Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung und einer Elektronenwolke der Ladung . Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander.
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Auf den positiven Kern wirkt die Kraft
(2.103) |
Auf die negative Elektronenwolke wirkt
(2.104) |
Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie
(2.105) |
(2.106) |
(2.107) |
(2.108) |
Das induzierte Dipolmoment ist
(2.109) |
und damit
Dabei ist die atomare Polarisierbarkeit (Einheit ).
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Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld ist
(2.111) |
da
(2.112) |
und damit
(2.113) |
Versuch zur Vorlesung: Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3) |
Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt
(2.114) |
Isolatoren in einem Kondensatoren
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Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist
(2.115) |
unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.
Andererseits ist
(2.116) |
abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können und unabhängig bestimmt werden.
In vielen Fällen sind und linear voneinander abhängig.
mit und
heisst die Dielektrizitätskonstante, die dielektrische Suszeptibilität.
Im Allgemeinen sind und Tensoren.
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Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem durch ersetzt wird.
Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.
Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.
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Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.
Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten
elektrischen Feld.
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Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.110) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.
Materialien
Folien zur Vorlesung vom 08. 05. 2008: PDF Seminar vom 05. 08. 2008. Aufgabenblatt 04a |
Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt (siehe Gleichung (2.19) ). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch . Wir betrachten eine Oberfläche , die ein Stück der Grenzfläche umschliesst. Dann ist
(2.118) |
Wir verwenden weiter eine Schlaufe , die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten
und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung
(2.119) |
An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
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Mit
können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das
Potential umgeschrieben werden
(2.120) |
In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Dielektrizitätszahl und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit sowie vom lokalen elektrischen Feld ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, .
(2.121) |
Die Polarisation hängt vom lokalen Feld wie folgt ab:
wobei die Dichte der induzierten Dipole ist.
Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti
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Zur Berechnung von und damit betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit , bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],das von einem externen Feld in der -Richtung hervorgerufen wird. Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte , analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5) ) ist der Beitrag von gegeben durch
(2.123) |
(2.124) |
(2.125) |
(2.127) |
(2.128) |
Die Rechnung verläuft folgendermassen
Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum
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Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor geringer als das Feld ohne Dielektrikum
(2.129) |
Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand ist
(2.130) |
Die Kapazität ist
(2.131) |
Also ist beim Plattenkondensator
(2.132) |
Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant
(2.133) |
Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,
(2.134) |
Versuch zur Vorlesung: Steighöhe im Kondensator (Versuchskarte ES-12) |
Die Energiedichte im Kondensator ist
(2.135) |
Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.
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Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.
Wie geht das?
Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung
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Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten [Kän78].
(2.136) |
(2.137) |
(2.138) | |||
(2.139) |
(2.140) |
(2.141) |
Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, , konstant. Die dielektrische Verschiebung und nicht das elektrische Feld bleiben konstant.
(2.142) |
(2.143) |
(2.144) |
(2.145) |
Othmar Marti