Die folgenden Ausführungen sind inspiriert vom Buch von Taylor[Tay14]. Wir nehmen an, dass es in einer Dimension eine kinetische Energie: T(v) = mv2yy und eine potentielle Energie V (x) gibt. Dann definiert man die Lagrange-Funktion
| (E.1) |
Die Ableitungen der Lagrange-Funktion aus Gleichung (E.1) sind
Nach Newton lautet die Bewegungsgleichung
| (E.3) |
Diese kann als Ableitung der Lagrange-Funktion geschrieben werden:
| (E.4) |
Wenn wir die Geschwindigkeit oder die zeitliche Ableitung des Ortes als Variable begreifen, können wir ẋ = v in Gleichungen verwenden. Dann darf nicht nach der Kettenregel nach ẋ abgeleitet werden. Üblicherweise wird die Lagrangefunktion L(x,ẋ) so geschrieben:
| (E.5) |
Wenn sich nun ein Teilchen unter dem Einfluss des Potential V (x) bewegt, ist die realisierte Bahn ist die, für die die Wirkung S stationär oder extremal ist, also die Variation
| (E.6) |
gleich null ist.
Das oben gesagte gilt analog auch für mehr Dimensionen und für nicht-kartesische Koordinatensysteme.
Die n Bewegungsgleichungen lauten dann
| (E.8) |
Für ein Teilchen mit der potentiellen Energie V (r,ϕ) lautet die Lagrange-Funktion:
| (E.9) |
Wir betrachten die r- und die ϕ-Komponente getrennt. Die r-Komponente ist
Dise Gleichung kann auch so geschrieben werden:
| (E.11) |
−m − r2 ist dabei die Zentripetalbeschleunigung.
Für die ϕ-Komponente erhalten wir
| (E.12) |
oder
| (E.13) |
Zur Interpretation verwenden wir
| (E.14) |
und daraus
| (E.15) |
Vergleichen wir dies mit der Gleichung (E.13), so können wir schreiben:
| (E.16) |
Wir sehen also, dass die verallgemeinerte Kraft nichts anderes als das Drehmoment ist. Der verallgemeinerter Impuls stellt sich als Drehimpuls heraus.