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2.1  Avogadro-Zahl

(Siehe Haken, Wolf, Atom-und Quantenphysik [HW04, pp. 7-10])

Wenn ein Kristall immer weiter mit mechanischen Methoden zerkleinert wird, so scheint dies ein kontinuierlicher Prozess zu sein.

PIC Versuch zur Vorlesung: Kristall-Zerkleinerung

Warum muss man trotzdem annehmen, dass die Materie aus kleinsten Einheiten aufgebaut ist?

2.1.1  Hinweise auf die Granularität der Materie

Optik
Auch bei extrem klarer Sicht ist der Himmel blau. Da der Weltraum bis auf die Sonne (und sehr viel weniger dominant, Mond und Sterne) dunkel ist, muss das von oben kommende Licht in der hohen Atmosphäre gestreut worden sein. Dies kann nur an Inhomogenitäten der Luft geschehen. Also muss die Luft eine Körnigkeit haben. Wir wissen durch Rayleigh, dass die Streuamplitude proportional zu (r∕λ)4 ist, sofern die streuenden Teilchen sehr viel kleiner sind als die Wellenlänge λ des gestreuten Lichtes. Da der Himmel blau ist, muss also die Längenskala r der Körnigkeit sehr viel kleiner sein als die mittlere Wellenlänge des Sonnenlichts, also
r « ⟨λ⟩ = 500 nm

Die Streuung führt übrigens auch zu einer Polarisation.

Chemie
Bei jeder chemischen Reaktion werden Stoffe immer in gewissen, unabänderlichen Gewichtsverhältnissen umgesetzt. Das heisst, dass die Ursache der Körnigkeit materialspezifisch ist. Weiter findet man, dass Stoffe wie Wasserstoff, Sauerstoff, Kohlenstoff eine Körnigkeit haben, die ein ganzzahliges Vielfaches der Körnigkeit des Wasserstoffs ist.
Brownsche Bewegung
Robert Brown beobachtete die Zitterbewegung einzelner Bärlappsamen. Er schloss daraus, dass diese Bärlappsamen ununterbrochen von einzelnen sehr viel masseärmeren Teilchen gestossen würden. Daraus folgerte er, dass Wasser aus Teilchen bestehen müsse.
Röntgenbeugung
Mit der von Max von Laue erstmals beobachteten Röntgenbeugung durch Max von Laue (Nobelpreis 1914) konnte erstmals gezeigt werden, dass feste Materie aus einzelnen kleinsten Teilchen bestand, deren Abstand aus den Beugungsmustern berechnet werden konnte.

Alle diese Experimente ergaben, dass die Anzahl der Teilchen aus der Molzahl der Chemiker berechnet werden konnte. Der Proportionalitätsfaktor heisst Avogadro-Zahl NA. Sie gibt an, wie viele Teilchen in einem Mol vorhanden sind. In Deutschland wird manchmal auch die Loschmidt-Zahl NL = NA verwendet, sie ist aber im Rest der Welt nicht gebräuchlich. Bei Kenntnis der Boltzmann-Konstante kB kann NA auf verschiedene Weise bestimmt werden:

2.1.2  Bestimmung der Avogadro-Zahl NA

Röntgenbeugung
William Henry Bragg und sein Sohn William Lawrence Bragg (beide Nobelpreis 1915) entwickelten 1913 die Drehkristallmethode und die Bragggleichung, die den Streuwinkel θ mit der Wellenlänge λ und dem Netzebenenabstand a verknüpft.

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Gangunterschied bei der Bragg-Streuung

                      θ
nλ =  2asin α = 2a sin 2, mit n ∈ ℤ
(2.1)

Aus dem Netzebenenabstand kann man das Volumen eines Atoms V A bestimmen. Die Avogadrozahl folgt dann aus

       M---
NA  =  ϱVA
(2.2)

NaCl kristallisiert in einem kubischen Gitter mit dem Netzebenenabstand a, wobei sich in der Einheitszelle jeweils ein positives und ein negatives Ion befinden. Dies ist äquivalent zu dem Würfel in der Abbildung unten mit der halben Kantenlänge a∕2, wobei sich die positiven Na+-Ionen (klein) und die negativen Cl--Ionen abwechseln.

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NaCl-Gitter

Die Ionen an den Ecken sind Teil von 8 Würfeln, so dass in diesem Würfel mit dem Volumen (a∕2)3 netto ein Ion, also ein halbes NaCl liegt. Die Dichte der NaCl ist demnach

    1 (2 )3
n = 2- a-
(2.3)

Mit V mol = NAV A = M∕ϱ bekommen wir aus (2.2) und aus (2.3)

n =  NA---= NA-ϱ-
     Vmol    M
(2.4)

und damit

NA  = n M--= 4M--
        ϱ     a3ϱ
(2.5)

Mit den Daten ϱ = 1987 kgm-3 und M = 0.07455 kgmol sowie a = 629 pm bekommt man

NA  =  6.03·1023  mol -1

Elektrolyse
Wenn die Elementarladung e bekannt ist, kann man aus dem Strom I durch einen Elektrolyten und der abgeschiedenen Masse m die Faraday-Zahl
F =  eNA  = 9.65·104  Cmol -1
(2.6)

bestimmt werden. Damit ist auch die Avogadro-Zahl NA bestimmt.

Gaskonstante und Boltzmann-Konstante
Es gilt die Beziehung
R =  k·NA
(2.7)

Die Gaskonstante R kann aus der Gleichung für ideale Gase abgeleitet werden, zum Beispiel aus pV -Diagrammen.

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pV -Diagramm für ein ideales Gas

Die Boltzmann-Konstante kann aus dem Sedimentationsgleichgewicht bestimmt werden (Jean-Babtiste Perrin[Per09], Nobelpreis 1926). Perrin erhielt für die Höhenverteilung der Teilchenzahl die folgende Gleichung:

             (                )
                 VT-(ϱ --˜ϱ)gh-
n(h) = n0 exp  -     k  T
                      B
(2.8)

Hier ist V T das Volumen eines Teilchens, ϱ die Dichte dieses Teilchens, ϱ˜ die Dichte der umgebenden Flüssigkeit, g der Betrag des Feldvektors der Gravitation an der Erdoberfläche (dem Ort des Experiments) und h die Höhe über der Referenzstelle.



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