Analog zum Vorgehen bei Ableitungen gehen wir auch bei Integralen vor. Wir verwenden die Definition
| (K.1) |
In Gleichung (K.1) ist die Trapezregel dargestellt. Alternativ könnte auch mit der Mittelwertregel gearbeitet werden:
| (K.2) |
Wir können also die beiden Approximationen für das Integral ∫ x0x1f(x)dx angeben:
Wenn man die beiden Approximationen in den Gleichungen (K.3) analysiert, kann die folgende Beziehung abgeleitet werden:
| (K.4) |
Weiter kann man die Grösse
| (K.5) |
als Schätzwert für die Genauigkeit der Approximation verwenden.
Liegt die zu integrierende Funktion nicht als Funktion, sondern als Tabelle von x-Werten und f(x)-Werten an den Stellen xj, j ∈, vor, dann ist das Vorgehen für einen Schätzwert so:
| (K.6) |
Mit den Daten aus Abbildung K.1 und dem Verfahren aus Gleichung K.6 ergibt sich die Tabelle
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Originale | Integral | |||
x | f(x) | x | Int(f(x),0.058,x) | |
0.058 | 2.5676 | 0.058 | 0 | |
0.2456 | 2.8111 | 0.2456 | 1.009044 | |
0.4332 | 3.0546 | 0.4332 | 2.109449 | |
0.5693 | 3.348 | 0.5693 | 2.980843 | |
7.6052 | 6.3168 | 7.6052 | 68.15365 | |
7.8576 | 6.4726 | 7.8576 | 71.38169 | |
8.1489 | 6.5783 | 8.1489 | 75.18342 | |
17.2552 | 6.0696 | 17.2552 | 184.8648 | |
17.5477 | 6.0867 | 17.5477 | 188.4206 | |
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In der ersten Zeile der Bezeichnung „Int(f(x),0.058,x)“ steht „0“, in der zweiten Zeile „=(B4+B3)*(A4-A3)+K3“.
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Darstellung der berechneten Integration der Funktion aus Abbildung K.1.
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In Abbildung K.2 ist die grafische Darstellung der Integration der Funktion aus Abbildung K.1 gezeigt.
Wir wenden hier das Vorgehen aus den Gleichungen (K.3) und (K.4) an.
Die Schätzwerte für das Integral nach der Trapezregel und der Mittenregel können in Mathematica wie folgt definiert werden:
Die Funktion Total summiert über eine Tabelle. Die Funktionen entsprechen den Gleichungen (K.3).
Wir interessieren uns hier für den Verlauf des Fehlers. Dazu werden die Intervalle sukzessive halbiert.
i0 = 0.0981748 ist der numerische Wert des analytisch berechneten Integrals.
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Konvergenz der Integralapproximation
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Konvergenz der Integralapproximation (logarithmisch)
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Die Differenz zwischen Trapezregel und Mittenregel kann als Konvergenzkriterium verwendet werden. Der dazugehörige Mathematica-Code ist:
Wir starten mit 5 Intervallen. Zur Sicherheit wird die maximale Anzahl Iterationen begrenzt. Das Resultat ist
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Handgestrickt: | 0.0981756 | aktueller Fehler: | 7.8853 ⋅ 10−7 |
Iterationen: | 8 | Fehlervorgabe: | 0.00001 |
Mathematica numerisch: | 0.0981748 | aktueller Fehler: | 2.22045 ⋅ 10−16 |
Mathematica symbolisch: | 0.0981748 | ||
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