Hilbert-Raume

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5.1 Hilbert-Räume

Zu Beginn folgen einige mathematische Deﬁnitionen, die für die korrekte Formulierung der Gesetze und Regeln notwendig sind. Der mathematische Formalismus beruht auf Hilbert-Räumen (siehe [Sch13, p. 84] und [AW95, p. 585ﬀ und p. 545ﬀ]. Ein Hilbert-Raum wird wie folgt deﬁniert:

H ist ein linearer Vektorraum über dem Raum der komplexen Zahlen ℂ mit den Eigenschaften:

Wir betrachten zwei Funktionen f und g. Wenn f ∈H und g ∈H, dann ist auch (f + g) ∈H
Es gibt ein Nullelement 0, so dass (f + 0) = f gilt.
Es gibt zu f ein symmetrisches Element −f so dass [f + (−f)] = 0
Die quadratische Form ist das Produkt zweier Elemente f ∈ H und g ∈ H ist als Abbildung H×H → ℂ : (f,g) = f ⋅ g = ∫ _−∞^+∞f(u)g(u)du deﬁniert.
Das Skalarprodukt ist die quadratische Form H × H→ ℂ : (f∗,g) = f∗ ⋅ g = ∫_−∞^+∞f∗(u)g(u)du.
Mit der Deﬁnition = f und = (f∗)T = f† wird H × H → ℂ : (f∗,g) = = ∫ _−∞^+∞f∗(u)g(u)du.

Die Norm einer beliebigen Funktion f ∈H ist deﬁniert als ∥f∥ = ( ⟨f |f ⟩ )^1∕2

Weil H ein linearer Vektorraum ist, gelten die folgenden Eigenschaften:

= α₁ + α₂
= α∗₁ + α∗₂
= = λ, mit λ ∈ ℂ konstant
≥ 0
= 0 ⇒ f = 0
= ∗

Ein Vektorraum ist vollständig, wenn es für jedes f eine Reihe f₁,f₂,f₃,…f_n → f gibt, so dass lim _n→∞ ∥f − f∥
n = 0 gilt.

Wenn für das Skalarprodukt von f ∈ H und g ∈ H ⟨f|g⟩ = 0 gilt, dann sind f und g orthogonal.

5.1.1 Lineare Operatoren

Wenn für einen linearen Operator ^
A und eine Funktion f ∈H die Gleichung ^
A f = af gilt, dann ist f eine Eigenfunktion von . a ist der entsprechende Eigenwert von .