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Gekoppelte Schwingungen

Dieser Stoff wurde am 22.1.2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 181])

Gekoppelte Pendel. Zwei mathematische Pendel im Abstand $d$ mit jeweils der Länge $L$ sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänge $d$ und der Federkonstante $k$ gekoppelt.

Wenn das linke Pendel um $\phi_1$ und das rechte Pendel um $\phi_2$ ausgelenkt wird (in beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um

$$\Delta d = \ell\left(\sin\phi_1-\sin\phi_2\right) \approx \ell(\phi_1-\phi_2)$$ (8.517)

für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird

$$F_{F,1} = -k\Delta d \approx -k\ell(\phi_1-\phi_2)$$ (8.518)

Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel

$$F_{F,2} = -k(-\Delta d) \approx k\ell(\phi_1-\phi_2)$$ (8.519)

Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten

$$M_{F,1} = \ell F_{F,1} = -k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$$

$$M_{F,2} = \ell F_{F,2} = k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$$ (8.520)

Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind

$$M_{G,1} = -Lmg\sin\phi_1 \approx -Lmg\phi_1$$

$$M_{G,2} = -Lmg\sin\phi_2 \approx -Lmg\phi_2$$ (8.521)

Wir beachten, dass für eine Punktmasse $m$ an einem masselosen Faden der Länge $L$ das Trägheitsmoment $I=mL^2$ ist und erhalten die linearisierte Momentengleichung

$$I\ddot\phi_1 = mL^2\ddot\phi_1 = -Lmg\phi_1 -k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$$

$$I\ddot\phi_2 = mL^2\ddot\phi_2 = -Lmg\phi_2 + k\ell^2(\phi_1-\phi_2)$$ (8.522)

Wir teilen durch $mL^2$ und schreiben in Matrizenform

$$\left(\begin{array}{c} \ddot\phi_1 \\ \ddot\phi_2 \\ \end{array... ...nd{array}\right)\left(\begin{array}{c} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \end{array}\right)$$ (8.523)

Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz $\omega$ schwingen. Wir setzen also an

$$\phi_1(t) = \phi_{1,0}e^{i\omega t}$$

$$\phi_2(t) = \phi_{2,0}e^{i(\omega t + \delta)}$$ (8.524)

Eingesetzt in Gleichung (8.92) bekommen wir

$$-\omega^2\phi_{1,0}e^{i\omega t} = -\frac{g}{m}\phi_{1,0}e^{i\omega t}-\frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}e^{i\omega t}-\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta})$$

$$-\omega^2\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta} = -\frac{g}{L}\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta} + \frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}e^{i\omega t}-\phi_{2,0}e^{i\omega t}e^{i\delta})$$ (8.525)

Wir teilen durch $e^{i\omega t}$

$$-\omega^2\phi_{1,0} = -\frac{g}{L}\phi_{1,0}-\frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}-\phi_{2,0}e^{i\delta})$$

$$-\omega^2\phi_{2,0}e^{i\delta} = -\frac{g}{L}\phi_{2,0}e^{i\delta} + \frac{k\ell^2}{mL^2}(\phi_{1,0}-\phi_{2,0}e^{i\delta})$$ (8.526)

Wir stellen die Gleichung um und sortieren nach den beiden unbekannten $\phi_{1,0}$ und $\phi_{2,0}e^{i\delta}$.

$$= \left[-\omega^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}\right]\phi_{1,0}-\frac{k\ell^2}{mL^2}\phi_{2,0}e^{i\delta}$$ 0

$$= - \frac{k\ell^2}{mL^2}\phi_{1,0}+\left[-\omega^2 +\frac{g}{L} +\frac{k\ell^2}{mL^2}\right]\phi_{2,0}e^{i\delta}$$ 0 (8.527)

Wir verwenden die folgenden Abkürzungen

$$A = -\omega^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}$$

$$B = \frac{k\ell^2}{mL^2}$$

$$y = \phi_{1,0}$$

$$z = \phi_{2,0}e^{i\delta}$$ (8.528)

und müssen damit die Gleichung

$$= Ax -By$$ 0

$$= -Bx + Ay$$ 0 (8.529)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $B$ und die zweite mit $A$ und bekommen

$$= ABx-B^2y$$ 0

$$= -ABx+A^2y$$ 0 (8.530)

und addieren die Gleichungen. Damit wird

$$0 = y(A^2-B^2)$$ (8.531)

Damit diese Gleichung für alle $y$ eine Lösung ist, muss $A^2=B^2$ sein. Diese Bestimmungsgleichung für $\omega$ hat zwei Lösungen

$$A_1 = B$$

$$A_2 = -B$$ (8.532)

oder

$$-\omega_1^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2} = \frac{k\ell^2}{mL^2}$$

$$-\omega_2^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2} = -\frac{k\ell^2}{mL^2}$$ (8.533)

Wir vereinfachen diese beiden Gleichungen und lösen nach $\omega_i$ auf

$$\omega_1^2 = \frac{g}{L}$$

$$\omega_2^2 = \frac{g}{L}+2\frac{k\ell^2}{mL^2} = \omega_1^2+2\frac{k\ell^2}{mL^2}$$ (8.534)

Wenn wir $x=\phi_1$ als Vorgabe nehmen und die Gleichung $y=\frac{A_i}{B}x$ lösen, bekommen wir die Amplitude des zweiten Pendels.

$$\phi_{2,0,1}e^{i\delta_1} = \frac{-\omega_1^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2} }\phi_{1,0}$$

$$= \frac{-\frac{g}{L}+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}}\phi_{1,0}$$

$$= \phi_{1,0}$$

$$\phi_{2,0,2}e^{i\delta_2} = \frac{-\omega_2^2+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}}\phi_{1,0}$$

$$= \frac{-\frac{g}{L}-2\frac{k\ell^2}{mL^2}+\frac{g}{L}+\frac{k\ell^2}{mL^2}}{\frac{k\ell^2}{mL^2}}\phi_{1,0}$$

$$= -\phi_{1,0}$$ (8.535)

Die beiden Lösungen haben die folgenden Charakteristika

Lösung 1

Es ist $\phi_{2,0,1} = \phi_{1,0}$ und $\delta_1 = 0$. Die beiden Pendel schwingen in Phase mit der gleichen Resonanzfrequenz wie ein einzelnes Pendel. Die Feder wird nicht gedehnt. Ob sie vorhanden ist oder nicht, ist nicht relevant.

Lösung 2

Es ist $\phi_{2,0,2} = \phi_{1,0}$ und $\delta_2 = \pi$. Die beiden Pendel schwingen gegenphasig mit einer höheren Resonanzfrequenz als die, die ein einzelnes Pendel hätte. Die Feder wird periodisch gedehnt und gestaucht.

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