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3.2  Strahlungsgesetze

3.2.1  Thermische Strahlung

Wärmestrahlung ist eine Form elektromagnetischer Strahlung. Die Sonne versorgt so die Erde mit der notwendigen Energie. Untersucht wurde die Wärmestrahlung um die Jahrhundertwende 1900 vor allem, weil Stahlwerke gerne die Temperatur ihres flüssigen Eisens wissen wollten, zur Prozesssteuerung.

Aus der Optik wissen wir, dass bei einem Strahlungsfluss Φ auf eine Grenzfläche die folgende Energiebilanz gilt:

Φ  = ΦR  + ΦT + Φa  = aR ·Φ +  aT· Φ + ϵ· Φ
(3.1)

wobei ΦT den transmittierten Fluss, ΦR den reflektierten Fluss und Φa den absorbierten Fluss beschreibt. Wir bezeichnen mit ϵ den Absorptionsgrad. Nimmt man an, dass die Probe dick ist, gibt es keinen transmittierten Fluss und ϵ genügt zur Beschreibung der Wechselwirkung. Da die gesamtenergie erhalten bleibt, gilt aR = 1 - ϵ und damit

Φ  = ΦR +  Φa = (1 - ϵ)Φ + ϵΦ
(3.2)

Der Absorptionskoeffizienten ϵ(ν) hängt von der Frequenz der elektromagnetischen Strahlung ab. Wenn dem nicht so wäre, gäbe es zum Beispiel keine Kaltlichtspiegel bei Halogenlampen.

Wenn man die Ausstrahlung einer perfekten schwarzen Fläche (ϵ = 1, alles einfallende Licht wird perfekt absorbiert) mit Ps beschreibt, ist die Ausstrahlung einer beliebigen Fläche durch

P =  ϵPs
(3.3)

gegeben. Dieses Strahlungsgesetz von Kirchhoff bedeutet, dass die Emissionseigenschaften und die Absorptionseigenschaften zusammenhängen. Gut absorbierende Flächen sind auch gut emittierende Flächen. Wenn dem nicht so wäre, könnte man ein Perpetuum Mobile der zweiten Art herstellen.

Nehmen wir an, eine Fläche mit ϵ1 und der Temperatur T1 strahle die Leistung P1 = ϵ1Ps(T1) auf die zweite Fläche mit der Temperatur T2. Gleichzeitig strahle die zweite Fläche mit ϵ2 die Leistung P2 = ϵ2Ps(T2) auf die erste Fläche. Beide Flächen seien im thermischen Gleichgewicht, das heisst T1 = T2 wenn Ps(T) monoton ist.

Die von der Fläche 1 stammende Leistung P1 wird mit dem Absorptionskoeffizienten ϵ2 absorbiert. Also ist Pabs,2 = P1ϵ2 und umgekehrt. Im thermischen Gleichgewicht folgt aus T1 = T2

ϵ1·P2  = ϵ2·P1.
(3.4)

Dies ist dann der Fall, wenn die aus der Temperatur berechnete Leistung P(T), die auch nur von der Temperatur abhängt, sich mit Pi wie

Pi = ϵi·P (T )
(3.5)

verhält. Nur dann ist die Gleichung (3.4) erfüllt.

PIC Versuch zur Vorlesung: Pyrometermodell (Versuchskarte AT-12)

PIC Versuch zur Vorlesung: Infrarotkamera: Optische Temperaturmessung (Versuchskarte AT-44)

PIC Versuch zur Vorlesung: Wärmestrahlung: Abstandsabhängigkeit bei einer punktförmigen Quelle (Versuchskarte AT-54)

3.2.2  Schwarzkörperstrahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 573])

PIC Versuch zur Vorlesung: Hohlraumstrahler: Absorption und Emission an Rohr mit Loch (Versuchskarte AT-39)

PIC PIC

Links: Schematische Darstellung eines schwarzen Körpers. Rechts: Blick auf den Ofen einer Glasbläserei. Die kleine Öffnung wirkt fast wie ein schwarzer Körper.

Licht, das durch die kleine Öffnung in den Hohlraum des schwarzen Körpers eintritt, wird bei jeder Reflexion an der Oberfläche mit der Wahrscheinlichkeit ϵ absorbiert und mit der Wahrscheinlichkeit 1 - ϵ < 1 reflektiert. Nach n Reflexionen ist die verbleibende Intensität des Lichtstrahls auf (1 - ϵ)n abgesunken, sie wird also beliebig klein. Das heisst, der Absorptionsgrad der Öffnung in diesem Hohlraum ist ϵ = 1. Andererseits addieren sich alle emittierten Strahlen auf, so dass die Emission aus der Öffnung identisch ist mit der Emission eines perfekten Schwarzen Strahlers mit ϵ = 1.


Spektrale Grössen werden hier mit dem Subskript ν
X   = dX--
  ν    dν

bestimmt.


Wir definieren nun eine spektrale Energiedichte ϱ(ν,T). Sie besteht aus dem Produkt aus der Energiedichte ϱ(ν,T) und dem Frequenzband der Breite , das das Intervall (ν,ν + ) beschreibt. Diese Energie ϱ(ν,T)bewegt sich mit der Geschwindigkeit c durch den Raum und zu den Wänden des Hohlraums. Eine ideale schwarze Wand absorbiert diese Energie ϱ(ν,T) und emittiert nach Kirchhoff gleichzeitig Ps,ν(ν,T). Im Gleichgewicht müssen sich die Absorption und die Emission die Balance halten. Wir können also die spezifische Ausstrahlung durch die Energiedichte ϱ ausdrücken1 .

Rs,ν(ν,T) = cϱ(ν,T )
(3.6)

oder, integriert über alle Frequenzen,

          ∫∞
Rs (T) = c   ϱ(ν,T)d ν
           0
(3.7)

Die gemessene spektrale Energiedichte sieht wie in der Abbildung 3.2.2 aus.

PIC

Spektrale Energiedichteverteilung nach Wellenlänge.

Wenn man die Energiedichteverteilung gegen die Frequenz aufträgt, erhält man:

PIC

Spektrale Energiedichteverteilung nach Frequenz.

3.2.2.1. Plancks Strahlungsgesetz

PIC Versuch zur Vorlesung: Plancksches Strahlungsgesetz: Strahlung einer Glühlampe bei verschiedenen Temperaturen (Versuchskarte AT-21)

Im Vorgriff auf das Kommende definieren wir das Plancksches Wirkungsquantum

                   -34
h = 6.62606896 ·10    Js
(3.8)

Die Grösse können sie sich mit der Eselsbrücke: h ~ 2π·10-34 Js merken.

Oftmals wird in der Physik, weil es bequemer ist, mit dem reduzierten Wirkungsquantum gerechnet

ℏ = 1.054571628 ·10 -34 Js
(3.9)

Auch hier gibt es eine Eselsbrücke: = 10-34 Js.

Das Wirkungsquantum ist ein Konzept aus der statistischen Physik, einem Teilgebiet der Thermodynamik.

(Siehe Demtröder, Laserspektroskopie [Dem93, p. 8])

Wir betrachten eine elektromagnetische Welle in einem quaderförmigen Hohlraum. Die Wände des Hohlraumes sollen perfekt leitend sein, das heisst, dass das elektrische Feld auf den Wänden Knotenlinien hat. Der zeit- und ortsabhängige Vektor ihres elektrischen Feldes ist

          ∑
E (r,t) =    Ei exp[i(ωit + ki·r )] + c.c.
           i
(3.10)

Dabei muss ki so gewählt werden, dass die Randbedingungen erfüllt sind.

PIC

Skizze eines Kastens mit zwei stehenden Wellen. Grau eine Welle mit nx = 1, also der grössten möglichen Wellenlänge, rötlich eine Welle mit einer Knotenlinie im Zentrum, also mit ny = 2.

In diesem quaderförmigen Hohlraum (Skizze in Abbildung 3.2.2.1), dessen Quaderseiten entlang den Koordinatenachsen seien, gibt es wegen den Randbedingungen stehende Wellen. Die Wellenzahlen kx, ky und kz sind durch die Ausdehnung in die entsprechende Richtung gegeben. Nur dann wenn eine ganzahlige Anzahl halber Wellenlängen Platz hat, haben wir eine mögliche Welle. Alle Wellen können sowohl in die + wie auch in die --Richtung laufen. Wir haben also

k = (±kx, ±ky, ±kz ) =⇒  2·2 ·2 =  8
(3.11)

mögliche Kombinationen zu einem Tripel (kx,ky,kz). Stehende Wellen erhalten wir nur, wenn die vektoriellen Amplituden der in die + und - Richtung laufenden Wellen gleich sind. Bei einem Würfel mit der Seitenlänge L sind die möglichen Wellenzahlen

k = π-(n  ,n ,n )      n ,n ,n  ∈ ℕ  ∪ {0}
    L    x  y  z        x  y   z
(3.12)

Der Betrag der Wellenzahl k ist

          π ∘ -2----2----2-
k = |k| = L-  nx + ny + nz
(3.13)

Damit gibt es zwischen der Kantenlänge und der Wellenlänge die Beziehung

     λ ∘ -------------
L  = 2-  n2x + n2y + n2z
(3.14)

Wir wollen nur Wellen bis zu einer maximalen Frequenz ν = ω∕(2π) betrachten (nach Einstein: mit begrenzter Energie). Gleichung (3.13) kann mit k = ω∕c umgerechnet werden (Beachte: sowohl |k| als auch ω geben die Energie der Welle an, nur in anderen Einheiten!)

     πc-∘ -2----2----2-
ω =  L    nx + ny + nz
(3.15)

Da elektromagnetische Wellen transversal sind, gibt es zwei Polarisationen entlang den Vektoren e^ 1 und ^e 2 (mit ^e i·k = 0 und ^e 1·^e 2 = 0). Diese beiden Polarisationsvektoren stehen senkrecht zum Wellenvektor (der Ausbreitungsrichtung). Das elektrische Feld der i-ten Mode ist

E  = e  ^e  + e  ^e
  i   i,1 1    i,2 2
(3.16)

Zu jedem einen Wellenvektor beschreibenden Zahlentripel (nx,ny,nz) gibt es zwei Polarisationen. Aus der Linearität der Maxwellgleichungen folgt, dass


Jede beliebige Feldkombination im Hohlraum lässt sich als Linearkombination der Moden mit ihren Modenzahlen nx, ny, nz und den beiden Polarisationen darstellen.

Wir wollen die Anzahl Moden bis zu einer bestimmten oberen Energie bestimmen. Das heisst, dass ω < ωmax oder mit k = ω∕c auch k < kmax sein soll. Die Frage nach der Anzahl Moden ist äquivalent zu:

Wieviele Wellenvektoren passen in eine Kugel mit dem Radius kmax? Aus ωmax > ω = πcL∘ -------------
  n2x + n2y + n2z folgt

Lωmax--  L-ω    ∘ -2----2----2-
  πc   <  πc =    nx + ny + nz
(3.17)

Das heisst, dass n = (nx,ny,nz)T in einer Kugel mit dem Radius R = Lω-
πc liegt. In dieser Kugel bilden die möglichen Wellenvektoren ein kubisches Gitter mit der Gitterkonstante πL- (Abstand zwischen zwei Netzebenen, siehe auch die Festkörperphysik). Die Randeffekte beim Abzählen können vernachlässigt werden, wenn der Abstand der Gitterpunkte viel kleiner als der Radius der Kugel ist, also

L ω
--- »  1 oder 2L »  λ
 πc
(3.18)

ist. Das Volumen einer Kugel ist V = (4π∕3)r3. Da nx,ny,nz {0} ist, verwenden wir nur 18 des Kugelvolumens (Siehe auch (3.11)). Die Anzahl Moden bis zu kmax oder ωmax ist

             1 4π( L ω)3    π (L2 πν )3   8π ν3L3
N (ωmax ) = 2----- ---   =  -- ------   = ----3---=  N (ν)
             8 3   πc       3    πc         3c
(3.19)

wobei die Faktoren die Polarisationen, den Bruchteil des Kugelsegments, und Radius des Kugelsegments darstellen. Die Modendichte erhält man durch Ableiten

dN (ν)      8π       d ν3          8πν2
------d ν = ---·L3 · ----dν = L3 · -----dν
  dν        3c3       dν            c3
(3.20)

Wir erinnern uns, dass wir Moden (stehende Wellen) in einem würfelförmigen Kasten mit perfekt leitenden Wänden (Knoten an den Wänden) betrachten. Das Volumen dieses Kastens ist L3. Analog zur Massendichte ϱMasse(r) = lim ΔV 0Δmin-ΔV(r)
   ΔV = dm(r)-
 dV definieren wir die Modendichte n(ν) = dNin dV (ν)∕dV und erhalten

          8π ν2
n (ν)dν = --c3-dν
(3.21)

Nach Albert Einstein kann die Energie des Lichtes nur diskrete Werte annehmen, E = , und ganzzahlige Vielfache davon. Die Wände unseres Resonators sollen die Temperatur T haben. Das heisst, dass wenn die Eigenschwingungen im thermischen Gleichgewicht mit den Wänden sind, die Statistik der Eigenschwingungen nach Boltzmann auch durch die Temperatur T gegeben sein muss.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Eigenschwingungen mit der Energie W(j) = j·im Gleichgewicht mit Wänden der Temperatur T ist nach Boltzmann und der statistischen Thermodynamik

             (          )
       1-       (j·h-ν-)
p(j) = Z exp  -   k T     .
                   B
(3.22)

Die Grösse Z in dieser Gleichung ist die Zustandssumme

     ∞     (          )
Z = ∑   exp  - (j·h-ν)-
    j=0         kBT
(3.23)

Ab hier betrachten wir alle Moden mit allen möglichen Energien. Mit dieser Definition ist p(j) normiert:

    ∑∞
1 =     p(j)
    j=0

Die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung ergibt sich nun als gewichtete Summe (z.B. wie bei der Berechnung des Trägheitsmomentes bei der Drehung um eine Achse). p(j) ist das Gewicht, gemittelt werden die Energien j·.

                                  [   (          )          ]
      ∑∞                    1 ∑∞          (j·h ν)
¯ϱdν =     ·p (j)(j·h ν )d ν = --     exp  - -------- · (j·h ν) d ν
      j=0                   Z j=0          kBT
(3.24)

Zur Berechnung der Summe verwenden wir dass

∑   i     1         ∑∞   i       b
   b =  -----  und     (ib ) = -------2
i=0     1 - b       i=0       (1 - b)

ist. Nach einer Variablentransformation erhalten wir für unsere Gleichungen (3.24) und (3.23)

j=0[    (          )         ]
 exp  - (j·h-ν-)  ·(j·h ν )
          kBT =  exp (-hν-)·h ν
(----(kBT-)----)-
 exp  -hν-  - 1 2
      kBT (3.25)
j=0 exp (          )
  - (j·h-ν)-
     kBT =       (-hν-)
--exp(--kBT)----
exp  -hν- -  1
     kBT (3.26)

Indem wir Gleichung (3.25) durch (3.26) teilen, also Gleichung (3.24) betrachten, erhalten wir

       ----(-hν-)----
ϱ¯d ν = exp  -hν- -  1dν
            kBT
(3.27)

Die spektrale Strahlungsdichte ϱ(ν,T) bekommen wir, indem die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung mit der Dichte der Eigenschwingungen n(ν) = 8πν2
 c3 multipliziert wird. Wir erhalten das Plancksche Strahlungsgesetz.


Plancksches Strahlungsgesetz
            8π-ν2-----h-ν-----
ϱ(ν,T )dν =   c3 ehν∕(kBT) - 1 dν
(3.28)


Einsteins Quantenhypothese Ausgehend von seinem Verständnis des Fotoeffekts [Ein05] kam Einstein zur folgenden Hypothese:


Quantenhypothese Einsteins
Atome, die die Energie absorbieren, haben eine höhere Energie als Atome im Grundzustand.

Wir verwenden die folgenden Definitionen:

n*
Teilchenzahldichte der angeregten Atome
n0
Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome

Wir nehmen thermisches Gleichgewicht an und verwenden deshalb die Boltzmann-Verteilung zur Berechnung der Teilchenzahldichte der angeregten Atome

 *
n--= e- E∕(kBT )
n0
(3.29)

Albert Einstein nahm an, dass wie in Abbildung 3.2.2.1.1 dargestellt der Energieaustausch zwischen dem Unteren und dem oberen Zustand auf drei Wegen möglich sei. Die Anregung aus dem unteren Zustand in den oberen Zustand (Niveau) geschieht nur, wenn externe Energie absorbiert wird. Der höherenergetischen Zustand kann auf zwei Wegen verlassen werden: erstens zufällig (statistisch) oder induziert, das heisst im Takt mit externen Feldern.

PIC

Schema der möglichen Anregungen und Emissionen in einem Zweiniveau-Atom.

Einstein hatte als Neuerung die induzierte Emission postuliert. Zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Strahlers verwenden wir die Einsteinsche Formulierung mit Quanten. Ursprünglich hatte Planck das Spektrum mit thermodynamischen Methoden berechnet, wobei h das aus der statistischen Physik bekannte Phasenraumvolumen war. Ein Phasenraumelement ist eine Fläche, deren eine Seite eine Länge und deren andere Seite eine Geschwindigkeit ist.

Die Anzahlen der Absorptionen und Emissionen werden wie folgt angegeben:

          Anzahl-Absorptionen--  =  B1 ϱ(ν,T )n0(3.30)
                  m3s
  Anzahl--spontane-Emissionen--        *
               m3s               =  An
Anzahl  induzierter Emissionen
---------------3--------------   =  B2 ϱ(ν,T )n *
              m s

wobei A den Einsteinkoeffizienten den spontanen Emission, B1 den Einsteinkoeffizienten der Absorption und B2 den Einsteinkoeffizienten der induzierten Emission bedeutet.

Von der Einsteinschen Quantenhypothese zum Planckschen Strahlungsgesetz Im Gleichgewicht muss es gleich viele Emissionen wie Absorptionen geben.

                 *             *
B1ϱ(ν,T )n0 = An   + B2ϱ (ν, T)n
(3.31)

Da die induzierte Emission der Umkehrprozess zur Absorption ist, muss

B1  = B2 =  B
(3.32)

sein. Wir können Gleichung (3.31) wie folgt umformen:

B ϱ(ν,T)n0 =  (A  + B ϱ(ν,T)) n* = [A  + B ϱ(ν,T )]n0e -E∕(kBT )
(3.33)

Damit erhalten wir die Energiedichte

           [     -E ∕(kBT)]        -E∕(kBT)
B ϱ(ν,T )n0 1 - e          = An0e

Infinitesimal geschrieben bekommen wir

             A   e-hν∕(kBT )       A       1
ϱ (ν, T)dν =  --------hν∕(kBT-)dν = -- -hν∕(kBT)----dν
             B 1 - e              B  e       -  1
(3.34)

Unbekannt ist nun noch A∕B. Den Koeffizienten berechnet man aus der Modendichte des Hohlraumes

A     8πhν3
-- =  ---3--
B       c
(3.35)

Die Modendichte sagt, wie viele Resonanzen es pro Frequenzintervall gibt. Zusammen bekommen wir analog zu Gleichung (3.28) das Plancksche Strahlungsgesetz:

                        8πν2      hν
ϱ (ν, T)dν = ϱ ν(T )dν =  --3---hν∕(kBT)----dν
                         c   e       -  1
(3.36)

Es ist nun instruktiv, die beiden Grenzfälle für sehr hohe und für sehr niedrige Frequenzen zu betrachten. Für sehr niedrige Frequenzen, im Grenzfall « kBT, gilt

 hν∕(kBT )      -h-ν-
e        ≈ 1 + kBT

Dies ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz.


Rayleigh-Jeans-Gesetz
                           2
ϱ(ν,T )d ν = ϱν(T)dν ≈  8πν--kBT dν
                        c3
(3.37)


Dieses Gesetz war vor Planck bekannt. Es sagt voraus, dass die Energiedichte gegen hohe Frequenzen zunimmt, dass also im Ultravioletten die gesamte unendlich grosse Energie des Universums konzentriert sei. Diese Ultraviolettkathastrophe zeigt, dass das Gesetz nur in Teilbereichen stimmen kann.

Für sehr hohe Frequenzen, also » kBT, gilt

ehν∕(kBT) » 1

Dann kann das Plancksche Strahlungsgesetz durch das Wiensche Strahlungsgesetz angenähert werden


Wiensches Strahlungsgesetz
                             3
ϱ (ν, T)dν =  ϱ (T)dν ≈  8πhν--e-hν∕(kBT )d ν
              ν           c3
(3.38)


Das Wiensche Strahlungsgesetz (siehe Abbildung 3.2.2.1.2) stimmt einigermassen, aber doch nicht so korrekt wie das Plancksche Strahlungsgesetz. Insbesondere ergibt sich aber bei Wien keine Ultraviolettkatastrophe.

PIC

Vergleich der Gesetze von Planck, Wien und Rayleigh-Jeans bei 6000K

Penzias und Wilson fanden Anfang der sechziger Jahre des zwanzigsten Jahrhunderts, dass das Rauschen höchstempfindlicher Antennen, wenn sie nach oben gerichtet waren, die gleiche Spektralverteilung hatte, wie ein schwarzer Strahler bei etwa 2.7 K. Abbildung 3.2.2.1.2 zeigt die kosmische Energiedichteverteilung

PIC

Spektrale Energiedichteverteilung der Hintergrundsstrahlung von 2.735K

3.2.2.2. Wiensches Verschiebungsgesetz

Oftmals möchte man die Frequenz ν wissen, bei der das Emissionsspektrum des schwarzen Strahlers maximal ist. Zur Berechnung des Maximums substituieren wir in Gleichung (3.28)

     -hν--
x =  k  T
      B

und setzen

       h
dx = -----dν
     kBT

Weiter vernachlässigen wir die konstanten Vorfaktoren, die für die Lage des Maximums irrelevant sind. Wir erhalten

             3
˜ϱ(x)dx =  -x----dx
          ex - 1
(3.39)

Durch Ableiten erhalten wir die Lage des Maximums

    dϱ˜(x )      x2       x3ex
0 = ------=  3-x---- - --x-----2
      dx      e  - 1   (e  - 1)

Vereinfacht ergibt sich

0 = 3x2(ex - 1) - x3ex
-------x-----2-----
     (e -  1)
x3ex = 3x2(ex - 1)
ex(3 - x) = 3
ex = --3---
3 - x

Die Lösung dieser transzendenten Gleichung ist

        (    )
          --3
x =  WL    e3  =  2.821439372

wobei WL Lamberts W-Funktion ist. Also kann die Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel (3.28) durch das Wiensche Verschiebungsgesetz angegeben werden.


Wiensches Verschiebungsgesetz
      2.82144k  T
νm  = ---------B--
           h
(3.40)


Die folgende Abbildung 3.2.2.2 zeigt eine graphische Darstellung des Wienschen Verschiebungsgesetzes.

PIC

Wiensches Verschiebungsgesetz

Die Energiedichte beim Emissionsmaximum des Wienschen Verschiebungsgesetzes ist

                   3                             3
ϱ(ν  ,T)dν =  8πhν-m-------1------dν =  35.7246 -kB-T 3dν
   m            c3   ehνm ∕(kBT) - 1             c3h2
(3.41)

Abbildung 3.2.2.2 stellt Gleichung (3.41) graphisch dar.

PIC

Energiedichte im spektralen Maximum nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz

3.2.2.3. Stefan-Boltzmann-Gesetz

PIC Versuch zur Vorlesung: Strahlungswürfel nach Leslie: Emissionsfaktor von verschiedenen Strahlern (Versuchskarte AT-20)

PIC Versuch zur Vorlesung: Stefan-Boltzmannsches Gesetz: mit Leslie-Würfel (Versuchskarte AT-43)

Wir möchten wissen, wie die Abstrahlung eines schwarzen Körpers von dessen Temperatur abhängt. Dazu definieren wir zunächst die spezifische Ausstrahlung nach Gleichung (3.6) senkrecht zur Oberfläche

Rs,ν(T )dν = cϱ(ν,T )dν
(3.42)

Daraus bekommen wir die richtungsabhängige Abstrahlung (θ ist der Winkel zur Normalen)

R ν(T,θ)dν =  Rs,ν(T )cos(θ)dν
(3.43)

Diese Grösse ist sowohl von der Frequenz wie auch von der Richtung abhängig. Der Mittelwert einer allgemeinen richtungsabhängigen Grösse f(θ,ϕ) ist

          2∫π∫π
⟨f ⟩ = 1--    f (θ,ϕ)sin(θ)dθdϕ
       4π
          0 0
(3.44)

Über den Halbraum gerechnet erhalten wir (unter der Voraussetzung, dass f(θ,ϕ) = f(π - θ,ϕ) ist)

                 2∫ππ∫∕2
⟨f⟩        =  1--     f(θ,ϕ )sin (θ )d θdϕ = ⟨f-⟩
   Halbraum    4π                           2
                 0 0
(3.45)

Zusammen mit der Mittelung über die Frequenz erhalten wir

           ∫2π π∫∕2⌊ ∞∫                   ⌋
        -1-     ⌈                     ⌉
R(T ) = 4π          c· ϱ(ν,T)dν cos(θ)  sin (θ)d θdϕ
           0  0   0
(3.46)

Diese drei Integrale sind voneinander unabhängig. Wir beachten, dass

2∫π
  dϕ =  2π

0

und

∫π∕2
                    1-
   cos(θ)sin(θ)dθ = 2
 0

ist und erhalten

         c∫∞
R (T) =  --  ϱ(ν,T)dν
         40
(3.47)

Mit Gleichung (3.28) ergibt dieses Integral

         c   8 π5kB4T 4    2 π5kB4T 4
R (T ) = 4· 15---h3c3---= 15---h3c2---
(3.48)

Wir definieren die Stefan-Boltzmann-Konstante

     2-π5kB4-                  -8     -2  -4
σ =  15 h3c2  = 5.67040 (4)·10   Wm     K
(3.49)

und können dann das Stefan-Boltzmann-Gesetz so formulieren:


Stefan-Boltzmann-Gesetz
                   5   4
R (T) = σT 4 = -2-π-kB--T4
               15  h3c2
(3.50)


R ist die in den Halbraum abgestrahlte Leistung bei der Temperatur T. Diese Leistung R(T) ist in der Abbildung 3.2.2.3 in doppelt-logarithmischer Darstellung gezeichnet.

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Stefan-Boltzmann-Gesetz

3.2.3  Farben

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Empfindlichkeitskurven der Augenrezeptoren skaliert auf gleiche integrale Empfindlichkeit (nach [Mes06])

Was wir Farben nennen, hängt von der Interpretation der Reize unserer Sehnerven ab. Abbildung 3.2.3 zeigt die spektrale Empfindlichkeit des Auges.

3.2.4  Strahlung der Sonne

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Vergleich der spektralen Energiedichte von Sonne und Erde. Die verschiedene Lage der Maxima ermöglicht den Treibhauseffekt.

Sowohl die Sonne wie auch die Erde können in guter Näherung durch schwarze Strahler approximiert werden. Abbildung 3.2.4 zeigt die beiden Kurven, wobei die Erde die Temperatur 300 K und die Sonne die Temperatur 6000 K hat. Die Unterschiede der beiden Kurven bewirken, dass die Energiezufuhr zur Erde bei einer anderen Wellenlänge oder Frequenz geschieht wie deren Abstrahlung.



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