Ableitungen in drei Dimensionen

Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion $y=f(x)$ als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

$$\frac{df(x)}{dx}$$

die Steigung dieses Profiles an der Stelle $x$. $f(x)$ ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion $f(x,y)$ als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.

Gradient als Richtung der stärksten Steigung

Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

$${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} {f} = \left( \begin{array}{c} \f... ...ial x} \\ \frac{\partial f(x\text{,} y)}{\partial y} \\ \end{array}\right)$$

Eine skalare Funktion $f(x,y,z)$ definiert eine Höhenlandschaft über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition

Gradient einer skalaren Funktion $f(x,y,z)$ von drei Variablen

$${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} {f} = \left( \begin{array}{c} \f... ... \frac{\partial f(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial z} \\ \end{array}\right)$$

Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

$$\vec{f}(x$$,$$y) = \left( \begin{array}{c} f_x(x\text{,} y) \\ f_y(x\text{,} y) \\ \end{array}\right)$$

Vektorfeld mit Umrandung

Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die $x$-Richtung heisst das, dass

$$F_x\cdot dx = f_x(x+dx$$,$$y)-f_x(x$$,$$y)$$

fliesst.

In die $y$-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die $x$-Komponente, $f_x(x$,$y)$ und $f_x(x,y+dy)$ ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die $y$-Richtung

$$F_y\cdot dy = f_y(x$$,$$y+dy)-f_y(x$$,$$y)$$

Die Grösse $F=F_x+F_y$ nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also

Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{f}(x$$,$$y) = \frac{\partial f_x(x\text{,} y)}{\partial x}+\frac{\partial f_y(x\text{,} y)}{\partial y}$$

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

$$\vec{f}(x$$,$$y$$,$$z) = \left( \begin{array}{c} f_x(x\text{,} y\text{,} z) \\ ... ...xt{,} y\text{,} z) \\ f_z(x\text{,} y\text{,} z) \\ \end{array}\right)$$

Wir definieren

Divergenz einer Vektorfunktion $\vec{f}(x,y)$ in drei Dimensionen

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{f}(x$$,$$y$$,$$z) = \frac{\partial f_x(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial x}+ ... ...xt{,} z)}{\partial y}+\frac{\partial f_z(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial z}$$

Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

$$\vec{f}(x$$,$$y) = \left( \begin{array}{c} f_x(x\text{,} y) \\ f_y(x\text{,} y) \\ \end{array}\right)$$

Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

Wir nehmen nun an, dass die durch $\vec{f}(x$,$y)$ definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die $z$-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

$$R_y dx = f_y(x+dx$$,$$y)-f_y(x$$,$$y)$$

und

$$R_x dy = -\left(f_x(x\text{,} y+dy)-f_x(x\text{,} y)\right)$$

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei $R_x$ ein $-$ eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also

Rotation in zwei Dimensionen

$$R = \frac{\partial f_y(x\text{,} y)}{\partial x} - \frac{\partial f_x(x\text{,} y)}{\partial y}$$

Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

$$\vec{f}(x$$,$$y$$,$$z) = \left( \begin{array}{c} f_x(x\text{,} y\text{,} z) \\ ... ...xt{,} y\text{,} z) \\ f_z(x\text{,} y\text{,} z) \\ \end{array}\right)$$

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die $xy$-Ebene auch für die $xz$-Ebene (Rotation um $y$) und die $yz$-Ebene (Rotation um $x$) gelten. Wir definieren also

Rotation in drei Dimensionen

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{f}(x$$,$$y$$,$$z) = \left(\begin{array}{c} \frac{\partial f_z(x\text{,} y\tex... ...rac{\partial f_x(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial y} \\ \end{array}\right)$$

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{f}(x$$,$$y$$,$$z) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \... ...xt{,} y\text{,} z) \\ f_z(x\text{,} y\text{,} z) \\ \end{array}\right)$$