
-\delta(\omega)) + \omega_0^2\cos(\omega t - \delta(\omega))\right]$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle z_0 \omega_0^2
\cos\omega t$ (8.840)

Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen $ \sin$ und $ \cos$ mit Phasen in reine Winkelfunktionen auflösen. Also setzen wie $ \cos(\omega t -\delta(\omega)) = \cos(\omega t)\cos(\delta(\omega))+\sin(\omega
t)\sin(\delta(\omega))$ und $ \sin(\omega t -\delta(\omega)) = \sin(\omega t)\cos(\delta(\omega))-\cos(\omega
t)\sin(\delta(\omega))$. Wir bekommen dann


$\displaystyle z_0 \omega_0^2
\cos\omega t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A(\omega)\left[-\omega^2 \cos(\omega
t)\cos(\delta(\omega))\right.$  
$\displaystyle $   $\displaystyle +\frac{b}{m}\omega\cos(\omega t)\sin(\delta(\omega))$  
$\displaystyle $   $\displaystyle \left.+ \omega_0^2\cos(\omega t)\cos(\delta(\omega))\right]$  
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle A(\omega)\left[-\omega^2 \sin(\omega t)\sin(\delta(\omega))\right.$  
$\displaystyle $   $\displaystyle -\frac{b}{m}\omega\sin(\omega
t)\cos(\delta(\omega))$  
$\displaystyle $   $\displaystyle \left. + \omega_0^2\sin(\omega t)\sin(\delta(\omega))\right]$ (8.841)

Diese Gleichungen können vereinfacht werden


$\displaystyle z_0 \omega_0^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A(\omega)\left[-\omega^2 \cos(\delta(\omega))
+\frac{b}{m}\omega\sin(\delta(\omega))
+ \omega_0^2\cos(\delta(\omega))\right]$  
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\omega^2 \sin(\delta(\omega))-\frac{b}{m}\omega\cos(\delta(\omega)) + \omega_0^2\sin(\delta(\omega))$ (8.842)

Aus der zweiten Gleichung folgt

$\displaystyle \left(\omega_0^2-\omega^2\right)\sin(\delta(\omega)) = \frac{b}{m}\omega\cos(\delta(\omega))$ (8.843)

und daraus

$\displaystyle \tan(\delta(t)) = \frac{b\omega}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}$ (8.844)

Wir verwenden $ \cos\phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}$ und $ \sin\phi = \cos\phi \cdot \tan\phi =
\frac{\tan\phi}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}$ und bekommen aus der ersten Gleichung

$\displaystyle \frac{z_0 \omega_0^{2}}{A(\omega)}$ $\displaystyle = \frac{\omega_0^{2}-\omega^{2}}{\sqrt{1+\tan^{2}(\delta(t))}} + \frac{b\omega}{m}\frac{\tan(\delta(t))}{\sqrt{1+\tan^{2}(\delta(t))}}$    
  $\displaystyle = \frac{\omega_0^{2}-\omega^{2}+\frac{b^{2}\omega^{2}}{m^{2}\left...
...qrt{1+\frac{b^{2}\omega^{2}}{m^{2}\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}}}$    
  $\displaystyle = \frac{\left(\omega_0^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2}\omeg...
...{\sqrt{\left(\omega_0^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2}\omega^{2}}{m^{2}}}}$    
  $\displaystyle = \sqrt{\left(\omega_0^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2}\omega^{2}}{m^{2}}}$ (8.845)

Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase

$\displaystyle \delta(\omega)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arctan\left(\frac{b\omega}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}\right)$ (8.846)
$\displaystyle A(\omega)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_0 \omega_0^2}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{b^2\omega^2}{m^2}}}$ (8.847)

gegeben.

Mit der Definition der Güte aus Gleichung (8.54) sowie mit $ \omega_0 = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ schreiben wir zuerst

$\displaystyle Q = 2\pi\frac{m}{bT} = \omega_0\frac{m}{b}\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}\frac{b}{m} = \frac{\omega_0}{Q}$ (8.848)

und erhalten


$\displaystyle \delta(\omega)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arctan\left(\frac{\omega\omega_0}{Q\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}\right)$ (8.849)
$\displaystyle A(\omega)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_0 \omega_0^2}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{\omega^2\omega_0^2}{Q^2}}}$ (8.850)

Die folgenden Bilder zeigen einige typische Frequenz- und Phasengänge.





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{harmoisch-gedaempft1000}
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit $ z_0 = 1$, $ \omega _0 = 1$, $ Q=10$ (unterkritische Dämpfung).









\includegraphics[width=0.6\textwidth]{harmoisch-gedaempft200}
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit $ z_0 = 1$, $ \omega _0 = 1$, $ Q=2$ (unterkritische Dämpfung).









\includegraphics[width=0.6\textwidth]{harmoisch-gedaempft50}
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit $ z_0 = 1$, $ \omega _0 = 1$, $ Q=0.5$ (kritische Dämpfung).









\includegraphics[width=0.6\textwidth]{harmoisch-gedaempft10}
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit $ z_0 = 1$, $ \omega _0 = 1$, $ Q=0.1$ (überkritische Dämpfung).




Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude

$\displaystyle A(\omega) = \frac{z_0 }{\sqrt{\left(1-\omega^2/\omega_0^2\right)^2+\frac{\omega^2}{\omega_0^2 Q^2}}}$ (8.851)

Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz, erhält man, indem man $ \frac{dA(\omega)}{d\omega}=0$ berechnet.

$\displaystyle \frac{dA(\omega)}{d\omega}$ $\displaystyle = \frac{d}{d\omega}\frac{z_0 }{\sqrt{\left(1-\omega^2/\omega_0^2\right)^2+\frac{\omega^2}{\omega_0^2 Q^2}}}$    
  $\displaystyle = \frac{z_0}{2}\frac{ \left( 4  \left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega...
... \right) ^{2}+ {\frac {{\omega}^{2}{{ \omega_0}}^{2}}{{Q}^{2}}} \right) ^{3/2}}$ $\displaystyle =$ 0    

Damit ist

0 $\displaystyle = 4  \left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega}^{2} \right) \omega-2 {\frac {\omega {{ \omega_0}}^{2}}{{Q}^{2}}}$    
$\displaystyle \frac {\omega {{ \omega_0}}^{2}}{{Q}^{2}}$ $\displaystyle = 2\left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega}^{2} \right) \omega$    
$\displaystyle \frac {{ \omega_0}^{2}}{{Q}^{2}}$ $\displaystyle = 2\left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega}^{2} \right)$    
$\displaystyle \omega^2$ $\displaystyle = \omega_0^2\left(1-\frac{1}{2Q^2}\right)$    
$\displaystyle \omega$ $\displaystyle = \pm \omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$    

Hier ist nur die positive Lösung physikalisch sinnvoll. Also ist

$\displaystyle \omega_R = \omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}= \sqrt{\omega_0^2-\frac{b^2}{2m^2}}$ (8.852)

Diese Resonanzfrequenz) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpften Systems (Siehe Gleichung (8.59) ).

Die Bestimmung der Kenndaten eines Oszillators aus der Amplitude ist bei hohen Güten $ Q$ sehr schwierig und sehr ungenau. Viel einfacher ist es, die Phase bei $ \omega_0$ und ihre Steigung an der Stelle zu bestimmen.

Berechnung der Steigung $ d\delta(\omega)/d\omega$:

$\displaystyle \frac{d\delta(\omega)}{d\omega}$ $\displaystyle = \frac{d}{d\omega}\arctan\left(\frac{\omega_0\omega}{Q\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}\right)$    
  $\displaystyle = \frac{ {\frac {{ \omega_0}}{Q \left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega}...
... \omega_0}}^{2}}{{Q}^{2} \left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega}^{2} \right) ^{2}}} }$    
  $\displaystyle = \frac{ { {{ \omega_0}}{Q \left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega}^{2} ...
... \omega_0}}^{2}-{\omega}^{2} \right) ^{2}}+{{{\omega}^ {2}{{ \omega_0}}^{2}}} }$    

An der Stelle $ \omega=\omega_0$ ist der Funktionswert

$\displaystyle \left.\frac{d\delta(\omega)}{d\omega}\right\vert _{\omega=\omega_0}$ $\displaystyle = \frac{ { {{ \omega_0}}{Q \left( {{ \omega_0}}^{2}-{\omega_0}^{2...
...ega_0}}^{2}-{\omega_0}^{2} \right) ^{2}}+{{{\omega_0}^ {2}{{ \omega_0}}^{2}}} }$    
  $\displaystyle = \frac{2Q\omega_0^3}{\omega_0^4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2Q}{\omega_0}$    

Bei der Resonanzfrequenz $ \omega=\omega_0$ des ungedämpften Systems ist die Phase

$\displaystyle \delta(\omega_0) = \pi/2$ (8.853)

Die Steigung der Phase $ d\delta(\omega)/d\omega$ hat an der Stelle $ \omega_0$ den Wert

$\displaystyle \left.\frac{d\delta(\omega}{d\omega}\right\vert _{\omega_0}= 2\frac{Q}{\omega_0}$ (8.854)

Es ist sehr viel einfacher, $ \omega_0$ und $ Q$ aus der Phase als aus der Amplitude zu bestimmen.

Überlagerung von Schwingungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 142])

Schwingungen in unterschiedliche Richtungen

Wenn in der $ x$-Richtung eine Schwingung $ x(t) = x_0 \cos(\omega_x t)$ und in der $ y$-Richtung eine Schwingung $ y(t) = y_0 \cos(\omega_y t + \delta)$ überlagert werden, entstehen Lissajous-Figuren. Solche Schwingungen können entstehen, wenn zum Beispiel eine Kugel in einer elliptischen Potentialmulde hin- und herschwingt.


Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingungen-ueberlagerung}
Zeigerdiagramm. Links für zwei Zeiten, in der Mitte das Zeigerdiagramm für zwei Schwingungen (rot) und (blau) mit der Summe (grün) und rechts die Winkel.




Eine Schwingung $ x(t) = x_0 \cos(\omega t + \delta)$ kann durch einen Zeiger dargestellt werden. Die Projektion dieses Zeigers auf die x-Achse ergibt das Schwingungsbild.

Wenn zwei Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase, aber gleicher Frequenz addiert werden, kann man die trigonometrischen Sätze für schiefwinklige Dreiecke anwenden. So ist nach dem Cosinussatz

$\displaystyle A^2 =A_1^2+A_2^2-2 A_1 A_2 \cos(\pi-\delta_2+\delta_1)$ (8.855)

oder

$\displaystyle A = \sqrt{ A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos(\delta_2+\delta_1)}$ (8.856)

Der Sinussatz liefert

$\displaystyle \frac{A}{\sin(\pi-\delta_2+\delta_1}) = \frac{A}{\sin(\delta_1-\delta_2}) = \frac{A_2}{\sin(\delta-\delta_1)}$ (8.857)

Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass $ \delta_1 = 0$ ist, so ergibt sich


$\displaystyle \sin\delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{A_2}{A}\sin\delta_2$  
$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos\delta_2}$ (8.858)


Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedlicher Frequenz

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Schwebungen (Versuchskarte SW-100)

Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um $ \Delta \omega$ verschieden sein. Wir setzen an

$\displaystyle x_1(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1\cos(\omega t+\delta_1)$  
$\displaystyle x_2(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_2\cos((\omega+\Delta\omega)t +\delta_2)$ (8.859)

Die resultierende Schwingung ist

$\displaystyle x(t) = x_1(t)+x_2(t) = A_1\cos(\omega t+\delta_1)+A_2\cos((\omega+\Delta\omega)t +\delta_2)$ (8.860)

Wir rechnen nun wie folgt um


$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1\cos(\omega t+\delta_1)+A_2\cos((\omega t+\delta_1)+\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1\cos(\omega t +\delta_1) + A_2\cos(\omega t+\delta_1)\cos(\Delta\omega t
+\delta_2-\delta_1)$  
$\displaystyle $   $\displaystyle -A_2\sin(\omega t+\delta_1)\sin(\Delta\omega t
+\delta_2-\delta_1)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos(\omega t+\delta_1 )\left[A_1+A_2\cos(\Delta\omega t
+\delta_2-\delta_1)\right]$  
$\displaystyle $   $\displaystyle -A_2\sin(\omega t+\delta_1)\sin(\Delta\omega t
+\delta_2-\delta_1)$ (8.861)

Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz $ \omega$ mit einer aufmodulierten Frequenz $ \Delta \omega$. Wir nennen diese verhalten auch Schwebung. Transparenter wird die Rechnung, wenn komplexe Zahlen verwendet werden. Anstelle von $ \cos(\omega t +\delta)$ schreiben wir $ e^{i(\omega t +\delta)}$, wobei wieder $ i=\sqrt{-1}$ ist. Wir schreiben


$\displaystyle x_1(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1 e^{i(\omega t +\delta_1)}$  
$\displaystyle x_2(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_2 e^{i((\omega +\Delta\omega)t+\delta_2)}$ (8.862)

und weiter


$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1(t)+x_2(t)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1e^{i(\omega t+\delta_1)}+A_2 e^{i((\omega t+\delta_1)+\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_1 e^{i(\omega t +\delta_1)} + A_2e^{i(\omega t+\delta_1)}e^{i(\Delta\omega t
+\delta_2-\delta_1)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{i(\omega t+\delta_1 )}\left[A_1+A_2e^{i(\Delta\omega t
+\delta_2-\delta_1)}\right]$ (8.863)

Fourierreihen *

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 146])

Die obige Schwingung ist nicht nur durch den zeitlichen Verlauf, sondern auch durch das Frequenzspektrumsowie das Phasenspektrum charakterisiert. Grundlage für diese Aussage ist der mathematische Satz, dass sich jede periodische Funktion $ f(t) = f(t+T)$ (Frequenz $ \omega = 2\pi/T$ als Fourierreihe

$\displaystyle f(t) = \sum\limits_{k=0}^\infty A_k \cos\left(k\omega t +\delta_k\right)$ (8.864)

schreiben lässt. Alternativ kann man auch

$\displaystyle f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cos(k\omega t)+\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\sin(k\omega t)$ (8.865)

Für gerade Funktionen $ f(t) = f(-t)$ sind alle $ b_k=0$, für ungerade Funktionen sind alle $ a_k=0$.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Fourier-Synthese (Versuchskarte SW-065)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Fourier-Analyse 4 (Versuchskarte SW-101)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingung_fourier_synth}
Synthese einer Schwingung mit $ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty
\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)$. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingung_fourier_synth_1}
Synthese einer Schwingung mit $ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty
(-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^2$. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingung_fourier_synth_2}
Synthese einer Schwingung mit $ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty
(-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)$. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingung_fourier_synth_3}
Synthese einer Schwingung mit $ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty
(-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^{2/3}$. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingung_fourier_synth_4}
Synthese einer Schwingung mit $ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty
(-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^{1/2}$. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingung_fourier_synth_5}
Synthese einer Schwingung mit $ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty
(-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^{1/6}$. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.




Die folgenden Applets illustrieren die Fourieranalyse und -synthese

Gekoppelte Schwingungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])





\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung-gekoppelte-Pendel}
Zwei mathematische Pendel im Abstand $ d$ mit jeweils der Länge $ L$ sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänge $ d$ und der Federkonstante $ k$ gekoppelt.




\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Pendel (Versuchskarte SW-063)

Wenn das linke Pendel um $ \phi_1$ und das rechte Pendel um $ \phi_2$ ausgelenkt wird (in beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um

$\displaystyle \Delta d = \ell\left(\sin\phi_1-\sin\phi_2\right) \approx \ell(\phi_1-\phi_2)$ (8.866)

für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird

$\displaystyle F_{F,1} = -k\Delta d \approx -k\ell(\phi_1-\phi_2)$ (8.867)

Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel

$\displaystyle F_{F,2} = -k(-\Delta d) \approx k\ell(\phi_1-\phi_2)$ (8.868)

Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten
$\displaystyle M_{F,1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ell F_{F,1} = -k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$  
$\displaystyle M_{F,2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ell F_{F,2} = k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$ (8.869)

Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind
$\displaystyle M_{G,1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -Lmg\sin\phi_1 \approx -Lmg\phi_1$  
$\displaystyle M_{G,2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -Lmg\sin\phi_2 \approx -Lmg\phi_2$ (8.870)

Wir beachten, dass für eine Punktmasse $ m$ an einem masselosen Faden der Länge $ L$ das Trägheitsmoment $ I=mL^2$ ist und erhalten die linearisierte Momentengleichung
$\displaystyle I\ddot\phi_1 = mL^2\ddot\phi_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -Lmg\phi_1 -k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$  
$\displaystyle I\ddot\phi_2 = mL^2\ddot\phi_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -Lmg\phi_2 + k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$ (8.871)

Wir teilen durch $ mL^2$ und schreiben in Matrizenform

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} \ddot\phi_1   \ddot\phi_2   \end{array...
...nd{array}\right)\left(\begin{array}{c} \phi_1   \phi_2   \end{array}\right)$ (8.872)

Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz $ \omega$ schwingen. Wir setzen also an

$\displaystyle \phi_1(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \phi_{1,0}e^{i\omega t}$  
$\displaystyle \phi_2(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \phi_{2,0}e^{i(\omega t + \delta)}$ (8.873)

Eingesetzt in Gleichung (8.96) bekommen wir
$\displaystyle -\omega^2\phi_{1,0}e^{i\omega t}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{g}{m}\phi_{1,0}e^{i\omega t}-\frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}e^{i\omega t}-\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta})$  
$\displaystyle -\omega^2\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{g}{L}\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta} + \frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}e^{i\omega t}-\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta})$ (8.874)

Wir teilen durch $ e^{i\omega t}$
$\displaystyle -\omega^2\phi_{1,0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{g}{L}\phi_{1,0}-\frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}-\phi_{2,0}e^{i\delta})$  
$\displaystyle -\omega^2\phi_{2,0}e^{i\delta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{g}{L}\phi_{2,0}e^{i\delta} + \frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}-\phi_{2,0}e^{i\delta})$ (8.875)

Wir stellen die Gleichung um und sortieren nach den beiden unbekannten $ \phi_{1,0}$ und $ \phi_{2,0}e^{i\delta}$.
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[-\omega^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}\right]\phi_{1,0}-\frac{k\ell^2}{mL^2}\phi_{2,0}e^{i\delta}$  
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{k\ell^2}{mL^2}\phi_{1,0}+\left[-\omega^2 +\frac{g}{L} +\frac{k\ell^2}{mL^2}\right]\phi_{2,0}e^{i\delta}$ (8.876)

Wir verwenden die folgenden Abkürzungen
$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\omega^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}$  
$\displaystyle B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{k\ell^2}{mL^2}$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \phi_{1,0}$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \phi_{2,0}e^{i\delta}$ (8.877)

und müssen damit die Gleichung
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle Ay -Bz$  
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -By + Az$ (8.878)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $ B$ und die zweite mit $ A$ und bekommen
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle ABy-B^2z$  
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -ABy+A^2z$ (8.879)

und addieren die Gleichungen. Damit wird

$\displaystyle 0 = z(A^2-B^2)$ (8.880)

Damit diese Gleichung für alle $ y$ eine Lösung ist, muss $ A^2=B^2$ sein. Diese Bestimmungsgleichung für $ \omega$ hat zwei Lösungen
$\displaystyle A_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B$  
$\displaystyle A_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -B$ (8.881)

oder
$\displaystyle -\omega_1^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{k\ell^2}{mL^2}$  
$\displaystyle -\omega_2^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{k\ell^2}{mL^2}$ (8.882)

Wir vereinfachen diese beiden Gleichungen und lösen nach $ \omega_i$ auf
$\displaystyle \omega_1^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{g}{L}$  
$\displaystyle \omega_2^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{g}{L}+2\frac{k\ell^2}{mL^2} = \omega_1^2+2\frac{k\ell^2}{mL^2}$ (8.883)

Wenn wir $ y=\phi_1$ als Vorgabe nehmen und die Gleichung $ z=\frac{A_i}{B}y$ lösen, bekommen wir die Amplitude des zweiten Pendels.
$\displaystyle \phi_{2,0,1}e^{i\delta_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-\omega_1^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}
}\phi_{1,0}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-\frac{g}{L}+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}}\phi_{1,0}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \phi_{1,0}$  
$\displaystyle \phi_{2,0,2}e^{i\delta_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-\omega_2^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}}\phi_{1,0}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-\frac{g}{L}-2\frac{k\ell^2}{mL^2}+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}}\phi_{1,0}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\phi_{1,0}$ (8.884)

Die beiden Lösungen haben die folgenden Charakteristika
Lösung 1
Es ist $ \phi_{2,0,1} = \phi_{1,0}$ und $ \delta_1 = 0$. Die beiden Pendel schwingen in Phase mit der gleichen Resonanzfrequenz wie ein einzelnes Pendel. Die Feder wird nicht gedehnt. Ob sie vorhanden ist oder nicht, ist nicht relevant.
Lösung 2
Es ist $ \phi_{2,0,2} = \phi_{1,0}$ und $ \delta_2 = \pi$. Die beiden Pendel schwingen gegenphasig mit einer höheren Resonanzfrequenz als die, die ein einzelnes Pendel hätte. Die Feder wird periodisch gedehnt und gestaucht.

Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen *

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Stangenpendel (Versuchskarte SW-050)

Wir wollen nun untersuchen, wie die Lösung der Schwingungsgleichung für $ N$ gleich Pendel aussieht, die jeweils vom $ i$-ten zum $ i+1$-ten Pendel mit einer masselosen Feder mit der Federkonstante $ k$ gekoppelt sind. Für das erste Pendel mit $ i=1$ gilt

$\displaystyle I\ddot\phi_1 = -Lmg\phi_1 -k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$ (8.885)

Die Bewegungsgleichung des letzten Pendels ist

$\displaystyle I\ddot\phi_N = -Lmg\phi_N + k\ell^2(\phi_{N-1}-\phi_N)$ (8.886)

Dazwischen lauten die Bewegungsgleichungen für ein Pendel $ 0<j<N$
$\displaystyle I\ddot\phi_j$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -Lmg\phi_j -k\ell^2(\phi_j-\phi_{j+1})+
k\ell^2(\phi_{j-1}-\phi_j)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -Lmg\phi_j + k\ell^2\phi_{j-1}-2k\ell^2\phi_j+k\ell^2\phi_{j+1}$ (8.887)

Wir dividieren durch $ I=mL^2$ und setzen $ \omega_0^2=\frac{g}{L}$ und $ \kappa = \frac{k\ell^2}{mL^2}$ und schreiben die Gleichung als Matrizengleichung

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} \ddot\phi_1   \vdots   \ddot\phi_j  ...
...y}{c} \phi_1   \vdots   \phi_j   \vdots   \phi_N   \end{array}\right)$ (8.888)

Wir setzen nun $ \phi_i = \phi_{i,0}e^{i\omega t}$ und lösen die obige Gleichung

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 0   \vdots   0   \vdots   0   \e...
...1,0}   \vdots   \phi_{j,0}   \vdots   \phi_{N,0}   \end{array}\right)$ (8.889)

Diese Gleichung hat dann eine Lösung, wenn die Determinante

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccccccccc} \omega^2-\omega_0^2-\kappa &...
... 0 &\cdots & \kappa & \omega^2-\omega_0^2-\kappa   \end{array}\right\vert = 0$ (8.890)

Die Lösung mit der tiefsten Resonanzfrequenz ist $ \omega=\omega_0$, bei der alle Pendel in Phase sind (bei allen anderen Bewegungsmoden ist neben der potentiellen Energie der Pendel auch in den Federn potentielle Energie gespeichert, die Gesamtenergie also für die gleich Auslenkung grösser.) Wenn wir diese Lösung einsetzen, bekommen wir die Gleichung

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccccccccc} -\kappa & \kappa & \cdots & ...
... & \cdots & 0 & 0 & 0 &\cdots & \kappa & -\kappa   \end{array}\right\vert = 0$ (8.891)

Wenn man alle Zeilen dieser Determinante aufsummiert, bekommt man den Null-Vektor. Deshalb ist die obige Determinantengleichung erfüllt.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm