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D.8  Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Diese Operatoren können in [AW95] nachgeschaut werden oder mit [WR14] berechnet werden.

D.8.1  Zylinderkoordinaten

Die Definition lautet

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Die Skalenfaktoren lauten

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Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

∇r,ϕ,zΨ(r,ϕ,z ) = ∂Ψ-(r,ϕ,z)er+ 1-∂Ψ-(r,ϕ,z)eϕ+ ∂Ψ-(r,ϕ,-z)ez ∂r r ∂ϕ ∂z
(D.3)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( ) | Vr(r,ϕ,z)| (V ϕ(r,ϕ,z)) Vz(r,ϕ,z) ist

∂V (r,ϕ,z) 1( ∂V (r,𝜃,z)) ∂V (r,𝜃,z) ∇r,ϕ,z⋅V (r,ϕ,z ) = --r--------+ -- Vr(r,ϕ,z) + ---ϕ------- + ---z------- ∂r r ∂ϕ ∂z
(D.4)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( V (r,ϕ,z)) | r | (V ϕ(r,ϕ,z)) Vz(r,ϕ,z) ist

( ) 1∂Vz(r,𝜃,z)− ∂Vϕ(r,𝜃,z)- || r∂Vr(∂rϕ,𝜃,z)- ∂Vz∂(rz,𝜃,z) || ∇r,ϕ,z×V (r,ϕ, z) = ( ∂z( − ∂r )) ∂Vϕ(∂rr,𝜃,z) − 1r ∂Vr∂(rϕ,𝜃,z)-− Vϕ(r,𝜃,z)
(D.5)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

( ) ∂2 Ψ(r,𝜃,z) 1 1∂2 Ψ(r,𝜃,z) ∂Ψ (r,𝜃, z) ∂2Ψ (r,𝜃,z) Δr,ϕ,zΨ (r,ϕ,z) = -------2---+ -- --------2--- + ---------- + ------2---- ∂r r r ∂ϕ ∂r ∂z
(D.6)

D.8.2  Kugelkoordinaten

Die Definition lautet

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Die Skalenfaktoren lauten

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Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

∇ Ψ(r,𝜃,ϕ) = ∂Ψ-(r,𝜃,-ϕ)e + 1-∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)e + 1-csc(𝜃)∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)e r,𝜃,ϕ ∂r r r ∂𝜃 𝜃 r ∂ϕ ϕ
(D.9)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( Vr(r,ϕ,z)) | | (V ϕ(r,ϕ,z)) Vz(r,ϕ,z) ist

∂Vr(r,𝜃,ϕ) 1 ( ∂V𝜃(r,𝜃,ϕ )) ∇r,𝜃,ϕ⋅V (r,𝜃,ϕ) = ----------+ -- Vr(r,𝜃,ϕ) + ----------- ( ( ∂r r ∂𝜃 )) 1 ∂V ϕ(r,𝜃,ϕ) + -- csc(𝜃) sin(𝜃)Vr(r,𝜃,ϕ ) + cos(𝜃)V𝜃(r,𝜃,ϕ ) +---------- r ∂ϕ
(D.10)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( ) Vr(r,ϕ,z) |(V (r,ϕ,z)|) ϕ Vz(r,ϕ,z) ist

∇ × V (r,𝜃,ϕ ) = ( r,𝜃(,ϕ ( ))) 1r ∂Vϕ(∂r𝜃,𝜃,ϕ)-− csc(𝜃) ∂V𝜃(∂rϕ,𝜃,ϕ)-− cos(𝜃)Vϕ(r,𝜃,ϕ) || 1 (∂Vr(r,𝜃,ϕ) ) ∂Vϕ(r,𝜃,φ) || |( r csc(𝜃) ∂ϕ −(sin(𝜃)Vϕ(r,𝜃,ϕ) − ) ∂r |) ∂V𝜃(r∂,𝜃r,φ)− 1r ∂Vr(∂r,𝜃𝜃,φ)− V𝜃(r,𝜃,φ)
(D.11)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

( ) 1- 1∂2Ψ-(r,𝜃,ϕ)- ∂Ψ-(r,𝜃,ϕ-)- ∂2-Ψ(r,𝜃,ϕ-) Δr,𝜃,ϕΨ (r,𝜃,ϕ) = r r ∂𝜃2 + ∂r + ∂r2y ( ( 2 ) ) + 1-csc(𝜃) sin(𝜃)∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)-+ 1- cos(𝜃 )∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)-+ csc(𝜃)∂-Ψ-(r,𝜃,ϕ)- r ∂r r ∂𝜃 ∂ϕ2
(D.12)


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