Weiter: Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen
Oben: Schwingungen
Zurück: Überlagerung von Schwingungen
Skript: PDF-Datei Übungen: Blätter
Dieser Stoff wurde am 22.1.2002
behandelt |
(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 181])
Gekoppelte Pendel. Zwei mathematische Pendel im Abstand mit jeweils der Länge
sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänge und der Federkonstante gekoppelt.
|
Wenn das linke Pendel um
und das rechte Pendel um
ausgelenkt wird (in
beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder
um
![$\displaystyle \Delta d = \ell\left(\sin\phi_1-\sin\phi_2\right) \approx \ell(\phi_1-\phi_2)$](img1621.gif) |
(8.517) |
für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird
![$\displaystyle F_{F,1} = -k\Delta d \approx -k\ell(\phi_1-\phi_2)$](img1622.gif) |
(8.518) |
Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel
![$\displaystyle F_{F,2} = -k(-\Delta d) \approx k\ell(\phi_1-\phi_2)$](img1623.gif) |
(8.519) |
Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten
Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind
Wir beachten, dass für eine Punktmasse
an einem masselosen Faden der Länge
das
Trägheitsmoment
ist und erhalten die linearisierte Momentengleichung
Wir teilen durch
und schreiben in Matrizenform
![$\displaystyle \left(\begin{array}{c} \ddot\phi_1 \\ \ddot\phi_2 \\ \end{array...
...nd{array}\right)\left(\begin{array}{c} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \end{array}\right)$](img1638.gif) |
(8.523) |
Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz
schwingen. Wir setzen
also an
Eingesetzt in Gleichung (8.92) bekommen wir
Wir teilen durch
Wir stellen die Gleichung um und sortieren nach den beiden unbekannten
und
.
Wir verwenden die folgenden Abkürzungen
und müssen damit die Gleichung
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit
und die zweite mit
und bekommen
und addieren die Gleichungen. Damit wird
![$\displaystyle 0 = y(A^2-B^2)$](img1666.gif) |
(8.531) |
Damit diese Gleichung für alle
eine Lösung ist, muss
sein. Diese
Bestimmungsgleichung für
hat zwei Lösungen
oder
Wir vereinfachen diese beiden Gleichungen und lösen nach
auf
Wenn wir
als Vorgabe nehmen und die Gleichung
lösen,
bekommen wir die Amplitude des zweiten Pendels.
Die beiden Lösungen haben die folgenden Charakteristika
- Lösung 1
- Es ist
und
. Die beiden
Pendel schwingen in Phase mit der gleichen Resonanzfrequenz wie ein einzelnes Pendel. Die Feder wird nicht
gedehnt. Ob sie vorhanden ist oder nicht, ist nicht relevant.
- Lösung 2
- Es ist
und
. Die beiden
Pendel schwingen gegenphasig mit einer höheren Resonanzfrequenz als die, die ein einzelnes Pendel hätte.
Die Feder wird periodisch gedehnt und gestaucht.
Next: Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen
Up: Schwingungen
Previous: Überlagerung von Schwingungen
Skript: PDF-Datei Übungen: Blätter
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm