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5.4  Axiome der Quantenmechanik

  1. Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine Wellenfunktion oder Zustandsfunktion ψ beschrieben.
  2. Jede physikalische Grösse entspricht einem linearen hermiteschen Operator.
  3. Ein Zustand eines Systems, in dem eine physikalische Grösse A einen scharfen Wert besitzt, muss durch eine Eigenfunktion des zu A gehörigen Operators ^A beschrieben sein; der Wert dieser Grösse A ist ein Eigenwert des Operators ^A.

Weiter gilt: Wenn der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion ψ = ∑ kckfk dargestellt wird, wobei die fk Eigenfunktionen des gleichen hermiteschen Operators und die ck komplexe Konstanten sind, dann ist

f ∗⋅ fj = (f∗fi)δij i i
(5.1)

und

∑ ∑ ψ ∗ ⋅ ψ = c∗icj (f∗i ⋅ fj) = c∗kck (f∗k ⋅ fk) i,j k
(5.2)

Die Eigenwerte ak von ^ A sind reelle Zahlen (ak ∈ℝ ∀k). Die Wellenfunktionen ψk, definiert durch ^Aψk = akψk oder A^|ψk⟩ = A|ψk⟩, sollen ein vollständiges Funktionensystem bilden.

Der Erwartungswert des Operators A^ und damit der durch ihn beschriebenen Grösse A ist

⟨ ⟩ (∑ ) ( ∑ ) ∑ ⟨A ⟩ = ψ|^A |ψ = (cℓψ ℓ)∗ ^A (ckψk) = (ψ ∗ℓc∗ℓ) ^A (ckψk) ℓ k ℓ,k ∑ ∗ ∗ ^ ∑ ∗ ∗ = cℓψ ℓckAψk = cℓckψℓakψk ∑ ℓ,k ∑ℓ,k ∑ = c∗ℓckakψ ∗ℓψk = c∗ℓckakδkl = c∗kckak ℓ,k ℓ,k k
(5.3)

Der Erwartungswert ⟨A ⟩ ist eine statistische Grösse. Analog zu Mittelwerten einer Stichprobe gibt es als Mass der Verschmierung das Analog zur Standardabweichung. In Allgemein ist die Streuung einer Observablen A analog definiert wie

∘ ------------ ΔA = ⟨A2 ⟩ − ⟨A ⟩2.
(5.4)


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