E.2  Poisson-Distribution

Für den Fall, dass wir sehr viele Versuche (d.h. Atome) 1 «n ≈10²⁰ und sehr wenige Erfolge (d.h. Zerfälle) haben, also ν «n und dass damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses klein ist 1 » p ≈ 10⁻²⁰ geht die Binomialdistribution in die Poisson-Distribution über.

Diese ist durch

(E.1)

gegeben. Deren Mittelwert bei unendlich vielen Versuchen ist

da ∑ _ν=0ⁿ = e^μ die Taylorreihe der Exponentialfunktion ist.

Zur Berechnung der Standardabweichung nutzen wir die Gleichung für ddie Binomialdistribution und verwenden den Grenzfall zur Poissson-Distribution

(E.3)

Auf der anderen Seite wissen wir, dass die Binomialdistribution in die Poissondistribution übergeht, also _B = npμ = _P . Deshalb ist

(E.4)

Eine Zusammenfassung findet sich auch in [BSMM08, Kap. 16.2.3.3].