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4.2  Elektronen

Seit J.J. Thomson [Tho97] das Elektron entdeckt hatte, ist es eines der am genauesten untersuchten Elementarteilchen. Die Kennwerte des Elektrons werden mit den folgenden Methoden bestimmt:

Ladung pro Masse e∕m:
durch Massenspektrometer (Methode aus der Elektrizitätslehre)
Elektronenladung e:
durch den Millikan-Versuch oder durch Elektrolyse
Elektronenradius r:
durch Streuversuche

4.2.1  Ladung des Elektrons

Die Ladung eines Elektrons kann auf elektrochemischem Wege bestimmt werden:

Elektrolyse
Man bestimmt die umgesetzte Molzahl und daraus mit der Gaskonstante R die Materiemenge. Durch Bestimmung der Gesamtladung über eine Integration des Stromes erhält man die Faraday-Zahl F = e·NA
Massenspektrometer
In gekreuzten E- und B-Feldern bestimmt man e∕me.

4.2.1.1. Millikan-Versuch

Der Millikan-Versuch [Mil11, Mil13, Hol00] ermöglicht eine direkte Bestimmung von e. Millikans Schlüsselidee war, über die viskose Reibung von kleinen Öltröpfchen die Kraft eines elektrischen Feldes auf Ladungen zu bestimmen.

PIC

Bestimmung der Elektronenladung nach Millikan[Mil11, Mil13]

Der Versuch wird in einer Anordnung wie in Abbildung 4.2.1.1 durchgeführt.

Ein Öltröpfchen mit dem Durchmesser 2r und der Masse mT = 4π
 3ϱT r3 wird zwischen die Platten eines Kondensators (Abstand d) gebracht. Auf dem Öltröpfchen befindet sich die Ladung q. Unter dem Einfluss der Gravitation FG, des Auftriebs FA in Luft (Dichte ϱL) und des elektrischen Feldes FE bewegt sich das Öltröpfchen mit der konstanten Geschwindigkeit v, gegeben durch die Stokesche Reibungskraft FS .

Dabei treten die folgenden Kräfte auf:

F   + F   + F   + F   =  0
  G     E     A     S
(4.1)

Stokes Gesetz für eine laminare Strömung sagt:

F S = - 6πηvr
(4.2)

Die elektrostatische Kraft ist:

F   = qE  = - qgrad  U =  qU-e
  E                        d  E
(4.3)

wobei eE = E|E | der Einheitsvektor in die Richtung des elektrischen Feldes ist. Dann muss auch die Gravitation berücksichtigt werden:

F G = mT g =  4πϱT r3g
              3
(4.4)

Schliesslich haben die Tröpfchen in Luft einen Auftrieb:

        4π-   3
F A = -  3 ϱLr g
(4.5)

Kombiniert man die obigen Gleichungen, erhält man für den Zusammenhang von Ladung und Geschwindigkeit

4π-   3    4-π    3
 3 ϱTr g -  3 ϱLr g -  qgrad U  = - 6πηvr
(4.6)

Betragsmässig ergibt sich

4π-(ϱ  - ϱ )r3g - q U-=  - 6 πηvr
3    T    L         d
(4.7)

und

  U-            4π-          3
q d =  6πηvr +  3  (ϱT - ϱL)r g
(4.8)

Damit kann die Ladung über das elektrische Feld (oder die Spannung), die Dichten, die Viskosität, die Fallstrecke und den Tröpfchendurchmesser bestimmt werden

        (                     )
q = 2πr  3ηv +  2(ϱ  - ϱ  )r2g  d-
                3  T     L      U
(4.9)

Im Einzelnen läuft der Versuch wie folgt ab:

Freier Fall mit U = 0
             4π-           3
0 = 6π ηvr +  3 (ϱT - ϱL )r g

0 = 3ηv +  2(ϱ  - ϱ  )r2g
           3  T     L

      ∘ -------------
          η - vFall
r = 3   -------------
        2 (ϱT -  ϱL)g
(4.10)

was ok ist, da vFall < 0 ist!

Schwebezustand (v = 0)
  U-   4π-           3
q d =   3 (ϱT - ϱL) r g

                                       (              )3∕2
q =  4π-(ϱ  - ϱ ) r3g d = 4π-(ϱ  - ϱ  )  ---9ηvF-all---    g-d
     3    T    L     U     3   T    L    2 (ϱT -  ϱL)g      U

              ┌ ------------
     √2-·9 πd ││   η3v3
q = --------- ∘ -----F-all--
        U       (ϱT - ϱL) g
(4.11)

Gemessene Geschwindigkeit v
also (4.9)
     6πrd (      2             )
q =  ----- ηv +  -(ϱT - ϱL )r2g
      U          9
(4.12)

Der Schwebezustand ist fast nicht experimentell erreichbar, deshalb misst man im Wesentlichen v(U), wobei U = ±U0 zwei Werte annimmt.

Millikan[Mil13] erhielt als Wert für die Elektronenladung e = 1.592·10-19C.

PIC Versuch zur Vorlesung: Millikan-Versuch: Ladung von Öltröpfchen (Versuchskarte AT-13)

4.2.2  Grösse des Elektrons

Das Elektron mit seiner kleinen Masse ist eines der Objekte, bei dem quantenmechanische Eigenschaften besonders ausgeprägt sind. Je grösser die Masse eines Objektes, desto eher verhält es sich klassisch. Wenn man annimmt, dass die Selbstenergie des elektrischen Feldes der relativistischen Ruheenergie des Elektrons entspricht, kann ein klassischer Elektronenradius re,class = 2.8·10-15 m bestimmt werden. Belloni [Bel81] zeigt, dass eine andere Überlegung von Fermi auf einen etwa zwölf mal grösseren Elektronenradius führt. Neuere Experimente durch zum Beispiel Dehmelt [Deh88] haben jedoch gezeigt, dass der quantenmechanisch korrektere Radius des Elektrons re,QM < 10-22 m sein muss. Genaueres ist nicht bekannt, es gibt keine abschliessende Aussage über den Elektronenradius. Es kann gut sein, dass ein Elektron eine sehr gute Approximation eines mathematischen Punktteilchen ist, fast eine Divergenz im Raum.

Um den klassischen Elektronenradius zu berechnen, beginnen wir mit der Ladungsdichte ϱel einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius r

        4π
Q (r) = ---ϱelr3
         3

Wenn bei der gleichen Ladungsdichte eine Kugelschale mit der Dicke dr dazugefügt wird, trägt diese eine Ladung

dQ (r) = 4πϱelr2dr

Die Ladung Q wirkt auf eine Probeladung dQ im Abstand r vom Zentrum von Q mit der Kraft

          1  QdQ
F (r) = -------2--
        4πϵ0  r

Hält man nun Q und dQ fest und führt dQ vom Unendlichen auf die Distanz r, so muss die folgende Energie zugeführt werden:

             ∫r            QdQ  ∫r 1        1  QdQ
dEpot(r) = -   F (˜r)d˜r = - -----   -2d˜r = ----------
             ∞             4π ϵ0∞  ˜r      4 πϵ0  r

Die gesamte Energie in der homogen geladenen Kugel ist

         ∫r          1   ∫rQ (˜r)dQ (˜r)     1  ∫r 4π-ϱel˜r34π ϱel˜r2      4πr5ϱ2
Epot,tot =   dEpot = -----  -----------=  -----  -3------------d ˜r = -----el
         0          4πϵ0 0      ˜r        4π ϵ0 0        ˜r             15 ϵ0
(4.13)

Die Ladungsdichte kann mit dem noch unbekannten Elektronenradius re wie folgt berechnet werden:

e = 4-πϱelr3
     3     e

Wir setzen die Ladungsdichte ϱel in (4.13) ein und erhalten so für eine homogen geladene Kugel

                        3e2
Eselbst,homogen(e,re) = --------
                      20π ϵ0re
(4.14)

Diese Energie setzen wir der relativistischen Ruheenergie der Masse me gleich.

Erel = mec2
(4.15)

Setzen wir Gleichung (4.14) und Gleichung (4.15) gleich und lösen nach dem Elektronenradius re auf, erhalten wir

                3  1   e2
re,class,homogen =  ----------2 = 1.7·10 -15 m
                54π ϵ0mec
(4.16)

Andererseits kann man den klassischen Elektronenradius auch berechnen, wenn man annimmt, dass die gesamte Ladung an der Oberfläche konzentriert sei. Dazu betrachtet man das elektrische Feld einer Ladung e

         --1--e-
E(r) = - 4π ϵ0r2

Die Energiedichte dieser Ladung ausserhalb ist

       ϵ0 (    1  e )2       e2
w(r) = --  - ------2   =  ---2---4-
        2    4π ϵ0r       32π ϵ0r

Der Energieinhalt des elektrischen Feldes ausserhalb in Kugelkoordinaten ist

           ∫∞∫π 2∫π       2
EF eld =          w (r)·r  sin(Θ )·dr ·d Θ·d ϕ
           re0  0
              ∞∫
       =   4π   w (r)·r2·dr
              re
              ∞∫
                ----e2---
       =   4π   32 π2ϵ0r2·dr
              re
            e2  ∫∞ 1
       =   -----   -2·dr
           8π ϵ0re r
              e2  1 ||∞      e2
       =   - -------||  = -------
             8πϵ0 r re   8π ϵ0re

Durch Gleichsetzen mit Gleichung (4.15) erhalten wir

              1    e2              -15
re,class,Schale = 2-4πϵ-m--c2 = 1.4·10    m
                   0  e
(4.17)

Wir haben also zwei leicht unterschiedliche Resultate für die homogene Ladung und die Oberflächenladung. Sie unterscheiden sich durch die Vorfaktoren 35 und 12. Deshalb, und weil es im cgs-System so schön aussieht definiert man


Der klassische Elektronenradius ist
             e2             - 15
re,class = --------2 = 2.8·10     m
         4π ϵ0mec
(4.18)




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