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Elastomechanik anisotroper Körper

Dieser Stoff wurde am 5.12.2001 behandelt

Allgemeine Kräfte an einem Würfel

An einem Würfel können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Spannungen sowie Deformationen auftreten:

• An jeder der 6 Flächen können
  • 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und
  • 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Dilatation sowie zwei Scherungen bestehen.
• Da keine Netto-Kraft und kein Netto-Drehmoment auf den Würfel wirken soll, müssen die Kräfte in die x-, y-, oder z-Richtung auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
• Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezifizieren.
• Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
• Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.
• Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal drei Matrizen, die über einen Tensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3 mal 3 Matrix) miteinander verbunden sind.

Formal

$$\sigma_{i,j} = \sum\limits_k \sum\limits_\ell E_{i,j,k,\ell} \epsilon_{k,\ell} \hspace{1cm} mit \;\, i,\,j,\,k,\,\ell = x,\,y,\,z$$ (5.381)

Im allgemeinen Falle heisst das, dass für gleiche Kräfte die Antwort des Systems von der Orientierung der Probe abhängt. Je höher die Symmetrie eines materials ist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropen Mediums bleiben zwei, $E$ und $G$.

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