Einige Reihen

Funktion	Potenzreihe	Konvergenz
$(1\pm x)^m$	$1 \pm m x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 \pm \frac{m(m-1)(m-2)}{3!}+\ldots$	$\vert x\vert\leq 1$
	$+ (\pm 1)^n \frac{m(m-1)\ldots(m-n+1)}{n!}x^n+\ldots$
$\sin(x+\Delta x)$	$\sin(x)+\frac{\Delta x}{1!}\cos(x)+\frac{(\Delta x)^2}{2!}f''(x)+\ldots$	$\vert\Delta x\vert< \infty$
	$+ \frac{(\Delta x)^{n}}{(n)!}\sin(x+ \frac{\pi n}{2})+\ldots$
$\cos(x+\Delta x)$	$\cos(x)-\Delta x \sin(x)-\frac{\Delta x^2\cos(x)}{2!}+\frac{\Delta x^3 \sin(x)}{3!}$	$\vert\Delta x\vert< \infty$
	$+\frac{\Delta x^4 \cos(x)}{4!}-\ldots+\frac{\Delta x^n \cos\left(x +\frac{n\pi}{2}\right)}{n!}\pm\ldots$
$\tan x$	$x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\frac{62}{2835}x^9\ldots$	$\vert x\vert<\frac{\pi}{2}$
$\cot x$	$\frac{1}{x}-\left[\frac{x}{3}+\frac{x^3}{45}+\frac{2 x^5}{945}+\frac{x^7}{4725}\ldots\right]$	$0<\vert x\vert<\pi$
$e^x$	$1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots$	$\vert x\vert<\infty$
$a^x=e^{x\ln a}$	$1+\frac{x \ln a}{1!}+\frac{(x\ln a)^2}{2!}+\frac{(x \ln a)^3}{3!}+\frac{(x\ln a)^4}{4!}+\ldots$	$\vert x\vert<\infty$
$\ln x$	$2\left[\frac{x-1}{x+1}+\frac{(x-1)^3}{3(x+1)^3}+\frac{(x-1)^5}{5(x+1)^5}+\ldots\right.$	$x>0$
	$\left.+\frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}+\ldots\right]$
$\ln x$	$(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}+\ldots$	$0<x\leq 2$
	$+(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}+\ldots$
$\ln x$	$\frac{x-1}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{x-1}{x}\right)^2+\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x}\right)^3+\ldots$	$x>\frac{1}{2}$
	$+\frac{1}{n}\left(\frac{x-1}{x}\right)^n+\ldots$
$\ln(1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3 }-\frac{x^4}{4}+\ldots$	$-1<x\leq 1$
	$+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+\ldots$
$\arcsin x$	$x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 x^5}{2\cdot 4 \cdot 5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 x^5}{2\cdot 4 \cdot 6\cdot 7}+\ldots$	$\vert x\vert<1$
$\arccos x$	$\frac{\pi}{2}-\left[x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 x^5}{2\cdot 4 \cdot 5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 x^5}{2\cdot 4 \cdot 6\cdot 7}+\ldots\right]$	$\vert x\vert<1$
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots$	$\vert x\vert<1$

Reihenentwicklungen