©2005-2015 Ulm University, Othmar Marti, PIC
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

D.6  Umrechnungen zwischen Koordinatensystemen, insbesondere kartesischen, sphärischen und zylindrischen Koordinatensystemen

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 218])

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 667])

(Siehe Arfken und Weber, Mathematical Methods for Physicists, [AW95, pp. 100])

D.6.1  Definitionen

Wir betrachten lokal orthogonale Systeme:

Kartesisches System
V c = Vxex + Vyey +  Vzez

Sphärisches System
V s = Vrer + Vϕe ϕ + Vθeθ

Zylindrisches System
V z = Vrer + Vϕe ϕ + Vzez

Allgemeines gekrümmtes System
V g = q1e1 + q3e3 + q3e3

Bei allen Koordinatensystemen sei für alle i e12 = 1. Die ei sollen ein rechtshändiges System bilden, also dass e1·(e2 × e3 ) > 0 (wobei die Zahlen 1 bis 3 die drei Koordinaten in den jeweiligen Systemen in der oben angegebenen Reihenfolge sind.

PIC PIC PIC

Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System. Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten

D.6.2  Allgemeine Transformation

Dieser Abschnitt folgt [AW95, p. 100]. Wenn die Transformation von einem beliebigen gekrümmten Koordinatensystem mit den Koordinaten (q1,q2,q3)T in das kartesische System (x,y,z)T bekannt ist, können über das kartesische System als Zwischensystem beliebige gekrümmte, lokal orthogonale Koordinatensystem differenziell ineinander übergeführt werden.

Sei nach

x = x(q1,q2,q3) y = y(q1,q2,q3) z = z(q1,q2,q3) (D.1)
q1 = q1(x,y,z) q2 q2(x,y,z) q3 = q3(x,y,z) (D.2)

Infinitesimale Verschiebungen führen nach [AW95, p. 100] (D.1) zu

dx = ∂x--
∂q1dq1 + ∂x--
∂q2dq2 + ∂x--
∂q3dq3 (D.3)
dy = ∂y
----
∂q1dq1 + ∂y
----
∂q2dq2 + ∂y
----
∂q3dq3 (D.4)
dz = ∂z--
∂q
  1dq1 + ∂z--
∂q
  2dq2 + ∂z--
∂q
  3dq3 (D.5)

Ausgehend vom infinitesimalen Abstand bei kartesischen Koordinaten ds2 = dx2 + dy2 + dz2 postuliert man

                                                    (               ) (    )
                                    (             )   g1,1  g1,2 g1,3    dq1
  2   ∑3 ∑3                T         dq1  dq2  dq3  || g2,1  g2,2 g2,3|| || dq2||
ds  =       gi,jdq1dqj = dq  Gdq  =                  |( g3,1  g3,2 g3,3|) |( dq3|)
      i=1j=1
(D.6)

Andererseits erhält man aus den quadrierten Gleichungen (D.3) bis (D.5)

 ds2 = dx2 + dy2 + dz2
  (                          )2  (                          )2   (                          )2
    ∂x--     ∂x--      ∂x--        ∂y--     -∂y-      ∂y--        -∂z-      ∂z--     -∂z-
=   ∂q dq1 + ∂q  dq2 + ∂q dq3  +   ∂q dq1 + ∂q  dq2 + ∂q dq3   +  ∂q  dq1 + ∂q dq2 + ∂q  dq3
      1(    )2 2         3           1         2        3            1        2         3
        -∂x-     2   ∂x--∂x-         ∂x--∂x--
    =   ∂q     dq1 + ∂q ∂q  dq1dq2 + ∂q  ∂q dq1dq3
           1           1(   2)2         1   3
       ∂x--∂x-           ∂x--    2   ∂x--∂x--
    +  ∂q ∂q  dq2dq1 +   ∂q    dq2 + ∂q  ∂q dq2dq3
         2   1             2           2(   3)2
       ∂x--∂x-         ∂x--∂x--          ∂x--    2
    +  ∂q ∂q  dq3dq1 + ∂q  ∂q dq3dq2 +   ∂q    dq3
       ( 3  )12           3   2             3
        -∂y-     2   ∂y--∂y-         ∂y--∂y--
    +   ∂q     dq1 + ∂q ∂q  dq1dq2 + ∂q  ∂q dq1dq3
           1           1(   2)2         1   3
       ∂y--∂y-           ∂y--    2   ∂y--∂y--
    +  ∂q ∂q  dq2dq1 +   ∂q    dq2 + ∂q  ∂q dq2dq3
         2   1             2           2(   3)2
       ∂y--∂y-         ∂y--∂y--          ∂y--    2
    +  ∂q ∂q  dq3dq1 + ∂q  ∂q dq3dq2 +   ∂q    dq3
       ( 3  )12           3   2             3
        -∂z-     2   ∂z--∂z-         ∂z--∂z--
    +   ∂q     dq1 + ∂q ∂q  dq1dq2 + ∂q  ∂q dq1dq3
           1           1(   2)2         1   3
       ∂z--∂z-           ∂z--    2   ∂z--∂z--
    +  ∂q ∂q  dq2dq1 +   ∂q    dq2 + ∂q  ∂q dq2dq3
         2   1             2           2(   3)2
       ∂z--∂z-         ∂z--∂z--          ∂z--    2
    +  ∂q ∂q  dq3dq1 + ∂q  ∂q dq3dq2 +   ∂q    dq3
         3   1     (    (3  )2             3        )
                     ∑3  ∂xℓ 2  ∑3 ∂xℓ∂xℓ   3∑  ∂xℓ-∂xℓ-
                   || ℓ=1  ∂q1    ℓ=1∂q1∂q2  ℓ=1 ∂q1 ∂q3||  (dq  )
  (              ) || ∑3 ∂xℓ∂xℓ  ∑3 (∂xℓ)2   3∑  ∂xℓ-∂xℓ||  |   1|
=   dq1  dq2  dq3  || ℓ=1 ∂q2∂q1  ℓ=1 ∂q2    ℓ=1 ∂q2 ∂q3||  ||dq2 ||
                   || ∑3 ∂xℓ∂xℓ  ∑3 ∂xℓ∂xℓ  ∑3 ( ∂xℓ)2||  (dq3 )
                   |(    ∂q3∂q1     ∂q2∂q2       ∂q3- |)
                     ℓ=1         ℓ=1        ℓ=1
(D.7)

wobei x1∧=x, x2∧=y und x3∧=z. Die Matrix

     ( 3  (   )2   3          3       )
       ∑   ∂xℓ    ∑  ∂xℓ∂xℓ  ∑  ∂xℓ∂xℓ
     ||ℓ=1  ∂q1    ℓ=1 ∂(q1∂q)2  ℓ=1∂q1∂q3||
     || ∑3 ∂xℓ∂xℓ  ∑3  ∂xℓ 2  ∑3 ∂xℓ∂xℓ||
G =  || ℓ=1 ∂q2∂q1  ℓ=1  ∂q2    ℓ=1∂q2∂q3||
     || ∑3 ∂xℓ∂xℓ  ∑3 ∂xℓ∂xℓ  ∑3 (∂xℓ)2||
     |( ℓ=1 ∂q3∂q1  ℓ=1 ∂q2∂q2  ℓ=1 ∂q3  |)
(D.8)

heisst Metrik. Beil lokal orthogonalen Koordinatensystemen ist

gi,j = 0 für i ⇔ j
(D.9)

und

               {
ei·ej =  δi,j =   1,  i = j;
                 0,  sonst.
(D.10)

Mit der Definition

 2
hi = gi,i für i ∈ {1,2,3}
(D.11)

erhalten wir

                               ∑3
ds2 =  h21dq21 + h22dq22 + h23dq23 =    h2idq2i
                               i=1
(D.12)

Die hi sind Skalenfaktoren, die die gekrümmten Koordinaten dqi in Wegelemente dsi umrechnen:

dsi = hidqi
(D.13)

Weiter haben wir für eine infinitesimale vektorielle Verschiebung

                                    ∑3
dr = h1dq1e1 +  h2dq2e2 + h3dq3e3 =    hidqiei
                                    i=1
(D.14)

Weitere Beziehungen sind

V·dr = i=13 V ihidqi (D.15)
Linienintegral
dai,j = dsidsj = hihjdqidqj (D.16)
Flächenelement
dV = ds1ds2ds3 = h1h2h3dq1dq2dq3 (D.17)
Volumentelement
da = ds2ds3e1 + ds3ds1e2 + ds1ds2e3
= h2h3dq2dq3e1 + h3h1dq3dq1e2 + h1h2dq1dq2e2 (D.18)
vektorielles Oberflächenelement
V·da = V 1h2h3dq2dq3 + V 2h3h1dq3dq1 + V 3h1h2dq1dq2 (D.19)
Oberflächenintegral

Bemerkung: Skalar- und Vektorprodukt haben in diesen gekrümmten Koordinaten die gleiche Form wie im kartesischen Koordinatensystem.

D.6.2.1. Beispiel

Wir betrachten das Koordinatensystem

u = xy v = x2 - y2 z = z, (D.20)

das in der Elektrostatik und Hydrodynamik angewandt wird. Wir sollten gemäss unserem Rezept x, y und z mit u, v und z ausdrücken. Es gibt vier Möglichkeiten, wir verwenden als Beispiel die erste.

x =  ∘ √--------------
-----4u2√-+-v2-+-v
         2 (D.21)
y =   √--2--2  3∕2   √ -- ∘ √--------------
 (-4u-+√v+v-)---    2v     4u2 + v2 + v
-------2------------------------------
                  2u (D.22)
z = z (D.23)

Die Skalenfaktoren sind dann mit (D.11), also hi = ∂xℓ
∂qi

hu =     1
4√---2----2-
  4u  + v (D.24)
hv = -√---1------
2 44u2 + v2 (D.25)
hz = 1 (D.26)

Die Transformation zwischen den Koordinatensystemen läuft auf eine allgemeine Drehung der Koordinaten im Raum hinaus.

D.6.3  Vom kartesischen ins sphärische System

V r = V x sin θ cos ϕ + V y sin θ sin ϕ + V z cos θ (D.27)
V θ = V x cos θ cos ϕ + V y cos θ sin ϕ - V z sin θ (D.28)
V ϕ = -V x sin ϕ + V y cos ϕ (D.29)

D.6.4  Vom sphärischen ins kartesische System

V x = V r sin θ cos ϕ + V θ cos θ cos ϕ - V ϕ sin ϕ (D.30)
V y = V r sin θ sin ϕ + V θ cos θ sin ϕ + V ϕ cos ϕ (D.31)
V z = V r cos θ - V θ sin θ (D.32)

D.6.5  Vom kartesischen ins zylindrische System

V ϱ = V x cos ϕ + V y sin ϕ (D.33)
V ϕ = -V x sin ϕ + V y cos ϕ (D.34)
V z = V z (D.35)

D.6.6  Vom zylindrischen ins kartesische System

PIC

Umrechnung der Koordinaten

V x = V ϱ cos ϕ - V ϕ sin ϕ (D.36)
V y = V ϱ sin ϕ + V ϕ cos ϕ (D.37)
V z = V z (D.38)

D.6.7  Vom sphärischen ins zylindrische System

V ϱ = V r sin θ + V θ cos θ (D.39)
V ϕ = V ϕ (D.40)
V z = V r cos θ - V θ sin θ (D.41)

D.6.8  Vom zylindrischen ins sphärische System

V r = V ϱ sin θ + V z cos θ (D.42)
V θ = V ϱ cos θ - V z sin θ (D.43)
V ϕ = V ϕ (D.44)



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2015 Ulm University, Othmar Marti, PIC  Lizenzinformationen