Übungsblatt 4
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

6. 11. 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Kinematik

1. Gegeben seien die Aufhängungspunkte $P_1 = (0;0;0)$ und $P_2 = (25 cm ;0;0)$. An diesen beiden Punkten ist ein Seil der Länge $30 cm$ mit je einem Ende befestigt. $20 cm$ vom Aufhängungspunkt $P_1$ wird ein Gewicht der Masse $m=10 kg$ befestigt. Konstruieren Sie und berechnen Sie die Seilkräfte unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung $\vec g = (0;0;-10 m/s^2)$.
2. Berechnen Sie für ein rollendes Rad die momentane Geschwindigkeit für alle Radien 0 bis zum Radius des Rades gesehen von einem ruhenden Beobachter.
3. In der Vorlesung wurde die Corioliskraft vorgeführt, indem ein Ball über eine sich drehende Platte geführt wurde. Der Ball habe die Anfangsgeschwindigkeit in die x-Richtung, die Winkelgeschwindigkeit der Platte sei $\vec \omega = (0;0;\omega_0)$. Leiten Sie eine Gleichung für den Ort des Balles in Funktion der Zeit im ortsfesten Koordinatensystem her. Transformieren Sie diese Bewegung auf das rotierende Koordinatensystem. Wie lautet die Bewegungsgleichung dort?
4. Ein Wagen fährt mit konstanter Geschwindigkeit $v_0$ in die x-Richtung. Am Nullpunkt beginnt eine Kurve, Radius R, in die y-Richtung. In diesem Wagen hängt eine Lampe, Masse $m$ an einem Seil der Länge $L$.
   1. Welche Bahn beschreibt die Lampe am Anfang der Kurve?
   2. Welche Bahn wird im eingeschwungenen Zustand verfolgt?
   Bemerkung: Dies ist eine Methode zur Konstruktion einer Achterbahn, bei der man den Weg nicht anhand des Schienenverlaufes vorhersehen kann.

Hausaufgabe

Bitte lösen Sie entweder die Aufgabe 5 oder 6. Es ist auch nicht verboten, beide zu lösen.

1. Die Beschleunigung eines Körpers sei $a(t) = - \frac{k}{m} x(t) - \delta v(t)$. Berechnen Sie mit dem Eulerverfahren $x(t)$, $v(t)$ und $a(t)$. Setzen Sie den Anfangsort $x_0 = 0$, die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 1$ und die Konstanten $m=1$, $k=1$ und $\delta = 0.1$. Was passiert, wenn Sie $\delta$ verändern?
2. Die Beschleunigung eines Körpers sei $a(t) = - \frac{k}{m} x(t)$. Die Bewegung ist periodisch, kann also als Summe von Winkelfunktionen dargestellt werden. Geben Sie die möglichen Lösungen an. Wie beeinflussen die Anfangsbedingungen die Lösung?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 
   

   Wenn a,b,c Seiten eines Dreiecks sind und wenn A,B,C die den Seiten a,b,c gegenüberliegenden Winkel sind, gilt:

   • Drei Seiten gegeben, dann ist: $p = \frac {1}{2}(a+b+c)$, $r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$, $\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{p-a}$, $\tan \frac{B}{2} = \frac{r}{p-b}$, $\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{p-c}$
   • Eine Seite a und zwei Winkel A,B gegeben: $C = \pi - A -B$, $b = \frac{a \sin B}{\sin A}$, $c = \frac{a \sin C}{\sin A}$
   Diese beiden Formeln stammen aus Bronstein, Taschenbuch der Mathematik.
   Gegeben ist der Abstand der Aufhängungspunkte, $a = 25 cm$ und die beiden anderen Seiten $b = 20 cm$ und $c = 10 cm$. Nun sind die Grössen:
   $p = 27.5 cm$, $r = 3.45 cm$ (der Inkreisradius), $A = 1,89$, $B= 0,86$, $C= 0,39$ (alle Winkel in Radian!)
   Gegeben ist $\tilde a = mg = 100 N$. Die Winkel $\tilde A = B + C$, $\tilde B = \pi/2 -C$ und $\tilde C = \pi/2 - B$.
   Damit ist
   $F_1 = \tilde b = \frac{mg \sin (\pi/2- C)}{\sin(B+C)} = 97.38 N$
   $F_2 = \tilde c = \frac{mg \sin (\pi/2- B)}{\sin(B+C)} = 68.43 N$
   Excel-Tabelle zur Berechnung der Winkel
2. Geschwindigkeit der Achse: $\vec v_0 = (v_0;0;0)$, Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Rad bezogen auf die Achse:
   $\vec v_r(r,\alpha) = \frac{r}{R}(v_0 \sin\alpha;0;-v_0\cos\alpha)$
   Die Gesamtgeschwindigkeit ist $\vec v_{ges} = \vec v_0 + \vec v_r$
   $\vec v_r = v_0(1+\frac{r}{R}\sin\alpha;0;-\frac{r}{R}\cos\alpha)$
3. Mit der Drehmatrize um die z-Achse $D_z (-\omega_0 t)$ (Wenn die Plattform sich vom ruhenden Beobachter aus mit $\omega$ dreht, dreht sich der ruhende Beobachter von der Plattform aus gesehen mit $-\omega$. Sei $\vec r = (v_0 t;0;0)$. Dann ist $\vec r' = D_z(-\omega_0 t)\vec r(t) = (v_0 t \cos\omega_0 t;-v_0 t \sin\omega_0 t; 0)$.
4. Für kleine Zeiten bewegt sich die Masse geradeaus weiter. Für grosse Zeiten schwingt die Masse um den Winkel $\alpha$ aus der Senkrechten aus. Dann ist $\tan \alpha = \frac{ma_z}{mg} = \frac{v^2}{R g}$

Lösungen Hausaufgabe

1. Die Lösung ist die gedämpfte harmonische Schwingung mit $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$
   $x(t) = v_0/\omega_0 e^{-\delta t} \sin\omega_0 t$
2. $x(t) = x_0 \sin(\omega_0 t) + x_1 \cos(\omega_0 t)$

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