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Von Hand gezeichnete Kurve einer unbekannten Funktion.
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Die Funktion in Abbildung K.1 wurde mit Engauge Digitizer [Mit04] digitalisiert und in Excel geladen.
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Originale | |
x | f(x) |
0.058 | 2.5676 |
0.2456 | 2.8111 |
0.4332 | 3.0546 |
0.5693 | 3.348 |
7.6052 | 6.3168 |
7.8576 | 6.4726 |
8.1489 | 6.5783 |
17.2552 | 6.0696 |
17.5477 | 6.0867 |
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Darstellung der digitalisierten Funktion.
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Um die Ableitung zu berechnen verwenden wir die Definition
| (K.1) |
Zur numerischen Berechnung der Ableitung lassen wir den Grenzwert weg und erhalten die Näherungslösung
| (K.2) |
Umgesetzt in eine Handlungsanleitung bedeutet dies:
In einer Tabelle sieht dies so aus:
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Originale | Ableitung | |||
x | f(x) | xmitte | d f(x)/d x | |
0.058 | 2.5676 | 0.1518 | 1.297974 | |
0.2456 | 2.8111 | 0.3394 | 1.297974 | |
0.4332 | 3.0546 | 0.50125 | 2.155768 | |
0.5693 | 3.348 | 0.64375 | 1.886501 | |
7.6052 | 6.3168 | 7.7314 | 0.617274 | |
7.8576 | 6.4726 | 8.00325 | 0.362856 | |
8.1489 | 6.5783 | 8.301 | 0.306706 | |
17.2552 | 6.0696 | 17.40145 | 0.058462 | |
17.5477 | 6.0867 | |||
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In der ersten Zelle mit Zahlen in der Spalte „xmitte“ in Tabelle K.1 steht „= (A3 + A4)∕2“, in der ersten Zelle mit Zahlen in der Spalte mit „d f(x)/d x“ steht „= (B4 − B3)∕(A4 − A3)“. Damit ist der Schätzwert der Ableitungsfunktion berechnet (Siehe Abbildung K.1).
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Darstellung der berechneten Ableitung der Funktion aus Abbildung K.1.
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Analog kann die zweite Ableitung berechnet werden, nach der gleichen Methode wie oben aus der ersten Ableitung.
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Originale | Ableitung | 2. Ableitung | |||||
x | f(x) | xmitte | d f(x)/d x | xmitte | d∧2 f(x)/d x∧2 | ||
0.058 | 2.5676 | 0.1518 | 1.297974 | 0.2456 | 2.37E-15 | ||
0.2456 | 2.8111 | 0.3394 | 1.297974 | 0.420325 | 5.299928 | ||
0.4332 | 3.0546 | 0.50125 | 2.155768 | 0.5725 | -1.88959 | ||
0.5693 | 3.348 | 0.64375 | 1.886501 | 0.721525 | -2.49267 | ||
7.6052 | 6.3168 | 7.7314 | 0.617274 | 7.867325 | -0.93588 | ||
7.8576 | 6.4726 | 8.00325 | 0.362856 | 8.152125 | -0.18858 | ||
8.1489 | 6.5783 | 8.301 | 0.306706 | 8.453175 | -0.27507 | ||
17.2552 | 6.0696 | 17.40145 | 0.058462 | ||||
17.5477 | 6.0867 | ||||||
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Die zweite Ableitung, wie in Tabelle K.1 berechnet, ist in Abbildung K.1 gezeigt.
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Darstellung der berechneten zweiten Ableitung der Funktion aus Abbildung K.1.
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Wenn eine analytisch gegebene Funktion differenziert werden soll, kann Δx frei gewählt werden. Wenn Δx zu klein ist, werden Rundungsfehler das Resultat verschlechtern. Es gibt ein optimales Δx.
Bevor wir in Mathematica starten definieren wir die Parameter für die Plots
Wir verwenden die Funktion
Dies entspricht dem Mathematica-Code
Die eigentliche Ableitung wird durch
berechnet. x0 und x1 sind die Grenzen, NN die Anzahl. Zuerst werden die Tabellen der x-Werte, xtab, und der Funktionenwerte ftab berechnet. Beide haben die Grösse NN + 1. Die Ableitung kann nur an NN-Stellen berechnet werden. Am effizientesten funktioniert dies über die Differenz der ftab ohne das letzte Element und der ftab ohne das erste Element (dftab = (ftab[[2 ;; NN + 1]] - ftab[[1 ;; NN]])/dx;). dnftab enthält die von Mathematica berechnete Ableitung. Schliesslich wird noch die Differenz der geschätzen Ableitung mit der richtigen Ableitung berechnet.
Die Plots sind
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Funktion mit Stützwerten (rot).
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Ableitung analytisch und numerisch (rot).
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In Abbildung K.1.1 werden unten die Residuen (Schätzwert - Messwert) angegeben, da die Fehlerbalken zu klein sind.