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Unterabschnitte

• Ebene Wellen
• Kugelwellen
• Interferenz am Beispiel von Wasserwellen
• Beugung am Beispiel von Wasserwellen

Wellen in 2 und mehr Dimensionen

Dieser Stoff wurde am 29.1.2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 160])

Die Wellenfunktion für eine Welle in zwei oder drei Dimensionen wird wie

$$\Psi(\vec{x}) = \Psi_0(\vec{x}) \cos(\vec{k}(\vec{x}) \cdot \vec{x}-\omega t)$$ (9.567)

für eine longitudinale Welle und

$$\vec{A}(\vec{x}) = \vec{A}_0(\vec{x}) \cos(\vec{k}(\vec{x}) \cdot \vec{x}-\omega t)$$ (9.568)

für transversale Wellen. $\vec{A}$ ist ein Vektor, der auch komplexe Komponenten haben kann (Die komplexen Komponenten geben die Phasen an.). Der Vektor, der aus dem Betrag der einzelnen Komponenten gebildet wird, gibt die Schwingungsrichtung der Welle an. Für eine transversale Welle gilt

$$\vec{A}\cdot \vec{k}= 0$$ (9.569)

Ebene Wellen

Dieser Stoff wurde am 29.1.2002 behandelt

Bild einer ebenen Welle

Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Wellengleichung dadurch, dass die Amplitude und der Wellenvektor nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle ist durch

$$\vec{A}(\vec{x}) = \vec{A}_0 \cos(\vec{k}\cdot \vec{x}- \omega t)$$ (9.570)

eine Longitudinalwelle durch

$$\Psi(\vec{x}) = \Psi_0 \cos(\vec{k}\cdot \vec{x}- \omega t)$$ (9.571)

gegeben. Ebene Wellen können durch einen Vektor, der die Ausbreitungsrichtung anzeigt, dargestellt werden. Bei ebenen Lichwellen spricht man dann von Lichtstrahlen.

Kugelwellen

Dieser Stoff wurde am 29.1.2002 behandelt

Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Wir können die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten.

• Wir denken uns eine Kugeloberfläche um die Quelle, wobei die Quelle im Mittelpunkt der Kugel sein soll.
• Der Energiefluss pro Zeit, die Leistung, die durch die gesamte Kugeloberfläche fliesst ist konstant, unabhängig vom Radius der Kugel.
• Die Leistung ist durch die Querschnittsfläche der Saite war durch Gleichung (9.19) gegeben: $P = \frac{1}{2} \mu A^2\omega^2 v$. Die Querschnittsfläche $F_Q$ der Saite ist in der Massenbelegung $\mu = F_Q \rho$ enthalten. Also ist auch die Intensität $I = \frac{P}{F_Q} = \frac{1}{2} \frac{\mu}{F_Q} A^2\omega^2 v = \frac{1}{2} \rho A^2\omega^2 v = K A^2$ gegeben. Die gesamte Leistung über einer Kugeloberfläche $F_Q = 4\pi r^2$ ist also durch $P = const = K A^2 F_Q = K A^2 4\pi r^2$ gegeben.
• Damit diese Gleichung für alle $r$ gilt muss $A(r) = A_0\frac{r_0}{r}$ sein.

Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der Distanz $r$ von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.

Bei einer Kugelwelle ist

• die Amplitude: $A(r) = A_0\frac{r_0}{r}$
• die Intensität $I(r) = I_0\frac{r_0^2}{r^2}$

Bei einer Wasserwelle auf der Wasseroberfläche ist die durch eine Kreis mit dem Umfang $U= 2\pi r$ gehende Leistung konstant. Deshalb gilt, dass bei Wellen, die sich auf einer 2-dimensionalen Oberfläche bewegen, dass

• die Amplitude: $A(r) = A_0\frac{r_0}{\sqrt{r}}$
• die Intensität $I(r) = I_0\frac{r_0}{r}$

(Welle auf einer 2-dimensionalen Fläche)

ist.

Allgemein ist bei einem $n$-dimensionalen Raum

• die Amplitude: $A(r) = A_0\left(\frac{r_0}{r}\right)^{(n-1)/2}$
• und die Intensität $I(r) = I_0\left(\frac{r_0}{r}\right)^{n-1}$

Interferenz am Beispiel von Wasserwellen

Dieser Stoff wurde am 29.1.2002 behandelt

Bei Wasserwellen können Interferenzerscheinungen sehr schön beobachtet werden. Die folgenden Abbildungen zeigen schematisch die zu beobachtenden Interferenzmuster.

Interferenz zweier ebener Wellen. Blau sind die Wellenberge zu einer bestimmten Zeit markiert. Die roten Pfeile geben die $\vec{k}$-Vektoren an. Die Schwarzen Linien markieren die Orte, an denen sich die Wellenberge treffen, wo also maximale Verstärkung auftritt.

Interferenz ebener Wellen. Die Kantenlänge der Bilder ist 20. Der Betrag des Wellenvektors ist $\vert\vec{k}\vert =3$. Links sind die Wellenvektoren der beiden ebenen Wellen im Winkel von $\pi/6$ von der Senkrechten, rechts $\pi/12$.

Links Interferenz ebener Wellen, rechts die Interferenz einer Kreiswelle mit einer ebenen Welle. Die Kantenlänge der Bilder ist 20. Der Betrag des Wellenvektors ist $\vert\vec{k}\vert =3$. Links sind die Wellenvektoren der beiden ebenen Wellen im Winkel von $\pi/36$, rechts läuft die ebene Welle senkrecht, das Zentrum der Kugelwelle ist von der Mitte aus um 6 nach oben versetzt.

Die Maxima und Minima sind durch eine konstante Differenz der Phase und damit des Abstandes von zwei Referenzlinien, die parallel zu den jeweiligen Fronten liegen , charakterisiert. Damit sind auch die Orte konstanter Phase Geraden.

Interferenz einer Kreiswelle mit einer ebenen Welle. Die Kantenlänge der Bilder ist 20. Das Zentrum der Kugelwelle von der Mitte aus um 6 nach oben versetzt. Links ist der Betrag des Wellenvektors $\vert\vec{k}\vert =5$, rechts 8.

Die Lage der Maxima oder der Minima ist durch eine konstante Phasendifferenz kennzeichnet. Wenn die ebene Welle sich in y-Richtung Ausbreitet, dann nimmt man eine zur x-Achse parallele Linie durch die Quelle der Kreiswelle als Referenz. Wenn $\tilde y$ der Abstand des Punktes $P$ von dieser Linie sei und $\tilde r$ der Abstand von $P$ von der punktförmigen Quelle, dann gilt für den Abstand $\tilde x$ von $P$ parallel zur x-Achse, dass

$$\tilde r^2=\tilde x^2+\tilde y^2$$ (9.572)

Für Maxima oder Minima ist die Phasendifferenz konstant, also gilt

$$\tilde r = \tilde y + \delta/k$$ (9.573)

wenn $k$ der Betrag des Wellenvektors ist. Also haben wir

$$\left(\tilde y +\frac{\delta}{k}\right)^2 = \tilde x^2+\tilde y^2$$

$$\tilde y^2 + 2\frac{\delta}{k}\tilde y +\frac{\delta^2}{k^2} = \tilde x^2+\tilde y^2$$

$$2\frac{\delta}{k}\tilde y +\frac{\delta^2}{k^2} = \tilde x^2$$

$$2\frac{\delta}{k}\tilde y = \frac{k}{2\delta}\tilde x^2- +\frac{\delta}{2k}$$ (9.574)

Die Linien gleicher Phase sind also Parabeln.

Interferenz zweier Kugelwellen mit dem Wellenvektor vom Betrag $3$. Links sind die Zentren um 1 nach oben und unten versetzt, rechts um 2.

Die Orte konstanter Phasen, also die Lage der Maxima und Minima ist durch eine konstante Wegdifferenz von einem Punkt $P$ zu den Quellen charakterisiert. Wir legen die Quellen an die Punkte $(0;\hat y)$ und $(0;-\hat y)$. Die Abstände des Punktes $(x;y)$ seien $r_1^2 = x^2+(y-\hat y)^2$ und $r_2^2 = x^2+(y+\hat y)^2$. Es ist dann $r_2-r_1=\delta/k$. Eingesetzt

$$\sqrt{x^2+(y-\hat y)^2}-\sqrt{x^2+(y+\hat y)^2} = \frac{\delta}{k} \\$$

Die Lösungen dieser Gleichung beschreiben die Linien konstanter Phase

Interferenz zweier Kugelwellen mit dem Wellenvektor vom Betrag $3$. Links sind die Zentren um 4 nach oben und unten versetzt, rechts um 8.

Beugung am Beispiel von Wasserwellen

Dieser Stoff wurde am 29.1.2002 behandelt

Die Beugung von Wasserwellen an einem Objekt kann mit dem Prinzip von Huygenserklärt werden. Man nimmt eine Momentaufnahme des Wellenbildes eines bestimmten Wellenberges und nimmt jeden Punkt auf diesem Wellenberg als Ausgangspunkt einer neuen Kreiswelle (Kugelwelle in 3 Dimensionen).

Huygens'sches Prinzip. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

Huygens'sches Prinzip. Links die Interferenz von 17 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 33 Kreiswellen.

Huygens'sches Prinzip. Links die Interferenz von 65 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 129 Kreiswellen.

Die Beugung an einem Spalt kann nun so verstanden werden, dass nicht mehr Kreiswellen aus einem grossen Bereich, sondern nur noch Kreiswellen aus dem Spalt zum neuen Wellenbild beitragen.

Huygens'sches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie im Spalt. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

Huygens'sches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links das Interferenzmuster bei einer Spaltbreite von 1 Wellenlänge, rechts von 3 Wellenlängen.

Huygens'sches Prinzip. Interferenzmuster an einem Gitter. Die im Bild sichtbare Drehung rührt daher, dass nur eine endliche Anzahl von Gitterschlitzen berücksichtigt wurde.

Bei Transversalwellen tritt Interferenz nur zwischen den Wellen auf, die eine gemeinsame Schwingungsrichtung des Feldvektors haben!

Zwei in die x-Richtung laufende Wellen mit den Amplituden $\vec{A}_{1,0} = (0;A_{1,y};0)$ und $\vec{A}_{2,0} = (0;0;A_{2,z})$ interferieren nicht. Es bilden sich keine stehenden Wellen, die Orientierung des Summen-Feldvektors hängt aber von der Position ab.

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