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Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen

Dieser Stoff wurde am 22.1.2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 181])

Wir wollen nun untersuchen, wie die Lösung der Schwingungsgleichung für $N$ gleich Pendel aussieht, die jeweils vom $i$-ten zum $i+1$-ten Pendel mit einer masselosen Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt sind. Für das erste Pendel mit $i=1$ gilt

$$I\ddot\phi_1 = -Lmg\phi_1 -k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$$ (8.536)

Die Bewegungsgleichung des letzten Pendels ist

$$I\ddot\phi_N = -Lmg\phi_N + k\ell^2(\phi_{N-1}-\phi_N)$$ (8.537)

Dazwischen lauten die Bewegungsgleichungen für ein Pendel $0<j<N$

$$I\ddot\phi_j = -Lmg\phi_j -k\ell^2(\phi_j-\phi_{j+1})+ k\ell^2(\phi_{j-1}-\phi_j)$$

$$= -Lmg\phi_j + k\ell^2\phi_{j-1}-2k\ell^2\phi_j+k\ell^2\phi_{j+1}$$ (8.538)

Wir dividieren durch $I=mL^2$ und setzen $\omega_0^2=\frac{g}{L}$ und $\kappa = \frac{k\ell^2}{mL^2}$ und schreiben die Gleichung als matrizengleichung

$$\left(\begin{array}{c} \ddot\phi_1 \\ \vdots \\ \ddot\phi_j \\ ... ...y}{c} \phi_1 \\ \vdots \\ \phi_j \\ \vdots \\ \phi_N \\ \end{array}\right)$$ (8.539)

Wir setzen nun $\phi_i = \phi_{i,0}e^{i\omega t}$ und lösen die obige Gleichung

$$\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \e... ...1,0} \\ \vdots \\ \phi_{j,0} \\ \vdots \\ \phi_{N,0} \\ \end{array}\right)$$ (8.540)

Diese Gleichung hat dann eine Lösung, wenn die Determinante

$$\left\vert\begin{array}{ccccccccccc} \omega^2-\omega_0^2-\kappa &... ... 0 &\cdots & \kappa & \omega^2-\omega_0^2-\kappa \\ \end{array}\right\vert = 0$$ (8.541)

Die Lösung mit der tiefsten Resonanzfrequenz ist $\omega=\omega_0$, bei der alle Pendel in Phase sind (bei allen anderen Bewegungsmoden sit neben der potentiellen Energie der Pendel auch in den Federn potentielle Energie gespeichert, die Gesamtenergie also für die gleich Auslenkung grösser.) Wenn wir diese Lösung einsetzen, bekommen wir die Gleichung

$$\left\vert\begin{array}{ccccccccccc} -\kappa & \kappa & \cdots & ... ... & \cdots & 0 & 0 & 0 &\cdots & \kappa & -\kappa \\ \end{array}\right\vert = 0$$ (8.542)

Wenn man alle Zeilen dieser Determinante aufsummiert, bekommt man den Null-Vektor. Deshalb ist die obige Determinantengleichung erfüllt.

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