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D.5  Drehungen

D.5.1  Drehmatrizen

Eine Drehung um die x-Achse beschrieben durch den Vektor ex = (1,0,0) T um den Winkel α wird durch die Matrix

         ( 1    0        0    )
         | 0  cos(α)  - sin (α)|
Rx(α ) = ||                    ||
         ( 0  sin (α )   cos(α) )
(D.1)

die Transformation ausgeführt. Für eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor ey = (0,1,0) T um den Winkel β wird durch die Matrix

         (                    )
            cos(β )   0  sin (β )
         ||    0      1    0   ||
Ry(β ) = |( - sin (β )  0  cos(β)|)
(D.2)

die Transformation ausgeführt. Schliesslich wird eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor ez = (0,0,1 ) T um den Winkel γ wird durch die Matrix

         (                    )
           cos(γ)  - sin (γ ) 0
         || sin (γ )   cos(γ )  0 ||
Rz (γ ) = |(   0        0     1 |)
(D.3)

ausgeführt.

Der Vektor r = (x,y,z) T soll um den Winkel α um die x-Achse gedreht werden. Dies wird mit der Operation

               (                    ) (  )    (                   )
                 1    0        0        x               x
 ′             || 0  cos(α)  - sin (α)|| || y||    || y cos(α ) - z sin(α)||
r =  Rx(α)r =  |( 0  sin (α )   cos(α) |) |( z|)  = |( y sin(α ) + z cos(α)|)
(D.4)

bewerkstelligt. Im Allgemeinen wird eine Drehung durch die Multiplikation des Vektors von links mit einer Matrix beschrieben.

Die Drehung zurück wird (antisymmetrische reelle Matrix mit der Determinante 1) wird durch die inverse Matrix oder die transponierte Matrix beschrieben Alternativ kann man auch α durch -α ersetzen.

                             (                    )
                               1     0        0
            T       - 1      || 0   cos(α)   sin(α)||
Rx(- α) = R x(α) = Rx  (α) = |( 0  - sin(α)  cos(α)|)
(D.5)

Eine Drehung um einen beliebigen Vektor rα = (xα,yα,zα) T mit xα2 + y α2 + z α2 = 1 wird durch

  R(xα,yα,zα)T(α )=
(     x2α +cos(α)(y2α+ z2α)     - xαyα cos(α)+ xαyα- zα sin(α)  -xαzαcos(α)+ xαzα +yαsin(α))
| -xαyαcos(α)+xαyα+ zαsin(α)     cos(α)(x2α+ zα2) +y2α      -xαsin(α)- yαzα cos(α)+ yαzα|
( -xαzαcos(α)+xαzα- yαsin(α)  xαsin(α)- yαzαcos(α)+ yαzα      cos(α)(x2α +y2α)+ z2α    )
(D.6)

beschrieben[WR14]. Die Drehung ist bei positivem α rechtshändig bezüglich der Richtung von rα (Der Daumen zeigt in die Richtung von rα, die Finger geben die Drehrichtung).

D.5.2  Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren)

Sei Reα(α) die Drehmatrix. Dann ist der aus r hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Vektor

 ′
r = Re α(α)r
(D.7)

Ein Beispiel dafür ist in (D.4) gezeigt.

Die aus der Matrix

    ( A     A    A   )
    |   xx   xy    xz|
A = || Ayx   Ayy  Ayz ||
    ( Azx   Azy  Azz )

hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Matrix ist

A′ = Re (α )ART  (α ).
       α      eα
(D.8)

Die Drehung zurück ist dann

          ′ T          T      ′          T              T
Reα(- α)A R eα(- α ) = Reα(α)A Reα (α ) = Reα(α)Re α(α)AR eα(α)Reα(α ) = A
(D.9)

Wenn wir als Beispiel die Matrix

     (          )
        a   b  0
     || - b  c  0||
A  = |(  0   0  d|)

um eα = (-1-     -1)
 √2-,0,- √2T drehen, erhalten wir

A=R(1√-
 2,0,-1√-
 2)T(α)AR(1√ -
  2,0,-1√ -
  2)TT (α) (D.10)
= R(1√2,0,-1√2)T(α)AR(1√2-,0,-1√2-)T(-α)
= ( 1               sin(α)   1            )
| 2(cos(α) + 1)   -√2--  2(cos(α) - 1)|
||    - sin√(α)     cos(α)     - sin√(α)   ||
|| 1       2       sin(α)-  1       2    ||
( 2(cos(α) - 1)    √2    2(cos(α) + 1))(          )
   a   b  0
|| - b  c  0||
|(  0   0  d|)
( 1                sin(α)- 1            )
| 2(cos(α) + 1)  -  √2   2(cos(α ) - 1)|
||     sin√(α)      cos(α)       sin√(α)-   ||
|| 1      2         sin(α)- 1      2     ||
( 2(cos(α) - 1)  -  √2   2(cos(α ) + 1))
= ( 1               sin(α)-  1            )
| 2(cos(α) + 1)    √2    2(cos(α) - 1)|
||    - sin√(α)     cos(α)     - sin√(α)   ||
|| 1       2       sin√(α)-  1       2    ||
( 2(cos(α) - 1)     2    2(cos(α) + 1))
( 1                bsin√(α)            asin√(α)  1                bsi√n(α))
| 2a(cos(α) + 1) +    2   b cos(α) -    2    2a(cos(α) - 1) +    2 |
|| csin√(2α)-  12b(cos(α ) + 1 ) bsi√n2(α)-+ ccos(α )  csi√n2(α)-- 12b(cos(α) - 1)||
||     1                          dsi√n(α)-          1                 ||
(     2d(cos(α ) - 1)          -    2            2d(cos(α) + 1)    )
= (   1 ((a + d )cos2(α) + 2(a - d)cos(α) + a + 2csin2(α) + d)   0  0)
| 1(4  √ --                                                 )      |
|| 4  -   2sin(α)(cos(α)((a - 2c + d) + a - d) -√2b(c)os(α ) + 1) 0  0||
|(            - 1sin(α)  sin(α )(a - 2c + d) + 2  2b              0  0|)
               4
+        (                   --                                 )
( 0   1 2b(cos(α) + 1) - √ 2 sin(α )(cos (α )(a - 2c + d ) + a - d)  0)
|     4              1          2           2                      |
|| 0   (   √--        2(a + d) sin (α ) + c cos(α )              )  0||
|( 0  14 -   2 sin (α)(cos(α)(a - 2c + d) - a + d) - 2b(cos(α) - 1)  0|)
+ (                          (                      √ --)          )
  0  0            - 14 sin (α) sin(α)(a - 2c + d) - 2 2b
||       1(                 √ --                                 )||
|| 0  0  4 2b(cos(α ) - 1) -  2 sin (α )(cos(α)(a - 2c + d) - a + d) ||
( 0  0   14 (cos(α)((a + d)cos(α) - 2a + 2d) + a + 2csin2(α) + d) )

D.5.3  Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln

Das Koordinatensystem ex,ey,ez geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem ex*,e y*,e z* hervor.

PIC

Definition der Eulerschen Winkel

Die Eulerschen Winkel sind

  1. Drehung um ez* : α
  2. Drehung um 0A : β
  3. Drehung um ez* : γ

Dabei 0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch ez und ez*.

Die Reihenfolge der Drehungen ist

  1. Drehung: Bringe ex* senkrecht zu e z (In der Abbildung D.5.3 zeigen die Kreise die Ebenen senkrecht zu ez* und senkrecht zu e z Die Schnittlinie der beiden Kreise ist 0A.
  2. Drehung: Bringe z-Achse in richtige Lage
  3. Drehung: Bringe x,y-Achsen in die richtige Lage.



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