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J.  Tabellen zur Anwendung der Hund’schen Regeln

Erinnerung an die Hund’schen Regeln (siehe auch Abschnitt 6.8.2.2):

  1. Volle Schalen und volle Unterschalen haben den Gesamtdrehimpuls L = 0 und den Gesamtspin S = 0.
  2. Äquivalente Elektronen (d.h. Elektronen die bei gleichem ℓ auf die z-Unterzustände mℓ verteilt werden) werden im Grundzustand so eingebaut, dass der resultierende Gesamtspin S maximal ist.

    Dies bedeutet, dass Zustände mit der höchsten Multiplizität energetisch am tiefsten liegen. Die Gesamtwellenfunktion muss antisymmetrisch sein.

  3. Um den grössten Wert der Quantenzahl S zu realisieren, müssen die Elektronen auf die Unterzustände mℓ zu den Drehimpulszuständen ℓ so verteilt werden, dass die z-Komponente von L
    ∑ ℏmL = ℏ m ℓ ℓ

    maximal ist. Dann ist die Drehimpulsquantenzahl

    L =|mL|

    Zustände liegen bei gleicher Multiplizität 2S + 1 des Gesamtspins energetisch umso tiefer, je grösser L ist.

  4. Bei Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung liegen Multipletts mit der kleinsten Quantenzahl J energetisch am tiefsten, wenn die Teilschale weniger als halb gefüllt ist. Bei einer mehr als halb gefüllten Teilschale liegen die Multipletts mit der grössten Quantenzahl J energetisch am tiefsten.

Wenn ℓ der Bahndrehimpuls einer Konfiguration von k Elektronen ist, wird die Berechnung der Elektronenzustände der Konfiguration ℓk bei LS-Kopplung (leichte Atome) anhand der Hund’schen Regeln wie folgt durchgeführt:

  1. Der Beitrag aller vollständigen Schalen oder Unterschalen ist null. Dies ist
  2. Berechne den Gesamtspin S (nach den Regeln 1 und 2):
  3. Berechne den Gesamtbahndrehimpuls L (nach der Regel 2):
  4. Berechne den Gesamtbahndrehimpuls J (nach der Regel 4):
  5. Die Elektronen werden wie folgt auf die Azimuth-Unterzustände verteilt (siehe Abschnitt 6.8.2.2):

Die folgenden Tabellen geben einen Überblick über die Konfigurationen:

___________________________________________________________________________

 weniger
als
e−-
m ℓ
 S L halb J Konfi-
konf. 0 ∑ | ms | ∑ | m ℓ| halb gefüllt? guration
s1 ↓ 1 2 0 ja 1 2 2S12
s2 ↑↓ 0 0 nein 0 1S 0
Hundsche Regeln für die s-Schale (ℓ = 0). In den Zellen sinddie Spinorientierungen angegeben.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

 weniger
als
e−-
m ℓ
 S L halb J Konfi-
konf. −1 0 1 ∑ | ms | ∑ | m ℓ| gefüllt? guration
p1 ↓ 1 2 1 ja 1 2 2P12
p2 ↓ ↓ 1 1 ja 0 3P 0
p3 ↓ ↓ ↓ 32 0 ja 32 4S32
p4 ↓ ↓ ↑↓ 1 1 nein 2 3P 2
p5 ↓ ↑↓ ↑↓ 1 2 1 nein 3 2 2P3 2
p6 ↑↓ ↑↓ ↑↓ 0 0 nein 0 1S 0
Hundsche Regeln für die p-Schale (ℓ = 1). In den Zellen sinddie Spinorientierungen angegeben.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

m ℓ
weniger
als
e−- S L halb J Konfi-
konf. −2 −1 0 1 2 ∑ | ms| ∑ | m ℓ| gefüllt? guration
d1 ↓ 12 2 ja 32 2D32
d2 ↓ ↓ 1 3 ja 2 3F 2
d3 ↓ ↓ ↓ 3 2 3 ja 3 2 4F3 2
d4 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 2 ja 0 5D 0
d5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 5 2 0 ja 5 2 6S52
d6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ 2 2 nein 4 5D 4
d7 ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ 32 3 nein 92 4F92
d8 ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 3 nein 4 3F 4
d9 ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 2 2 nein 5 2 2D5 2
d10 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 0 0 nein 0 1S 0
Hundsche Regeln für die d-Schale (ℓ = 2). In den Zellen sinddie Spinorientierungen angegeben.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

mℓ
weniger
als
e−- S L halb J Konfi-
konf. −3 −2 −1 0 1 2 3 ||∑ || ms ||∑ || mℓ gefüllt? guration
f1 ↓ 1 2 3 ja 5 2 2F52
f2 ↓ ↓ 1 5 ja 4 3H4
f3 ↓ ↓ ↓ 3 2 6 ja 9 2 4I9 2
f4 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 6 ja 4 5I4
f5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 52 5 ja 52 6H52
f6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 3 ja 0 7F0
f7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 7 2 0 ja 7 2 8S72
f8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ 3 3 nein 6 7F6
f9 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ 5 2 5 nein 15 2 6H152-
f10 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 2 6 nein 8 5I8
f11 ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 32 6 nein 125 4I15- 2
f12 ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 5 nein 6 3H6
f13 ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 12 3 nein 72 2F72
f14 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 0 0 nein 0 1S0
Hundsche Regeln für die f-Schale (ℓ = 3). In den Zellen sind die Spinorientierungenangegeben.

_______________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________

mℓ
weniger
als
e−- S L halb J Konfi-
konf. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 |∑ | | ms| |∑ | | mℓ| gefüllt? guration
g1 ↓ 1 2 4 ja 7 2 2G72
g2 ↓ ↓ 1 7 ja 6 3J6
g3 ↓ ↓ ↓ 32 9 ja 125 4L15- 2
g4 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 10 ja 8 5M8
g5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 5 2 10 ja 15 2 6M152-
g6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 9 ja 6 7L6
g7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 72 7 ja 72 8J7 2
g8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 4 ja 0 9G0
g9 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 9 2 0 ja 9 2 10S92
g10 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ 4 4 nein 8 9G8
g11 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ 72 7 nein 221 8J21- 2
g12 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 9 nein 12 7L12
g13 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 2 10 nein 25 2- 6M252-
g14 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 2 10 nein 12 5M12
g15 ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 32 9 nein 221 4L21- 2
g16 ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 7 nein 8 3J8
g17 ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 12 4 nein 92 2G92
g18 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 0 0 nein 0 1S0
Hundsche Regeln für die g-Schale (ℓ = 4). In den Zellen sind die Spinorientierungenangegeben.

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

mℓ
weniger
als
e−- S L halb J Konfi-
konf. −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 |∑ | | ms| |∑ | | mℓ| gefüllt? guration
h1 ↓ 1 2 5 ja 9 2 2H 92
h2 ↓ ↓ 1 9 ja 8 3L8
h3 ↓ ↓ ↓ 32 12 ja 212 4O 21 2
h4 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 14 ja 12 5Q12
h5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 5 2 15 ja 25 2 6R 225
h6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 15 ja 12 7R12
h7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 72 14 ja 212 8Q 21 2
h8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 12 ja 8 9O8
h9 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 9 2 9 ja 9 2 10L 92
h10 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 5 5 ja 0 11H0
h11 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 112- 0 ja 112 12S 11 2
h12 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ 5 5 nein 10 11H10
h13 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ 9 2 9 nein 27 2 10L 227
h14 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 4 12 nein 16 9O16
h15 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 72 14 nein 352 8Q 35 2
h16 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 15 nein 18 7R18
h17 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 2 15 nein 35 -2 6R 325
h18 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 2 14 nein 16 5Q16
h19 ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 32 12 nein 272 4O 27 2
h20 ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 9 nein 10 3L10
h21 ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 12 5 nein 112 2H 121
h22 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 0 0 nein 0 1S0
Hundsche Regeln für die h-Schale (ℓ = 5). In den Zellen sind die Spinorientierungenangegeben.

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

mℓ
weniger
als
e−- S L halb J Konfi-
konf. −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 |∑ | | ms| |∑ | | m ℓ| gefüllt? guration
i1 ↓ 1 2 6 ja 11 2- 2I 112
i2 ↓ ↓ 1 11 ja 10 3N10
i3 ↓ ↓ ↓ 32 15 ja 272- 4R 27 2
i4 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 18 ja 16 5U16
i5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 52 20 ja 352- 6W 352
i6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 21 ja 18 7X18
i7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 72 21 ja 352- 8X 35 2
i8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 20 ja 16 9W16
i9 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 92 18 ja 272- 10U 272
i10 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 5 15 ja 10 11R10
i11 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 121 11 ja 112- 12N 11 2
i12 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 6 6 ja 0 13I0
i13 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 123 0 ja 132- 14S 132
i14 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ 6 6 nein 12 13I12
i15 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ 121 11 nein 332- 12N 33 2
i16 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 15 nein 20 11R20
i17 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 92 18 nein 452- 10U 452
i18 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 4 20 nein 24 9W24
i19 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 7 2 21 nein 49- 2 8X 49 2
i20 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 21 nein 24 7X24
i21 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 52 20 nein 452- 6W 452
i22 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 2 18 nein 20 5U20
i23 ↓ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 2 15 nein 33- 2 4R 33 2
i24 ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 11 nein 12 3N12
i25 ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 12 6 nein 132- 2I 132
i26 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 0 0 nein 0 1S0
Hundsche Regeln für die i-Schale (ℓ = 6). In den Zellen sind die Spinorientierungen angegeben.

__________________________________________________________________________________________________________________

Die Tabellen können mit dem folgenden Mathematica-Code berechnet werden:

  s = 0; p=1; d=2; f=3; g=4; h=5; i=6; j=7;  
  lett = {"S","P","D","F","G","H","I","J","K","L","M","N","O","P","Q","R","S","T","U","V","W","X","Y"};  
 
  JJ[sz_] := Module [{bd = sz[[1]], anz = sz[[2]], SS = 0, LL = 0,  
   JJ = 0, res = {}},  
  If[anz <=  2*bd + 1, SS = anz/2, SS = (2*bd + 1) - anz/2];  
  If[anz <= 2*bd + 1, LL = anz*(2 bd - anz + 1)/2,  
   LL = 1/2 (-1 + anz - 2 bd) (2 - anz + 4 bd)];  
  If[anz <= 2*bd + 1, JJ = Abs[LL - SS], JJ = LL + SS];  
  res = Append[res,  
    Superscript[ToLowerCase[lett[[bd + 1]]], ToString[anz]]];  
  If[anz <= 2*bd + 1,  
   res = Join[res, Table["d", {iii, 1, anz}],  
     Table["n", {iii, anz + 1, 2*bd + 1}]],  
   res = Join[res, Table["d", {i, 2*bd + 2, 6*bd + 3 - anz}],  
     Table["ud", {i, 6*bd + 4 - anz, 4*bd + 2}]]];  
  res = Append[res, ToString[SS]];  
  res = Append[res, ToString[LL]];  
  If[anz <= 2*bd + 1, res = Append[res, "ja"],  
   res = Append[res, "nein"]];  
  res = Append[res, ToString[JJ]];  
  res = Append[res,  
    Row[{Style[Superscript[Invisible["x"], 2 SS + 1]],  
      Style[Subscript[lett[[LL + 1]], JJ]]}]];  
  res  
  ]  
 
  JJtable[sz_] :=  
   Module [{bd = sz[[1]], anz = sz[[2]], SS = 0, LL = 0, JJ = 0,  
     res = ""},  
    If[anz <=  2*bd + 1, SS = anz/2, SS = (2*bd + 1) - anz/2];  
    If[anz <= 2*bd + 1, LL = anz*(2 bd - anz + 1)/2,  
     LL = 1/2 (-1 + anz - 2 bd) (2 - anz + 4 bd)];  
    If[anz <= 2*bd + 1, JJ = Abs[LL - SS], JJ = LL + SS];  
    res = res <> " $" <> ToLowerCase[lett[[bd + 1]]] <> "^{" <>  
      ToString[anz] <> "}$ & ";  
    If[anz <= 2*bd + 1,  
     For[iii = 1, iii <= anz, iii++, res = res <> "$\\downarrow$ & "];  
     For[iii = anz + 1, iii <= 2*bd + 1, iii++, res = res <> "  & "],  
     For[iii = 2*bd + 2, iii <= 6*bd + 3 - anz, iii++,  
      res = res <> " $\\downarrow$ & "];  
     For[iii = 6*bd + 4 - anz, iii <= 4*bd + 2, iii++,  
      res = res <> "$\\uparrow\\downarrow$ & "]];  
    res = res <> " $" <> ToString[TeXForm[SS]] <> "$ & ";  
    res = res <> " $" <> ToString[LL] <> "$ & ";  
    If[anz <= 2*bd + 1, res = res <> "ja & ", res = res <> "nein & "];  
    res = res <> " $" <> ToString[TeXForm[JJ]] <> "$ & ";  
    res = res <> " $^{" <> ToString[2 SS + 1] <> "}" <> lett[[LL + 1]] <>  
       "_{" <> ToString[TeXForm[JJ]] <> "}$ \\\\";  
    res  
  ]  
 
  bdi=i;  
  Clear[ttable];  
  ttable = {"\\tablestart{|l"};  
  For[iii=-bdi,iii<=bdi,iii++, ttable[[1]] = ttable[[1]]<> "|c"];  
  ttable[[1]] = ttable[[1]]<>"|c|c|c|c|r|}";  
  ttable = Join[ttable,{"\\hline"}];  
  ttable = Append[ttable,"& \\multicolumn{"<>ToString[2*bdi+1]<>"}{c|}{} & & & weniger & & \\\\"];  
  ttable = Append[ttable,"& \\multicolumn{"<>ToString[2*bdi+1]<>"}{c|}{} & & & als & & \\\\"];  
  ttable = Append[ttable,"$e^{-}$- & \\multicolumn{"<>ToString[2*bdi+1]<>"}{c|}{$m_{\\ell}$} & $S$ & $L$ & halb & $J$ & Konfi-\\\\"];  
  ttable = Append[ttable,"konf. & "];  
  For[iii=-bdi,iii<=bdi,iii++,ttable[[6]] = ttable[[6]]<>" $"<>ToString[iii]<>"$ & "];  
  ttable[[6]] = ttable[[6]]<>"$\\abs{\\sum m_{s}}$ & $\\abs{\\sum m_{\\ell}}$ & gef{\\\"u}llt? & & guration \\\\";  
  ttable = Join[ttable,{"\\hline"}];  
  ttable= Join[ttable,Table[JJtable[{bdi,iii}],{iii,1,4*bdi+2}]];  
  ttable = Join[ttable,{"\\hline"}];  
  ttable = Join[ttable,{"\\tableendk{Hundsche Regeln f{\\\"u}r die "<>ToLowerCase[lett[[bdi+1]]]<>"-Schale}{Hundsche Regeln f{\\\"u}r die  
  "<>ToLowerCase[lett[[bdi+1]]]<>"-Schale ($\\ell="<>ToString[bdi]<>"$). In den Zellen sind die Spinorientierungen angegeben.}"}];  
  TableForm[ttable]

Für ℓ > 6 muss die Liste „lett“ verlängert werden.


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