Eine Drehung um die x-Achse beschrieben durch den Vektor x = T um den Winkel α wird durch die Matrix
| (D.1) |
die Transformation ausgeführt. Für eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor y = T um den Winkel β wird durch die Matrix
| (D.2) |
die Transformation ausgeführt. Schliesslich wird eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor z = T um den Winkel γ wird durch die Matrix
| (D.3) |
ausgeführt.
Der Vektor = T soll um den Winkel α um die x-Achse gedreht werden. Dies wird mit der Operation
| (D.4) |
bewerkstelligt. Im Allgemeinen wird eine Drehung durch die Multiplikation des Vektors von links mit einer Matrix beschrieben.
Die Drehung zurück wird (antisymmetrische reelle Matrix mit der Determinante 1) wird durch die inverse Matrix oder die transponierte Matrix beschrieben Alternativ kann man auch α durch −α ersetzen.
| (D.5) |
Eine Drehung um einen beliebigen Vektor α = T mit xα2 + y α2 + z α2 = 1 wird durch
(D.6) |
beschrieben[WR14]. Die Drehung ist bei positivem α rechtshändig bezüglich der Richtung von α (Der Daumen zeigt in die Richtung von α, die Finger geben die Drehrichtung).
Sei Rα(α) die Drehmatrix. Dann ist der aus hervorgegangene um die Achse α und den Winkel α gedrehte Vektor
| (D.7) |
Ein Beispiel dafür ist in (D.4) gezeigt.
Die aus der Matrix
|
hervorgegangene um die Achse α und den Winkel α gedrehte Matrix ist
| (D.8) |
Die Drehung zurück ist dann
| (D.9) |
Wenn wir als Beispiel die Matrix
|
um α = T drehen, erhalten wir
Das Koordinatensystem x,y,z geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem x∗, y∗, z∗ hervor.
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Definition der Eulerschen Winkel
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Die Eulerschen Winkel sind
Dabei 0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch z und z∗.
Die Reihenfolge der Drehungen ist