Klassische Relativität beschleunigter Bezugssysteme

Trägheitskräfte

$x'$, $y'$,$z'$,$t'$ sei gegen das Inertialsystem $x$,$y$,$z$,$t$ mit $\vec{a}_{T}$ beschleunigt. Dier Trägheitsbeschleunigung $\vec{a}_T$ ist durch

$$\vec{a}=\vec{a}'+\vec{a}_{T}$$ (5.429)

Wir fordern: Massen und Zeiten sollen in beiden Systemen gleich sein.

Die Gesetze der Mechanik sollen in beiden Systemen die gleiche Form haben.

$$t =t'$$

$$m =m'$$ (5.430)

$$\vec{F} =m\frac{d\vec{v}}{dt}$$ (5.431)

$$\vec{F}' =m'\frac{d\vec{v}'}{dt'}$$ (5.432)

Dabei ist $\vec{F}\neq\vec{F}'$. Die Differenz nennen wir eine Trägheitskraft: $\vec{F}_{T}$,

also

$$\vec{F}+\vec{F}_{T} =\vec{F}'$$

$$\vec{F}_{T} =-m\vec{a}_{T}$$ (5.433)

Beispiel: Bus: Beschleunigung $\vec{a}_{T}$

$-m\vec{a}_{T}$ ist die Kraft, die einen nach hinten drückt.

Beweis:

$$m =m'$$

$$t =t'$$

$$\vec{a} =\vec{a}'+\vec{a}_{T}$$

$$\vec{F} =m\vec{a}$$

$$\vec{F}' =m'\vec{a}'$$

$$\vec{F} =m\vec{a}$$

$$=\vec{m}\left( \vec{a}'+\vec{a}_{T}\right)$$

$$=m'\vec{a}'+m\vec{a}_{T}$$

$$=\vec{F}'+m\vec{a}_{T}$$

$$\vec{F}' =\vec{F}-m\vec{a}_{T}$$ (5.434)

Beispiel: Schwerelosigkeit im fallenden Aufzug

Behauptung

$$\vec{F}_{G}' = 0$$

$$\vec{F}_{G}' =m\vec{g}$$

$$\vec{a}_{T} =\vec{g}$$

$$\vec{F}_{G}' =\vec{F}_{G}+\vec{F}_{T}=m\vec{g}-m\vec{a}_{T}=0$$ (5.435)

Das Prinzip von d'Alembert

Versuch zur Vorlesung: d'Alembertsches Prinzip (Versuchskarte M-070)

Wir wollen das folgende Problem Lösen:

Ein System von Massenpunkten $m_{i}$ bewegt sich unter Einfluss externer Kräfte $\vec{F}_{ai}$ und interner Kräfte $\vec{F}_{ji}$. Es gibt deshalb äusserst komplexe Bewegungsgleichungen.

Prinzip: Ersetzt man die Beschleunigung $\vec{a}_{i}$ der Masse $m_{i}$ durch die Trägheitskraft

$$\vec{F}_{T}=-m_{i}\vec{a}_{i}$$ (5.436)

so wird das Problem der Dynamik auf ein statisches Problem zurückgeführt.

Situation für einen ruhenden Beobachter

Situation für einen ruhenden Beobachter

$$m_{i}\vec{a}_{i}=\vec{F}_{ai}+\sum\limits_{j}\vec{F}_{ji}$$

ist die Gleichung, die das System aus der Dynamik beschreibt.

Situation für einen mitbewegten Beobachter

Nach dem Prinzip von d'Alembert gilt

$$m_{i}\vec{a}_{i}=-\vec{F}_{Ti}=\vec{F}_{ai}+\sum\limits_{j} \vec{F}_{ji}$$ (5.437)

oder

$$\vec{F}_{Ti}+\vec{F}_{ai}+\sum\limits_{j}\vec{F}_{ji}=0$$ (5.438)

Gleichförmig rotierende Bezugssysteme

Trägheitskräfte: Zentrifugalkraft und Corioliskraft

$x$,$y$,$z$,$t$ sei Inertialsystem

$x'$,$y'$,$z'$,$t'$ rotiert um $\vec{e}$, Nullpunkte sind identisch.

Winkelgeschwindigkeitsvektor $\vec{\omega}=\left\vert \omega\right\vert \vec{e}$

Winkelgeschwindigkeitsvektor

Wir betrachten einen beliebigen Vektor $\vec{\beta}$. Dieser Vektor ändere sich um $d\vec{\beta}$. Diese Änderung kann in eine durch die gleichförmige Rotation bedingte Komponente $d\overline{\vec{\beta}}$ und in eine Komponente im gleichförmig rotierenden gestrichenen Koordinatensystem $\partial\vec{\beta}$ (relative Änderung) aufgeteilt werden.

Wir betrachten das Dreieck $0PP'$ und erhalten

$$\left\vert d\overline{\vec{\beta}}\right\vert =\omega Rdt = \omega\beta\sin(\phi) dt$$

$d\overline{\vec{\beta}}$ ist tangential und steht damit senkrecht auf $\vec{\beta}$. Als Tangentenvektor liegt $d\overline{\vec{\beta}}$ in der Ebene senkrecht zu $\vec{\omega}$. Also zeigt $d\overline{\vec{\beta}}$ in die gleiche Richtung wie $\vec{\omega}\times\vec{\beta}$. Da $\vert\vec{\omega}\times\vec{\beta}\vert=\omega\beta\sin(\phi)$ ist, gilt auch

$$d\overline{\vec{\beta}} = \vec{\omega}\times\vec{\beta}dt$$

daraus folgt

$$d\vec{\beta}= \partial\vec{\beta}+d\overline{\vec{\beta}} = \partial\vec{\beta}+ \vec{\omega}\times\vec{\beta}dt$$

Wir verwenden im folgenden die Notation, um die Ableitungen im gestrichenen und ungestrichenen Koordinatensystem unterscheiden zu können:

in	$x$, $y$, $z$, $t$	$\frac{d}{dt}\vec{\beta}$
in	$x'$, $y'$, $z'$, $t'$	$\frac{\partial}{\partial t}\vec{\beta}$

Ableitungen in zwei Koordinatensystemen

wobei $t'=t$ und $z'=z$ sein soll.

Also erhalten wir

$$\frac{d}{dt}\vec{\beta}=\frac{\partial}{\partial t}\vec{\beta}+\left( \vec{\omega}\times\vec{\beta}\right)$$ (5.439)

Wichtig ist, dass $\frac{\partial \vec{\beta}}{\partial t}$ die im rotierenden Koordinatensystem durchgeführte Ableitung ist, aber wieder zurücktransformiert in das lokale Koordinatensystem (siehe auch J).

Beispiel:

Sei $\vec{\beta}=\vec{r}$, so ist auch: $\vec{v}=\frac {d\vec{r}}{dt}$, $\vec{v}'=\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$ und damit

$$\vec{v}=\vec{v}'+\left( \vec{\omega}\times\vec{r}\right)$$ (5.440)

wobei $\vec{v}'$ in das Laborsystem zurücktransformiert ist.

Geschwindigkeiten (und auch Beschleunigungen) sind in den beiden Bezugssystemen nicht gleich, wohl aber Ortsvektoren. Diese haben zwar unterschiedliche Komponenten, zeigen aber immer auf den gleichen Punkt im Raum. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind unterschiedlich, haben also eine unterschiedliche Länge und/oder eine unterschiedliche Richtung.

Wir betrachten die Beschleunigung. Wir haben für die Beschleunigung im Laborsystem

$$\vec{a} =\frac{d\vec{v}}{dt}$$

Im bewegten System ist die Relativbeschleunigung

$$\vec{a}' =\frac{\partial\vec{v}'}{dt'}$$

Wieder ist $\vec{a}'$ die ins Laborsystem zurücktransformierte Grösse.

Dann ist

$$\frac{d\vec{v}}{dt} =\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\left( \vec{\omega}\times\vec{v}\right)$$

$$=\frac{\partial}{\partial t}\left( \vec{v}'+\left( \vec{\omega }\... ...eft( \vec{\omega}\times\left( \vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}\right) \right)$$

$$=\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}'+\vec{\omega}\times \frac{\pa... ...ega}\times\vec{v}^{' }+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)$$

$$=\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}'+2\left( \vec{\omega }\times\vec{v}'\right) +\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)$$ (5.441)

also haben wir

$$\vec{a}=\vec{a}'+\left( \vec{\omega\times}\left( \vec{\omega}\times\vec{r}\right) \right) +2\left( \vec{\omega }\times\vec{v}'\right)$$ (5.442)

In Gleichung (5.7) ist die Trägheitsbeschleunigung definiert. Wir setzen

$$\vec{a}+\vec{a}_z+\vec{a}_C = \vec{a}'$$ (5.443)

wobei $\vec{a}_z$ die negative Trägheitsbeschleunigung namens Zentrifugalbeschleunigung und $\vec{a}_C$ die negative Trägheitsbeschleunigung namens Coriolisbeschleunigung ist.

Wir haben also

$$\vec{a}_z = -\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)$$ (5.444)

$$\vec{a}_C = -2\left( \vec{\omega }\times\vec{v}'\right) = 2\left( \vec{v}'\times\vec{\omega }\right)$$ (5.445)

Wir können die Gleichung für die vereinfachen, indem wir

$$\vec{r}=\vec{r}^{\ast}+\vec{R}$$

setzen.

wobei $\vec{r}^{\ast}\parallel\vec{\omega}$ und $\vec{R}\perp\vec{\omega}$ sein soll.

Lage von $\vec{r}^*$ und $\vec{R}$ relativ zu $\vec{\omega}$.

Wir verwenden die Vektoridentität aus Gleichung (K.7)

$$\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}$$

und setzen $\vec{a}=\vec{\omega}$, $\vec{b}=\vec{\omega}$ und $\vec{a}=\vec{R}$ und erhalten

$$\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right) = \left(... ...dot\vec{R}\right)\vec{\omega}-\left(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}\right)\vec{R}$$

Mit $\vec{\omega}\cdot\vec{R}= 0$ bekommen wir dann

$$\vec{a}=\vec{a}'-\omega^{2}\vec{R+2}\left( \vec{\omega }\times\vec{v}'\right)$$ (5.446)

Also können wir die Bewegung durch Trägheitskräfte beschreiben

$$\vec{F}+\vec{F}_{T}=\vec{F}'$$ (5.447)

und

$$\vec{F}_{T}=-m\left( \vec{\omega}\times\left( \vec{\omega}\times\vec{r}\right) \right) -2m\vec{\omega}\times\vec{v}'$$ (5.448)

Die Trägheitskräfte sind

Zentrifugalkraft:	$\vec{F}_{zentrifugal}=-m\left( \vec{\omega}\times\left( \vec{\omega}\times\vec{r}\right) \right) =+m\omega ^{2}\vec{R}$
Corioliskraft:	$\vec{F}_{coriolis}=-2m\left( \vec{\omega}\times\vec{v}'\right) =2m\left( \vec{v}' \times\vec{\omega}\right)$

Trägheitskräfte im Laborsystem

Versuch zur Vorlesung: Corioliskraft (Versuchskarte M-185)

Die Zentrifugalkraft ist nur von der Position, nicht aber von der Geschwindigkeit $\vec{v}'$ im gleichförmig rotierenden Bezugssystem abhängig. Die Corioliskraft andererseits hängt nur von $\vec{v}'$ ab, aber nicht von $\vec{R}$.

Zentrifugalkraft und Corioliskraft

Die Erde als rotierendes Bezugssystem

Raumfestes Koordinatensystem

Raumfestes und mitbewegtes Koordinatensystem auf der Erde

mitbewegtes Koordinatensystem:

$x'$: nach E

$y'$: nach N

$z'$: nach oben

$r_{0}=6\cdot36\cdot10^{6}m$

$\omega=\frac{2\pi}{1Tag}=0,727\cdot10^{-4}\frac{1}{s}$

$\vartheta = \frac{\pi}{2}-\theta$ die geographische Breite.

Die Winkelgeschwindigkeit ist im gestrichenen Bezugssystem

$$\vec{\omega}=\omega\left( 0\text{,} \cos\vartheta\text{,} \sin\vartheta\right)$$ (5.449)

Der Vektor $\vec{R}_0$ hat die Länge

$$R_0 = r_0 \sin(\pi/2-\vartheta) = r_0 \cos(\vartheta)$$ (5.450)

Im gestrichenen Bezugssystem hat $\vec{R}_0$ die Koordinaten

$$\vec{R}_0 = R_0\left(0\text{,} -\sin(\vartheta)\text{,} \cos(\v... ...ft(0\text{,} -\sin(\vartheta)\cos(\vartheta)\text{,} \cos^2(\vartheta)\right)$$ (5.451)

Zentrifugalkraft:

$$\vec{F}_{zentrifugal}=m\omega^{2}\vec{R}_{0}=m\omega^{2}r_{0}\left( 0\text{,} -\sin \vartheta\cos\vartheta\text{,} \cos^{2}\vartheta\right)$$ (5.452)

oder betragsmässig

$$\left\vert\vec{F}_{zentrifugal}\right\vert={F}_{zentrifugal}=m\omega^2 r_0 \cos(\vartheta)$$ (5.453)

Die Komponente parallel zum Boden (also in der $y'$-Richtung ist

$$\left\vert\vec{F}_{zentrifugal\text{,} y}\right\vert={F}_{zentri... ... r_0 \sin(\vartheta)\cos(\vartheta) = -\frac{m\omega^2 r_0}{2} \sin(2\vartheta)$$ (5.454)

Wenn $\vec{v'}$ die Relativgeschwindigkeit ist, gilt in $x'$,$y'$,$z'$,$t'$ für die Corioliskraft:

$$\vec{F}_{coriolis}=2m\omega\left( \begin{array}[c]{c} v_{x}' v... ...cos\vartheta -v_{x}'\sin\vartheta v_{x}'\cos\vartheta \end{array} \right)$$ (5.455)

Anwendung: Foucault-Pendel

Versuch zur Vorlesung: Foucault-Pendel (Versuchskarte SW-015)

Foucault-Pendel

Das Foucault-Pendel ist an einem Punkt mit der Erde verbunden.

$-\vec{\omega}$ projiziert auf $z'$, dies entspricht der Drehgeschwindigkeit gegen $x'$,$y'$,$z'$

also

$$\omega_{Foucault}=-\omega_{z}'=-\omega\sin\vartheta$$ (5.456)

Rotationsperiode

$$\left\vert T\right\vert =\frac{2\pi}{\omega_{Foucault}}=\frac{2\pi}{\omega \sin\vartheta}=\frac{1Tag}{\sin\vartheta}$$ (5.457)

Anwendung: Gezeiten *

Erde und Mond

Erde	$m_{E}=5,98\cdot10^{24}kg$
	$r_{E}=6.38\cdot10^{6}m$
Mond	$m_{M}=7,3\cdot10^{22}kg$
	$r_{M}=1.74\cdot10^{6}m$
Abstand	$r_{EM}=3.84\cdot10^{8}m$

Parameter von Erde und Mond

Schwerpunkt des Systems Erde-Mond:

$$r_{S} =\frac{r_{EM}m_{M}}{m_{E}+m_{M}}$$

$$=3.8\cdot10^{8}\frac{7.3\cdot10^{22}}{6\cdot10^{24}}m$$

$$=\frac{3.8}{6}\cdot7.3\cdot10^{6}m$$

$$=6.3\cdot7.3\cdot10^{5}m$$

$$\approx4,6\cdot10^{6}m$$ (5.458)

Erde und Mond drehen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt.

Raumfestes Koordinatensystem der Erde

Bezogen auf den Erdmittelpunkt herrscht die Gravitationskraft

$$\frac{Gm_{M}}{r_{em^{2}}}=a_{z}$$

des Mondes, die in diesem Punkt auch gleich der Zentrifugalkraft der Erdmasse (konzentriert auf den Schwerpunkt der Erde) ist. Wir rechnen alle Beschleunigungen nach rechts, also in der Richtung des Mondes, positiv.

Weiter ist die Geschwindigkeit des Punktes $A$ bezogen auf die Geschwindigkeit $v_S$ des Schwerpunktes $S$ gegeben durch

$$v_A = v_S\frac{r_E-r_S}{r_S}$$

Ebenso gilt für den Punkt $B$

$$v_B = v_S\frac{r_E+r_S}{r_S}$$

Die Zentrifugalbeschleunigungen berechnen sich dann für $A$ aus

$$a_{z\text{,} A} = \frac{v_A^2}{r_E-r_S}$$

und

$$a_{z\text{,} B} = \frac{v_B^2}{r_E+r_S}$$

Wenn man die Werte einsetzt, bekommt man

	Punkt $A$	Punkt $B$
Feldvektor der Gravitation des Mondes $g_M$	$$\frac{Gm_{M}}{\left( r_{EM}-r_{E}\right) ^{2}}$$	$$\frac{Gm_{M}}{\left( r_{EM}+r_{E}\right) ^{2}}$$
Zentrifugalbeschleunigung $a_z$	$$a_{z}\cdot\frac{r_{E}-r_{S}}{r_{S}}=$$ $$\frac{Gm_{M}}{ r_{EM}^{2}}\frac{r_{E}-r_{S}}{r_{S}}$$	$$-a_{z}\cdot\frac{r_{E}+r_{S}}{r_{S}}=$$ $$\frac{-Gm_{M}}{r_{EM}^{2}}\frac{r_{E}+r_{S}}{r_{S}}$$
Summe der Beschleunigungen $a$	$$\frac{Gm_{M}}{r_{EM}^{2} }\left( \frac{2r_{E}}{r_{EM}}+\frac{r_{E}}{r_S}\right)$$	$$-\frac{Gm_{M} }{r_{EM}^{2}}\left(\frac{2r_{E}}{r_{EM}}+\frac{r_{E}}{r_{S}}\right)$$

in $C$ gibt es die Zentrifugalbeschleunigung

$$a_{z}\approx\frac{Gm_{M}}{r_{EM}^{2} }\cdot\frac{r_{E}}{r_{S}}$$

Zwischen $C$ und $A$ sowie $B$ gibt es die Differenz der Beschleunigungen

$$\left\vert a_{Gez}\right\vert =\frac{2Gm_{M}r_{E}}{r_{EM}^{3}}$$ (5.459)

Vergleich mit $g$

$$\frac{a_{Gez}}{g}=\frac{2Gm_{M}r_{E}r_{E}^{2}}{\left( r_{EM}\righ... ...}Gm_{E}}=2\frac{m_{M}}{m_{E}}\left( \frac{r_{E}}{r_{M}}\right) ^{3} \sim10^{-7}$$ (5.460)

Anwendung Schwerkraft in einem Raumschiff

Schwerkraft in einem Raumschiff

Nur im Schwerpunkt ist die Zentrifugalkraft gleich der Gravitationskraft

in $A$ ist die Gravitation zu gross

in $B$ ist die Gravitation zu klein

Schwerkraft in einem Raumschiff in radialer Richtung

Im Raumschiff ist die Gravitationskraft nicht Null.