Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen

Dieser Text bezieht sich auf den Abschnitt 5.2.3. Hier wird ein Beispiel gerechnet. Der Maple Quelltext ist:

> with(LinearAlgebra):
> with(VectorCalculus):
> with(tensor):
> SetCoordinates( 'cartesian'[x,y,z] ):
>
>
> AA := Matrix(3,3,[[cos(omegaz*t), sin(omegaz*t),0],
>                  [-sin(omegaz*t),cos(omegaz*t),0],
>                  [0,0,1]]);
>
> AAinv := MatrixInverse(AA);
> omega := <0,0,omegaz>;
> s :=  <R*cos(3*omegaz*t),R*sin(3*omegaz*t),rz>;
> sp := convert(MatrixVectorMultiply(AA,s),arctrig);
> res1 :=diff(s,t);
> CrossProduct(omega,s);
> tr1 :=diff(sp,t);
> tr2 := simplify(MatrixVectorMultiply(AAinv,tr1));
> res2 := tr2+CrossProduct(omega,s);
> rr :=simplify(res2-res1);
>

Hier ist angenommen worden, dass der Rotationsvektor $ \vec{\omega}$ entlang der $ z$-Richtung des Koordinatensystems angeordnet ist. Dann transformiert die Matrix $ AA$ einen Vektor aus dem Laborsystem in das rotierende Bezugssystem. $ AAinv$ transformiert zurück. $ s$ ist der zeitabhängige Ortsvektor. $ sp$ ist der Ortsvektor transformiert in das rotierende Bezugssystem. $ tr1$ ist die Ableitung von $ sp$ im rotierenden Bezugssystemm $ tr2$ ist $ tr1$ zurücktransformiert in das Laborsystem.

Gleichung (5.17) gilt dann, wenn die Ableitung im rotierenden Bezugssystem zurück nach dem Laborsystem transformiert ist.

$\displaystyle AA = \left(\begin{array}{ccc}\cos(\omega_z t)& \sin(\omega_z t)& 0\\
-\sin(\omega_z t) & \cos(\omega_z t) & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$

$\displaystyle AAInv = \left(\begin{array}{ccc}\cos(\omega_z t)& -\sin(\omega_z ...
...0\\
\sin(\omega_z t) & \cos(\omega_z t) & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$

$\displaystyle \vec{s}= \left(\begin{array}{c} R \cos(3\omega_z t)  R \sin (3\omega_z t)  r_z \end{array}\right)$

Nach Umformung erhält man

$\displaystyle \vec{sp}= \left(\begin{array}{c} R \cos(2\omega_z t)  R \sin (2\omega_z t)  r_z \end{array}\right)$

im rotierenden Bezugssystem.

Die Ableitungen sind

$\displaystyle \frac{d\vec{s}}{dt} = 3\omega_z R \left(\begin{array}{c} -\sin(3\omega_z t)  \cos (3\omega_z t)  0 \end{array}\right)$

und

$\displaystyle \frac{\partial \vec{sp}}{\partial t} = 2\omega_z R\left(\begin{array}{c} -\sin(2\omega_z t)  \cos (2\omega_z t)  0 \end{array}\right)$

im gestrichenen Bezugssystem. Zurücktransformiert erhält man

$\displaystyle \frac{\partial \vec{s}}{\partial t} = 2\omega_z R\left(\begin{array}{c} -\sin(3\omega_z t)  \cos (3\omega_z t)  0 \end{array}\right)$

Das Kreuzprodukt ist

$\displaystyle \vec{\omega}\times\vec{s}= \omega_z R\left(\begin{array}{c} -\sin(3\omega_z t)  \cos (3\omega_z t)  0 \end{array}\right)$

so dass

$\displaystyle \frac{d\vec{s}}{dt} = \frac{\partial \vec{s}}{\partial t}+\vec{\omega}\times\vec{s}$

gilt.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm