Dieser Stoff wurde am 23.1.2002 behandelt |
Wellen können sich in Medien (Schallwellen, Seilwellen) oder auch ohne Medien (Licht, elektromagnetische Wellen) ausbreiten. Sie können sich im Raum ausbreiten, also in drei Dimensionen, auf Platten, in zwei Dimensionen oder in Seilen oder Glasfaserkabeln in einer Dimension. Wir betrachten den einfachen Fall einer Welle in einer Dimension.
Dieser Stoff wurde am 23.1.2002 behandelt |
Reflexion einer Seilwelle wenn das Ende an der Wand eingespannt ist
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Wir sahen, dass bei einer Schwingung die Anfangsbedingung zweiteilig war. Der Ort und die Geschwindigkeit mussten vorgegeben werden. Genauso ist die Randbedingung einer Seilwelle durch eine von zwei Grössen charakterisiert, dem Ort und der Geschwindigkeit (erste Ableitung) oder eine höhere Ableitung. Wenn das Seil fest eingespannt ist, wie in der obigen Abbildung, ist der Ort fest und die zweite Ableitung (siehe auch den einseitig eingespannten Balken) frei. Der Wellenberg wechselt sein Vorzeichen bei der Reflexion: wir sprechen von einem Phasensprung.
Reflexion einer Seilwelle wenn das Ende lose befestigt ist.
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Wenn das Seilende lose ist, ist der Ort frei, aber die Geschwindigkeit stellt sich der Anregung entsprechend ein. Hier hat die Amplitude der reflektierten Seilwelle die gleiche Phase, es gibt keinen Phasensprung.
Analoge Effekte treten bei elektromagnetischen Wellen auf. je nach Randbedingung tritt bei der Reflexion ein Phasensprung von auf. |
Die hier betrachteten Seilwellen sind Transversalwellen oder Querwellen, da die Anregung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist. Licht und Seilwellen gehören zu den Transversalwellen. Bei Longitudinalwellen oder Längswellen geht die Auslenkung der Teilchen in die Richtung der Ausbreitung. Das bekannteste Beispiel einer Longitudinalwelle ist die Druckwelle bei einer Schallwelle.
Wasserwelle
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Mischformen von transversal- und Longitudinalwellen existieren, so zum Beispiel die oben dargestellte Wasserwelle. Ein einzelnes Wasserteilchen bewegt sich kreisförmig (eine Folge der Energieerhaltung). Dabei ist die Geschwindigkeit der Teilchen am Wellenkamm nach rechts gerichtet, wenn die Welle sich nach links ausbreitet11.
Wenn zwei Wellenberge mit entgegengesetzer Ausbreitungsrichtung sich treffen, dann addieren sich bei einem linearen System die Amplituden.
Eine Störung auf einem Seil wird nicht nur am Ende reflektiert, sondern auch, wenn die Eigenschaften des Seils sich ändern. Wenn ein Seil ab einer bestimmten Stelle weniger steif ist, ist ab der Stelle auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung anders. Ein Teil (im Gegensatz zur Reflexion am Ende) der Welle wird reflektiert. Dies ist analog zur Teilreflexion von Licht beim Übergang von einem Medium in das nächste.
Wir beobachten, dass die Form eines Wellenberges sich nicht ändert. Im bewegten
Bezugssystem ist sie durch
gegeben. Nun bewegt sich das Maximum
mit der Geschwindigkeit . Wir können die Gleichungen der Galilei-Transformation
hinschreiben
(9.543) |
(9.544) |
(9.545) |
Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Amplituden und gleichem Vorzeichen. Die zeit nimmt von oben nach unten zu.
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Wenn wie in der obigen Zeichnung die beiden Wellen den Gleichungen und genügen, ist die resultierende Wellenfunktion
(9.546) |
Überlagerung zweier Wellen mit gleichen Amplituden und unterschiedlichem Vorzeichen. Die Zeit nimmt von oben nach unten zu
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Haben die beiden Wellenberge unterschiedliche Vorzeichen, so können sie sich zu gewissen Zeiten teilweise oder, bei gleicher Amplitude, vollständig auslöschen. Obwohl in der Mitte nichts mehr von den Wellenbergen zu sehen ist, ist die Information über ihre Form und Geschwindigkeit in der kinetischen Energie der Seilstücke gespeichert.
Überlagerung zweier sinusförmiger Wellenberge mit unterschiedlichen Amplituden und gleichem Vorzeichen.
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Das Überlagerungsprinzip gilt auch für Wellen mit beliebiger Form, hier als Sinuswelle dargestellt. Bei grossen Amplituden, also dann wenn das betrachtete System nicht mehr linear ist, gilt das Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip nicht.
Dieser Stoff wurde am 23.1.2002 behandelt |
Kräfteverhältnisse an einem Wellenberg in einem sich mit dem Wellenberg sich fortbewegenden Koordinatensystem.
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Wir betrachten ein Seilsegment der Länge . Auf dieses Segment wirken an den Enden Kräfte , die um den Winkel nach unten gekippt sind. Die Kraft ist die Spannkraft am Seil. Das Seil bewegt sich in dieser Darstellung mit der Geschwindigkeit durch das Bild. Dabei bewegt sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn, ist also der Zentripetalbeschleunigung unterworfen. Das Kräftegleichgewicht in radialer Richtung (nach unten) ist
(9.547) |
(9.548) |
(9.549) |
Dies ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung auf einem Seil oder auf einer Saite. |
Da in dieser Gleichung keine koordinatenabhängigen Grössen vorhanden sind, gilt sie auch für das ,,Ruhesystem'' des Seils.
Ein Seil mit einer Massenbelegung von und einer Seilspannkraft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit .
Dieser Stoff wurde am 23.1.2002 behandelt |
Der Schnappschuss einer Welle mit der Wellenlänge .
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In der Periodendauer bewegt sich die Welle um eine Wellenlänge vorwärts. Wenn wir die Frequenz einführen erhalten wir
(9.551) |
(9.552) |
(9.553) |
(9.554) |
(9.555) |
Die Wellengleichung |
Wie schon früher berechnet, ist . Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist
(9.557) |
(9.558) |
Dieser Stoff wurde am 23.1.2002 behandelt |
Wenn wir ein kurzes Segment der länge einer schwingenden Welle betrachten, dann führt dieses eine harmonische Schwingung aus. Wenn die Wellengleichung ist, dann ist die Geschwindigkeit . Damit ist die kinetische Energie des Seilsegments beim Nulldurchgang und damit auch die Gesamtenergie
(9.559) |
(9.560) |
Dieser Stoff wurde am 23.1.2002 behandelt |
Analog zu Schwingungen, deren Kombination oder Überlagerung neue Bewegungsforment ergibt, können auch Wellen überlagert werden. Dies kann sehr schön an den Wasserwellen hinter einer Hafeneinfahrt beobachtet werden.
Interferenz zweier Wellen mit der gleichen Amplitude und der gleichen Frequenz und einer Phase, die von variiert.
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Mathematisch setzen wir zwei Wellen an
(9.562) |
(9.563) |
(9.564) |
Wir wenden die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen an. Wir verwenden
(9.565) |
Phase | resultierende Amplitude | Interferenz |
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0 | konstruktive | |
0 | destruktiv | |
konstruktiv |
Dieser Stoff wurde am 29.1.2002 behandelt |
Materialien
Übungsblatt 14 vom 29. 1. 2002 (HTML oder PDF)
Folien zur Vorlesung am 29. 01. 2002 PDF
Wenn wir eine nach links laufende Welle
und eine nach
rechts laufende Welle
zur Interferenz kommen lassen,
erhalten wir
(9.566) |
Wenn die Amplituden der beiden Wellen nicht gleich gross ist, dann interferieren von der Welle mit der grösseren Amplitude nur die Amplitudenteile, die gleich gross wie die Amplitude der schwächeren Welle sind. |
Stehende Wellen als Resultat zweier gegenlaufender Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren. |