(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])
Wenn sich ein System nicht in seiner Gleichgewichtslage befindet, dann schwingt in der Regel seine Position um diese Lage. Diese periodischen oder quasiperiodischen Bewegungen werden Schwingungen genannt. Die Schwingungsform kann sinusförmig sein (harmonische Schwingung) oder eine allgemeine Form haben. Mathematische Sätze sagen, dass jede periodische Bewegung in eine Summe von sinusförmigen Bewegungen aufgeteilt werden kann.
Versuch zur Vorlesung: Plastikfedern (Versuchskarte M-117) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])
Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems
|
Die Kraft auf die Masse ist durch
(8.776) |
gegeben, wobei die Federkonstante ist. Durch diese Kraft wird die Masse beschleunigt, so dass
Umgeschrieben erhalten wir die Bewegungsgleichung
Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. Traditionellerweise wird die obige Gleichung auch als
Frequenzen werden in Hertz gemessen. Die Kreisfrequenz hängt über mit der Frequenz zusammen. Die Kreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Frequenz verwechselt werden. |
Die Lösung der Gleichung (8.3) ist
(8.779) |
Link zur Vorlesung:(Simulation der harmonischen Schwingung) |
Versuch zur Vorlesung: Federpendel (Versuchskarte M-105) |
Diese Lösung wird durch die Simulation illustriert. Die Phase ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). Die Position beim Nulldurchgänge ist .
Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch. |
Die Geschwindigkeit der Masse ist
(8.780) |
Die Geschwindigkeit bei ist . Da von den drei die Schwingung bestimmenden Grössen zwei, und unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen.
(8.781) |
Mit Gleichung (8.2) kann man schreiben
(8.782) |
und damit
(8.783) |
Damit sind die Frequenz und die Schwingungsdauer
(8.784) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 387])
Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung
|
Da die Funktionen und beide die Schwingungsgleichung erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingung die Projektion einer Kreisbewegung ist (siehe auch die Simulation). Nach der Definition des Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius auf die -Achse gerade der Cosinus.
Link zur Vorlesung:(Schwingung und Kreisbewegung) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 388])
Die potentielle Energie einer um die Länge ausgelenkten Feder ist
(8.785) |
(8.786) |
Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energie fordert
(8.787) |
Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung ist die Geschwindigkeit . Also ist bei einem harmonischen Oszillator
Setzen wir die Lösung
und damit auch
jeweils ein, erhalten wir
(8.789) |
wobei wir verwendet haben. Die Gesamtenergie ist
(8.790) |
unabhängig von . Der Energieinhalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her.
Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator. |
Beispiele:
Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase wie folgt geschrieben werden:
(8.791) |
Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte
(8.792) |
sind.
Bei einer Schwingung|harmonisch ist
Im Phasenbild wird nun gegen aufgetragen. Dabei ist die Zeit der Parameter. Wir sprechen auch von einer Parameterdarstellung.
Phasenbild eines harmonischen Oszillators
|
Das Phasenbild zeigt den Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit, nicht jedoch den Zeitlichen Ablauf. Phasenbilder werden zum Beispiel verwendet, um chaotische System zu beschreiben.
Zeichnet man gegen auf, so nennt man die Fläche
(8.793) |
Die Einheit dieses ist . Dies ist die gleiche Einheit wie beim Planckschen Wirkungsquantum. Die von einem Zustand im Phasenbild eingenommene Fläche sagt also etwas aus, wie nahe dieser Zustand einem Quantenzustand ist.
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 392])
Schwingendes System im Schwerefeld
|
Eine Feder im Schwerefeld mit Masse wird durch die Bewegungsgleichung
beschrieben (1. Simulation und 2. Simulation). Die Ruhelage ist durch gegeben. Also ist
(8.795) |
Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld) |
Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld) |
Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir die Koordinate verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme und sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen und die zweiten Ableitungen gleich. Deshalb wird Gleichung (8.19)
(8.796) |
da ist. Damit erhalten wir die bekannte Lösung
(8.797) |
Die potentielle Energie bezogen auf die neue Gleichgewichtslage ist
(8.798) |
(8.799) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 394])
|
Ein mathematisches Pendel ist eine Punktmasse aufgehängt an einem masselosen Faden der Länge .
Der vom Pendel zurückgelegte Weg ist die Bogenlänge
(8.800) |
(8.801) |
(8.802) |
(8.803) |
(8.804) |
(8.805) |
Link zur Vorlesung:(Fadenpendel) |
Für grosse Amplituden ist die Schwingungsdauer durch die Reihenentwicklung
(8.806) |
|
Wir müssen nun mit dem Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Drehpunktes rechnen. Das Drehmoment ist
(8.807) |
Die Bewegungsgleichung ist also
(8.808) |
In der traditionellen Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung
(8.809) |
Mit und unter der Annahme einer kleinen Amplitude ist das physikalische Pendel ein harmonischer Oszillator mit der Bewegungsgleichung
(8.810) |
Die Schwingungsdauer ist
(8.811) |
Eine Anwendungsmöglichkeit dieser Gleichung ist die Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers
(8.812) |
Zum Beispiel ist für einen einseitig eingespannten Stab das Trägheitsmoment . Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also . Damit wird die Schwingungsdauer
Vergleiche dies mit dem Resultat für ein mathematisches Pendel .
Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage)
|
Versuch zur Vorlesung: Drehpendel (Versuchskarte SW-021) |
Das rückstellende Moment ist proportional zum Verdrillungswinkel und dient zur Winkelbeschleunigung des Drehkörpers mit dem Trägheitsmoment
(8.813) |
Wieder setzen wir . Die Periodendauer ist
(8.814) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 400])
Wir nehmen eine allgemeine Potentialfunktion
(8.815) |
an und entwickeln sie in eine Taylorreihe um den Punkt . Dieser Punkt soll ein Gleichgewichtspunkt sein. Dann ist die Kraft als Funktion durch die erste Ableitung der potentiellen Energie gegeben. Am Gleichgewichtspunkt ist jedoch die Kraft null, also . Die Steigung der Kraft-Distanz-Kurve im Gleichgewichtspunkt , die Federkonstante , ist durch die zweite Ableitung gegeben.
Also kann an jedem Gleichgewichtspunkt bei genügend kleinen Auslenkungen die Schwingungsgleichung
(8.816) |
geschrieben werden. Die Frequenz für kleine Bewegungen ist
(8.817) |
Daraus folgt für die Periodendauer
(8.818) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 401]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 150])
Eine genaue Beobachtung zeigt, dass die Amplitude jeder freie Schwingung sich nach einer gewissen, charakteristischen Zeit um einen bestimmten Betrag erniedrigt. Die Dämpfung ist in vielen Fällen proportional zur Geschwindigkeit
(8.819) |
Das Kräftegleichgewicht ergibt
Für kleine Dämpfungen ist die neue Resonanzfrequenz in der Nähe von . Mit jeder Schwingung nimmt die Energie in einer definierten Zeiteinheit um einen bestimmten Betrag ab. Diese Leistung ist
(8.821) |
Wenn wir durch ersetzt, bekommt man
(8.822) |
Der Energieinhalt eines gedämpften Oszillators nimmt also exponentiell ab. Die relative Abnahme der Energie ist für alle Zeiten gleich. Wir lösen die Gleichung durch
(8.823) |
und erhalten nach der Integration
(8.824) |
oder, nach einer Exponentiation
(8.825) |
Wir haben gesetzt. Mit der Zeitkonstante bekommen wir
(8.826) |
Versuch zur Vorlesung: Federpendel: Amplitudenverlauf (Versuchskarte M-105) |
Der Energieverlust pro Periode ist
(8.827) |
Man charakterisiert die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems oft durch die Güte . Wenn der Energieverlust pro Periode ist, gilt
(8.828) |
Der -Faktor ist umgekehrt proportional zum relativen Energieverlust pro Periode
Es gilt auch
Da die Energie des Oszillators proportional zum Quadrat der Amplitude ist ( gilt für die Abnahme der Amplitude
(8.830) |
Also ist
(8.831) |
Zur Lösung der Schwingungsgleichung machen wir den komplexen Ansatz
0 | ||||
Dies ist eine quadratische Gleichung in . Die Lösungen sind
Es gibt drei Lösungen
(8.832) |
Bei haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen Fällen haben wir jeweils das .
Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind
Wir testen noch, dass für die Lösung stimmt. Für diesen Spezialfall lautet die Differentialgleichung
0 |
Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falle der unterkritischen Dämpfung ist
Wenn die Dämpfung den kritischen Wert übertrifft, schwingt das System nicht mehr. Für nennt man das System kritisch gedämpft. Für ist es überkritisch gedämpft und für unterkritisch gedämpft.
Zum Beispiel verwendet man in Autos geschwindigkeitsproportionale Stossdämpfer um eine kritische Dämpfung zu erreichen. Sind die Stossdämpfer alt, wird die Dämpfung der Fahrzeugschwingungen, z.B. durch Bodenwellen angeregt, unterkritisch und man fliegt von der Strasse.
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 406]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 154])
|
Versuch zur Vorlesung: Erzwungene Schwingung (Versuchskarte SW-090) |
Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungsschwingung sowie durch das Federpendel mit der Masse , der Dämpfung und die Federkonstante . Die rücktreibende Kraft an der Feder ist
(8.835) |
Die Beschleunigung ist wieder durch gegeben; die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung durch
Die Bewegungsgleichung ist also
(8.836) |
Wenn wir einsetzten und umstellen, erhalten wir
(8.837) |
Wir teilen durch und kürzen ab und erhalten
(8.838) |
Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung
(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowie der stationären Lösung. Dieser Teil der Lösung hat die Form
(8.839) |
wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir
(8.840) |
Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen und mit Phasen in reine Winkelfunktionen auflösen. Also setzen wie und . Wir bekommen dann
(8.841) |
Diese Gleichungen können vereinfacht werden
(8.842) |
Aus der zweiten Gleichung folgt
(8.843) |
und daraus
(8.844) |
Wir verwenden und und bekommen aus der ersten Gleichung
(8.845) |
Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase
(8.846) | |||
(8.847) |
Mit der Definition der Güte aus Gleichung (8.54) sowie mit schreiben wir zuerst
(8.848) |
und erhalten
|
Die folgenden Bilder zeigen einige typische Frequenz- und Phasengänge.
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit ,
, (unterkritische Dämpfung).
|
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit ,
, (unterkritische Dämpfung).
|
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit ,
, (kritische Dämpfung).
|
Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit ,
, (überkritische Dämpfung).
|
Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude
(8.851) |
Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz, erhält man, indem man berechnet.
0 |
0 | ||
(8.852) |
Diese Resonanzfrequenz) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpften Systems (Siehe Gleichung (8.59) ).
Die Bestimmung der Kenndaten eines Oszillators aus der Amplitude ist bei hohen Güten sehr schwierig und sehr ungenau. Viel einfacher ist es, die Phase bei und ihre Steigung an der Stelle zu bestimmen.
Berechnung der Steigung :
An der Stelle ist der Funktionswert
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 142])
Wenn in der -Richtung eine Schwingung und in der -Richtung eine Schwingung überlagert werden, entstehen Lissajous-Figuren. Solche Schwingungen können entstehen, wenn zum Beispiel eine Kugel in einer elliptischen Potentialmulde hin- und herschwingt.
Zeigerdiagramm. Links für zwei Zeiten, in der Mitte das Zeigerdiagramm für zwei
Schwingungen (rot) und (blau) mit der Summe (grün) und rechts die Winkel.
|
Eine Schwingung kann durch einen Zeiger dargestellt werden. Die Projektion dieses Zeigers auf die x-Achse ergibt das Schwingungsbild.
Wenn zwei Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase, aber gleicher Frequenz addiert werden, kann man die trigonometrischen Sätze für schiefwinklige Dreiecke anwenden. So ist nach dem Cosinussatz
(8.855) |
oder
(8.856) |
Der Sinussatz liefert
(8.857) |
Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass ist, so ergibt sich
(8.858) |
Versuch zur Vorlesung: Schwebungen (Versuchskarte SW-100) |
Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um
verschieden sein. Wir setzen an
(8.859) |
Die resultierende Schwingung ist
(8.860) |
Wir rechnen nun wie folgt um
Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz mit einer aufmodulierten Frequenz . Wir nennen diese verhalten auch Schwebung. Transparenter wird die Rechnung, wenn komplexe Zahlen verwendet werden. Anstelle von schreiben wir , wobei wieder ist. Wir schreiben
(8.862) |
und weiter
(8.863) |
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 146])
Die obige Schwingung ist nicht nur durch den zeitlichen Verlauf, sondern auch durch das Frequenzspektrumsowie das Phasenspektrum charakterisiert. Grundlage für diese Aussage ist der mathematische Satz, dass sich jede periodische Funktion (Frequenz als Fourierreihe
(8.864) |
(8.865) |
Für gerade Funktionen sind alle , für ungerade Funktionen sind alle .
Versuch zur Vorlesung: Fourier-Synthese (Versuchskarte SW-065) |
Versuch zur Vorlesung: Fourier-Analyse 4 (Versuchskarte SW-101) |
Synthese einer Schwingung mit
. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale
Verschiebung nach oben auseinandergezogen.
|
Synthese einer Schwingung mit
. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer
proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.
|
Synthese einer Schwingung mit
. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer
proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.
|
Synthese einer Schwingung mit
. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der
Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.
|
Synthese einer Schwingung mit
. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der
Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.
|
Synthese einer Schwingung mit
. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der
Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.
|
Die folgenden Applets illustrieren die Fourieranalyse und -synthese
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])
Zwei mathematische Pendel im Abstand mit jeweils der Länge sind mit
einer masselosen Feder der Ruhelänge und der Federkonstante gekoppelt.
|
Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Pendel (Versuchskarte SW-063) |
Wenn das linke Pendel um und das rechte Pendel um ausgelenkt wird (in beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um
(8.866) |
(8.867) |
(8.868) |
(8.869) |
(8.870) |
(8.872) |
Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz schwingen. Wir setzen also
an
(8.873) |
(8.874) |
(8.875) |
(8.876) |
(8.877) |
(8.878) |
(8.879) |
(8.880) |
(8.881) |
(8.882) |
(8.883) |
(8.884) |
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])
Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Stangenpendel (Versuchskarte SW-050) |
Wir wollen nun untersuchen, wie die Lösung der Schwingungsgleichung für gleich Pendel aussieht, die jeweils vom -ten zum -ten Pendel mit einer masselosen Feder mit der Federkonstante gekoppelt sind. Für das erste Pendel mit gilt
(8.885) |
(8.886) |
(8.888) |
(8.889) |
(8.890) |
(8.891) |
Othmar Marti