©2005-2015 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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D.8  Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten

Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten

PIC

Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem

Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y und z, andererseits die Kugelkoordinaten r, ϕ, und θ. Am Punkt P definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System ex, ey und ez und im mitgeführten kartesischen System er, eϕ und eθ.

PIC

Betrachtung in der xy-Ebene für eϕ

Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf diese Ebene nennen wir ϱ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)

eϕ = - sin(ϕ)ex + cos(ϕ)ey (D.1)
ϱ = cos(ϕ)ex + sin(ϕ)ey (D.2)

PIC

Betrachtung in der ϱz-Ebene zur Bestimmung von er und eθ

Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren ϱ und ez. In dieser Darstellung ist er radial und eθ zeigt in die Richtung der positiven θ-Koordinate. Dadurch ist auch er, eθ und eϕ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man

er = cos(θ)ez + sin(θ)ϱ (D.3)
= cos(θ)ez + sin(θ)(cos(ϕ)ex + sin (ϕ)ey)
= sin(θ) cos(ϕ)ex + sin(θ) sin(ϕ)ey + cos(θ)ez
eθ = - sin(θ)ez + cos(θ)ϱ (D.4)
= - sin(θ)ez + cos(θ)(cos(ϕ)ex + sin(ϕ)ey)
= cos(θ) cos(ϕ)ex + cos(θ) sin(ϕ)ey - sin(θ)ez

Dabei merken wir uns, dass θ und ϕ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir

er = sin(θ) cos(ϕ)ex + sin(θ) sin(ϕ)ey + cos(θ)ez (D.5)
eθ = cos(θ) cos(ϕ)ex + cos(θ) sin(ϕ)ey - sin(θ)ez (D.6)
eϕ = - sin(ϕ)ex + cos(ϕ)ey (D.7)

Wir wissen, dass ex, ey und ez ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere 1 = ex·ex = ey·ey = ez·ez und 0 = ex·ey = ey·ezx = ez·ex. Wenn wir mit diesem Wissen er·er, eθ·eθ und eϕ·e sowie er·eθ, eθ·eϕ und eϕ·er berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem er, eθ und eϕ ein orthogonales Koordinatensystem ist.

Wenn wir dieses Gleichungssystem nach ex, ey und ez auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen

ex = sin(θ) cos(ϕ)er + cos(θ) cos(ϕ)eθ - sin(ϕ)eϕ (D.8)
ey = sin(θ) sin(ϕ)er + cos(θ) sin(ϕ)eθ + cos(ϕ)eϕ (D.9)
ez = cos(θ)er - sin(θ)eθ (D.10)

Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.

D.8.1  Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

     (x )
r =  |y | = xe  +  ye +  ze
     (  )      x     y     z
      z
(D.11)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

           ( dx)    ( ˙x)
     dr-   | ddty|    |  |
v =  dt =  ( ddtz) =  ( ˙y) =  ˙xex + ˙yey + z˙ez
             dt       ˙z
(D.12)

Wir verwenden die Beziehungen

x = r sin(θ) cos(ϕ) (D.13)
y = r sin(θ) sin(ϕ) (D.14)
z = r cos(θ) (D.15)

und leiten sie ab. Wir erhalten

= sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ) ˙
θ - r sin(θ) sin(ϕ) ˙
ϕ (D.16)
= sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ)˙θ + r sin(θ) cos(ϕ)ϕ˙ (D.17)
ż = cos(θ) - r sin(θ)θ˙ (D.18)

Wir setzen in die Gleichung D.12 die Gleichungen D.8, D.9, D.10, D.16, D.17 und D.18 ein und ordnen nach er, eθ und eϕ.

v = ex + ey + żez (D.19)
= [sin(θ)cos(ϕ)er + cos(θ)cos(ϕ)e θ - sin(ϕ)eϕ]
+ [sin (θ )sin (ϕ )er + cos(θ) sin (ϕ )eθ + cos(ϕ )eϕ]
+ ż[cos(θ)er - sin(θ)eθ]
= [˙xsin(θ)cos(ϕ ) + y˙sin (θ )sin (ϕ ) + z˙cos(θ)] er
+ [˙xcos(θ)cos(ϕ ) + y˙cos(θ)sin(ϕ) - ˙zsin(θ)] eθ
+ [-x˙sin (ϕ) + ˙ycos(ϕ)] eϕ

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, eθ und eϕ getrennt. Wir beginnen mit er.

vr = sin(θ) cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ) + ż cos(θ) (D.20)
= [                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ ) + r cos(θ)cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ)ϕ˙ sin(θ) cos(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ)sin(ϕ)θ˙+ r sin(θ) cos(ϕ ) ˙ϕ sin(θ) sin(ϕ)
+ [                  ]
 ˙rcos(θ) - rsin(θ)˙θ cos(θ)
= [sin (θ)cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ) + cos(θ)cos(θ)]
+ rθ˙[cos(θ )cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ) sin(θ)sin(ϕ) - sin(θ)cos(θ)]
+ rϕ˙[- sin (θ)sin (ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + sin (θ)cos(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)]
= [                                        ]
 sin2(θ)cos2(ϕ) + sin2(θ) sin2(ϕ ) + cos2(θ)
+ rθ˙[         2                     2                       ]
 cos(θ)cos (ϕ)sin(θ) + cos(θ)sin (ϕ)sin(θ) - sin(θ) cos(θ)
+ r ˙
ϕ[     2                     2               ]
 - sin (θ)sin(ϕ)cos(ϕ ) + sin (θ)sin(ϕ)cos(ϕ)
= [   2   (   2         2   )      2  ]
 sin (θ) cos (ϕ) + sin  (ϕ ) +  cos(θ)
+ rθ˙[            [                ]               ]
 cos(θ)sin(θ) cos2(ϕ) + sin2(ϕ ) - sin(θ)cos(θ)
= [                ]
 sin2(θ) + cos2(θ) + r˙θ[cos(θ)sin(θ) - sin(θ) cos(θ)]
=

Wir fahren mit eθ weiter.

vθ = cos(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sin(ϕ) -ż sin(θ) (D.21)
= [                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ ) + r cos(θ)cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ)ϕ˙ cos(θ) cos(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ)sin(ϕ)θ˙+ r sin(θ) cos(ϕ ) ˙ϕ cos(θ) sin(ϕ)
-[                  ]
 ˙rcos(θ) - rsin(θ)˙θ sin(θ)
= [sin (θ)cos(ϕ)cos(θ) cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ) cos(θ)sin (ϕ ) - cos(θ) sin(θ)]
+ r˙θ[cos(θ)cos(ϕ)cos(θ) cos(ϕ ) + cos(θ) sin(ϕ )cos(θ)sin (ϕ) + sin(θ) sin(θ)]
+ r˙ϕ[- rsin(θ)sin(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)cos(ϕ) cos(θ)sin (ϕ)]
= [                                                        ]
 sin(θ)cos(θ)cos2(ϕ ) + sin(θ)cos(θ)sin2(ϕ) - cos(θ)sin(θ)
+ r˙θ[   2      2         2      2        2   ]
 cos (θ)cos (ϕ) + cos (θ)sin  (ϕ ) + sin (θ)
+ r˙
ϕ[- rsin(θ)sin(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ) cos(θ) cos(ϕ)]
= [sin (θ)cos(θ) - cos(θ )sin (θ )]
+ r˙
θ[   2        2   ]
 cos (θ) + sin (θ)
= r˙θ

Wir schliessen mit eϕ.

vϕ = - sin(ϕ) + cos(ϕ) (D.22)
= -[                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ ) + r cos(θ )cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ)ϕ˙ sin(ϕ)
+ [                              ˙                ˙]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ) sin(ϕ )θ + r sin(θ) cos(ϕ)ϕ cos(ϕ)
= [- sin(θ)cos(ϕ) sin(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ)cos(ϕ )]
+ r˙
θ[- cos(θ)cos(ϕ) sin(ϕ ) + cos(θ)sin(ϕ) cos(ϕ )]
+ r˙ϕ[sin(θ)sin(ϕ)sin(ϕ) + sin (θ )cos(ϕ)cos(ϕ)]
= r˙
ϕ[        2               2   ]
 sin(θ) sin (ϕ) + sin (θ)cos (ϕ)
= r sin(θ)˙ϕ

Zusammenfassend haben wir

v = vrer + vθeθ + vϕeϕ (D.23)
= er + r˙θeθ + r sin(θ)˙ϕeϕ

D.8.2  Beschleunigung

Die Beschleunigung ist in kartesischen Koordinaten

           (    )
             d2x2     ( ¨x)
    d2r-   || ddt2y||    |  |
a = dt2 =  ( dt22) =  ( ¨y) =  ¨xex + ¨yey + ¨zez
             ddtz2       ¨z
(D.24)

Wir verwenden die Beziehungen

x = r sin(θ) cos(ϕ) (D.25)
y = r sin(θ) sin(ϕ) (D.26)
z = r cos(θ) (D.27)

und leiten sie zweimal ab. Wir erhalten aus

= sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ)θ˙ - r sin(θ) sin(ϕ)ϕ˙
= sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ)˙
θ + r sin(θ) cos(ϕ) ˙
ϕ
ż = cos(θ) - r sin(θ)θ˙

die Gleichungen

=¨rsin(θ) cos(ϕ) + cos(θ) cos(ϕ) ˙
θ - sin(θ) sin(ϕ) ˙
ϕ (D.28)
+ cos(θ) cos(ϕ)˙θ - r sin(θ) cos(ϕ)˙θ2 - r cos(θ) sin(ϕ)ϕ˙˙θ + r cos(θ) cos(ϕ)¨θ
- sin(θ) sin(ϕ)ϕ˙ - r cos(θ) sin(ϕ)˙ϕθ˙ - r sin(θ) cos(ϕ)ϕ˙2 - r sin(θ) sin(ϕ)¨ϕ
= ¨rsin(θ) cos(ϕ)
+ ˙θ[cos(θ)cos(ϕ) + cos(θ)cos(ϕ )]
+ ˙ϕ[- sin(θ)sin(ϕ) - sin(θ)sin(ϕ)]
+ r˙
θ2[- sin (θ)cos(ϕ)]
+ r˙ϕ˙θ[- cos(θ) sin(ϕ ) - cos(θ)sin(ϕ)]
+ r¨
θ [cos(θ)cos(ϕ)]
+ r˙ϕ2[- sin(θ)cos(ϕ)]
+ r¨
ϕ [- sin(θ)sin(ϕ)]
= ¨rsin(θ) cos(ϕ) + 2˙θ cos(θ) cos(ϕ) - 2˙ϕ sin(θ) sin(ϕ) - r˙θ2 sin(θ) cos(ϕ)
- 2r˙ϕθ˙ cos(θ) sin(ϕ) + r¨θcos(θ) cos(ϕ) - rϕ˙2 sin(θ) cos(ϕ) - r¨ϕsin(θ) sin(ϕ)

und

ý =¨rsin(θ) sin(ϕ) + cos(θ) sin(ϕ)˙
θ + sin(θ) cos(ϕ) ˙
ϕ (D.29)
+ cos(θ) sin(ϕ)θ˙ - r sin(θ) sin(ϕ)˙θ2 + r cos(θ) cos(ϕ)˙θϕ˙ + r cos(θ) sin(ϕ)¨θ
+ sin(θ) cos(ϕ)ϕ˙ + r cos(θ) cos(ϕ)θ˙ϕ˙ - r sin(θ) sin(ϕ)˙ϕ2 + r sin(θ) cos(ϕ)¨ϕ
= ¨rsin(θ) sin(ϕ)
+ ˙θ[cos(θ)sin(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ)]
+ ˙ϕ[sin(θ)cos(ϕ) + sin(θ)cos(ϕ)]
- r˙
θ2 sin(θ) sin(ϕ)
+ r˙θ ˙ϕ[cos(θ)cos(ϕ ) + cos(θ)cos(ϕ )]
+ r cos(θ) sin(ϕ)¨
θ
- r˙ϕ2 sin(θ) sin(ϕ)
+ r sin(θ) cos(ϕ)¨
ϕ
= ¨rsin(θ) sin(ϕ) + 2θ˙ cos(θ) sin(ϕ) + 2ϕ˙ sin(θ) cos(ϕ) - r˙θ2 sin(θ) sin(ϕ)
+ 2r˙θ ˙ϕ cos(θ) cos(ϕ) + r¨θcos(θ) sin(ϕ) - rϕ˙2 sin(θ) sin(ϕ) + rϕ¨sin(θ) cos(ϕ)

sowie

¨z = ¨rcos(θ) - sin(θ) ˙
θ (D.30)
- sin(θ)˙θ - r cos(θ)θ˙2 - r sin(θ)¨θ
= ¨rcos(θ) - 2 sin(θ) ˙
θ - r cos(θ)˙
θ - r sin(θ) ¨
θ

Wir setzen in die Gleichung D.24 die Gleichungen D.8, D.9, D.10, D.28, D.29 und D.30 ein und ordnen nach er, eθ und eϕ.

a = ex + ýey + ¨z ez (D.31)
= [sin(θ)cos(ϕ)er + cos(θ)cos(ϕ)e θ - sin(ϕ)eϕ]
+ ý[sin (θ )sin (ϕ )er + cos(θ) sin (ϕ )eθ + cos(ϕ )eϕ]
+ ¨z [cos(θ)er - sin(θ)eθ]
= [¨xsin(θ)cos(ϕ ) + ¨y sin (θ )sin (ϕ ) + z¨cos(θ)] er
+ [¨xcos(θ)cos(ϕ ) + ¨y cos(θ)sin(ϕ) - ¨zsin(θ)] eθ
+ [- ¨x sin (ϕ) + ¨ycos(ϕ)] eϕ

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, eθ und eϕ getrennt. Wir beginnen mit er.

ar = sin(θ) cos(ϕ) + ý sin(θ) sin(ϕ) + ¨zcos(θ) (D.32)
= [
 ¨rsin(θ)cos(ϕ ) + 2r˙θ˙cos(θ)cos(ϕ) - 2˙rϕ˙sin (θ )sin (ϕ ) - r ˙θ2sin (θ)cos(ϕ)
- 2r˙ϕ˙θ cos(θ) sin(ϕ) + rθ¨cos(θ) cos(ϕ) (D.33)
    ˙2                 ¨            ]
- rϕ  sin(θ) cos(ϕ) - rϕsin(θ)sin(ϕ) sin(θ) cos(ϕ)
+ [                  ˙                  ˙
 ¨rsin(θ)sin(ϕ) + 2˙rθcos(θ) sin(ϕ ) + 2r˙ϕ sin(θ)cos(ϕ)
- r˙θ2 sin(θ) sin(ϕ) + 2r˙θ ˙ϕ cos(θ) cos(ϕ)
                      2                             ]
+r cos(θ) sin(ϕ )¨θ - rϕ˙ sin(θ)sin(ϕ) + r¨ϕsin(θ)cos(ϕ ) sin(θ) sin(ϕ)
+ [            ˙          ˙2          ¨      ]
 ¨rcos(θ) - 2˙rθsin(θ) - rθ cos(θ) - rθ sin(θ) cos(θ)
= ¨r [sin (θ) cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + sin (θ)sin (ϕ)sin(θ)sin(ϕ) + cos(θ)cos(θ)]
+ 2˙
θ[cos(θ)cos(ϕ) sin(θ) cos(ϕ ) + cos(θ) sin(ϕ )sin (θ )sin (ϕ ) - sin(θ)cos(θ)]
+ 2˙ϕ[- sin(θ)sin(ϕ) sin(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)cos(ϕ) sin (θ) sin(ϕ )]
+ r ˙
θ2[- sin(θ) cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ) - sin (θ)sin (ϕ)sin(θ)sin(ϕ) - cos(θ)cos(θ)]
+ 2r˙θ ˙ϕ[- cos(θ)sin(ϕ) sin(θ) cos(ϕ) + cos(θ) cos(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)]
+ r ¨
θ [cos(θ )cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ) sin(θ) sin(ϕ) - sin(θ)cos(θ)]
+ rϕ˙2[- sin (θ)cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ ) - sin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)]
+ r ¨
ϕ [- sin(θ)sin (ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + sin (θ)cos(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)]
= ¨r [                                        ]
 sin2(θ)cos2(ϕ) + sin2(θ) sin2(ϕ) + cos2(θ)
+ 2˙θ[                                                        ]
 cos(θ)sin(θ)cos2(ϕ ) + cos(θ)sin(θ)sin2(ϕ) - sin (θ )cos(θ)
+ 2˙
ϕ[    2                     2                ]
-  sin (θ)sin(ϕ) cos(ϕ) + sin (θ)cos(ϕ )sin (ϕ )
+ r ˙
θ2[     2      2        2      2         2   ]
 - sin  (θ )cos (ϕ) - sin (θ)sin (ϕ) - cos (θ)
+ rθ¨ [                                                       ]
 cos(θ)sin(θ)cos2(ϕ) + cos(θ)sin(θ)sin2(ϕ) - sin(θ) cos(θ )
+ rϕ˙2[                                ]
 - sin2(θ)cos2(ϕ) - sin2(θ) sin2(ϕ )
+ rϕ¨ [                                           ]
 - sin2(θ)sin(ϕ)cos(ϕ ) + sin2(θ)cos(ϕ) sin(ϕ)
= ¨r [                ]
 sin2(θ) + cos2(θ)
+ 2˙
θ[cos(θ)sin(θ) - sin(θ) cos(θ )]
+ rθ˙2[                  ]
 - sin2 (θ ) - cos2(θ)
+ rθ¨ [cos(θ )sin (θ ) - sin(θ)cos(θ)]
+ r ˙
ϕ2[     2   ]
 - sin (θ)
= ¨r- r˙θ2 - r sin 2(θ)˙ϕ2

und

aθ = cos(θ) cos(ϕ) + ý cos(θ) sin(ϕ) -¨zsin(θ) (D.34)
= [
 ¨rsin(θ)cos(ϕ ) + 2r˙θ˙cos(θ)cos(ϕ) - 2˙rϕ˙sin (θ)sin (ϕ ) - r ˙θ2sin (θ)cos(ϕ)
                                                                         ]
- 2rϕ˙˙θcos(θ)sin(ϕ) + r¨θcos(θ) cos(ϕ) - r ˙ϕ2sin(θ)cos(ϕ) - r¨ϕ sin (θ )sin (ϕ ) cos(θ) cos(ϕ)
+ [
 ¨rsin(θ)sin(ϕ) + 2˙r˙θcos(θ) sin(ϕ ) + 2r˙ϕ˙sin(θ)cos(ϕ) - r˙θ2sin(θ)sin(ϕ)
                                          2                              ]
+2r θ˙ϕ˙cos(θ)cos(ϕ) + r¨θ cos(θ)sin (ϕ ) - r ˙ϕ sin(θ)sin(ϕ) + r¨ϕ sin(θ)cos(ϕ ) cos(θ) sin(ϕ)
-[            ˙          ˙          ¨      ]
 ¨rcos(θ) - 2˙rθ sin(θ) - rθcos(θ) - rθ sin(θ) sin(θ)
= ¨r [sin (θ )cos(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ)cos(θ) sin(ϕ ) - cos(θ) sin(θ)]
+ 2˙
θ[cos(θ)cos(ϕ) cos(θ )cos(ϕ) + cos(θ)sin (ϕ)cos(θ)sin(ϕ) + sin (θ)sin (θ)]
+ 2˙ϕ[- sin(θ)sin(ϕ) cos(θ )cos(ϕ) + sin(θ) cos(ϕ )cos(θ)sin(ϕ)]
+ r˙
θ2[- sin(θ) cos(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) - sin(θ)sin(ϕ)cos(θ) sin(ϕ ) + cos(θ)sin(θ)]
+ 2r˙ϕ˙θ[- cos(θ)sin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ) + cos(θ)cos(ϕ)cos(θ) sin(ϕ )]
+ r¨
θ [cos(θ)cos(ϕ)cos(θ) cos(ϕ ) + cos(θ) sin(ϕ )cos(θ)sin(ϕ) + sin(θ) sin(θ)]
+ r˙ϕ2[- sin (θ)cos(ϕ)cos(θ) cos(ϕ ) - sin(θ)sin(ϕ) cos(θ )sin (ϕ )]
+ r¨ϕ [- sin(θ)sin(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)cos(ϕ) cos(θ)sin (ϕ)]
= ¨r [                                                        ]
 sin(θ)cos(θ)cos2(ϕ) + sin (θ)cos(θ)sin2(ϕ) - cos(θ)sin (θ)
+ 2˙θ[   2      2         2      2        2   ]
 cos (θ)cos (ϕ) + cos (θ)sin (ϕ) + sin (θ)
+ r˙
θ2[                 2                     2                 ]
 - sin (θ)cos(θ)cos (ϕ) - sin (θ)cos(θ)sin (ϕ) + cos(θ)sin (θ )
+ r¨
θ [   2      2         2      2        2   ]
 cos (θ)cos (ϕ) + cos (θ)sin  (ϕ ) + sin (θ)
+ r˙ϕ2[                                           ]
 - sin(θ)cos(θ)cos2(ϕ) - sin(θ)cos(θ)sin2(ϕ)
= ¨r [sin (θ )cos(θ) - cos(θ) sin(θ)]
+ 2˙
θ[   2        2   ]
 cos (θ) + sin (θ)
+ r˙θ2[- sin(θ) cos(θ) + cos(θ) sin(θ)]
+ r¨θ [   2        2   ]
 cos (θ) + sin (θ)
- r˙
ϕ2[sin (θ )cos(θ)]
= 2θ˙ + r¨θ- r sin(θ) cos(θ)ϕ˙2

und schliesslich

aϕ = - sin(ϕ) + ý cos(ϕ) (D.35)
= -[
 ¨rsin(θ)cos(ϕ ) + 2r˙θ˙cos(θ)cos(ϕ) - 2˙rϕ˙sin (θ )sin (ϕ ) - r ˙θ2sin (θ)cos(ϕ)
                                                                         ]
- 2rϕ˙˙θcos(θ)sin(ϕ) + r¨θ cos(θ )cos(ϕ) - r ˙ϕ2sin(θ)cos(ϕ ) - rϕ¨sin (θ)sin (ϕ) sin(ϕ)
+ [
 ¨rsin(θ)sin(ϕ) + 2˙rθ˙cos(θ )sin (ϕ ) + 2 ˙r ˙ϕsin(θ)cos(ϕ) - rθ˙2 sin(θ) sin(ϕ )
                                          2                              ]
+2r θ˙˙ϕcos(θ)cos(ϕ ) + rθ¨cos(θ)sin(ϕ) - r ˙ϕ sin(θ)sin(ϕ) + r¨ϕ sin(θ) cos(ϕ) cos(ϕ)
= ¨r [- sin(θ)cos(ϕ) sin(ϕ) + sin(θ)sin(ϕ)cos(ϕ)]
+ 2˙θ[- cos(θ) cos(ϕ )sin (ϕ) + cos(θ )sin (ϕ )cos(ϕ)]
+ 2ϕ˙[sin(θ)sin(ϕ) sin(ϕ) + sin(θ)cos(ϕ) cos(ϕ )]
+ r˙θ2[sin(θ) cos(ϕ)sin(ϕ) - sin (θ) sin (ϕ )cos(ϕ)]
+ 2r˙ϕθ˙[cos(θ)sin(ϕ) sin(ϕ ) + cos(θ)cos(ϕ )cos(ϕ)]
+ r¨
θ [- cos(θ)cos(ϕ) sin(ϕ ) + cos(θ)sin(ϕ) cos(ϕ)]
+ r˙ϕ2[sin (θ)cos(ϕ)sin(ϕ) - sin (θ)sin (ϕ)cos(ϕ)]
+ r¨
ϕ [sin(θ)sin(ϕ)sin(ϕ) + sin (θ )cos(ϕ)cos(ϕ)]
= + 2ϕ˙[                            ]
 sin(θ) sin2(ϕ) + sin(θ)cos2(ϕ)
+ 2r˙ϕθ˙[                            ]
 cos(θ) sin2(ϕ ) + cos(θ)cos2(ϕ )
+ r¨ϕ [         2               2   ]
 sin(θ)sin (ϕ) + sin (θ) cos (ϕ)
= + 2 ˙
ϕ sin(θ) + 2r ˙
ϕ˙
θ cos(θ) + r¨
ϕsin(θ)
= [         ]
 r¨ϕ + 2r˙ϕ˙ sin(θ) + 2r˙ϕ˙θ cos(θ)

Zusammenfassend haben wir

a = arer + aθeθ + aϕeϕ (D.36)
= [     ˙2       2   ˙2]
 ¨r - rθ -  rsin (θ)ϕer
+ [                          ]
 2˙r˙θ + r¨θ - rsin(θ)cos(θ) ˙ϕ2eθ
+ [(        )                    ]
  r¨ϕ + 2˙rϕ˙ sin (θ) + 2r ˙ϕ˙θcos(θ)eϕ

D.8.2.1. Interpretation

Wir teilen die Beschleunigung in drei Komponenten auf

a  = ap + az + ac
(D.37)

Dies ist in der angegebenen Reihenfolge die Parallelbeschleunigung, die den Betrag der Geschwindigkeit erhöht, die Zentripetalbeschleunigung und die Coriolis-Beschleunigung.

Im Einzelnen haben wir

ap = ¨r er + r¨
θ eθ + r sin(θ)¨
ϕ eϕ (D.38)
az = -r[             ]
 ˙θ2 + sin2(θ)ϕ˙2er - r sin(θ) cos(θ)˙ϕ2e θ (D.39)
ac = 2˙θeθ + 2[                   ]
 r˙sin (θ ) + rθ˙cos(θ)˙ϕeϕ (D.40)



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