(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])
Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt, nun aber vom Ruhesystem der Platte aus.
Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.
Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.
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Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele
Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit
bewegt
werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.
Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem
ist
![$\displaystyle E_z = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$](img1060.gif) |
(3.302) |
wenn
die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist
![$\displaystyle B_x = \mu_0\cdot j = \mu_0 \cdot \sigma\cdot v_0 = \frac{v_0\cdot \sigma}{\varepsilon_0\cdot c^2}$](img1061.gif) |
(3.303) |
Die entsprechenden Felder im Bezugssystem
müssen nun berechnet werden. Auch in
sind die Platten homogen
geladen. Also haben wir
![$\displaystyle E_z' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$](img1062.gif) |
(3.304) |
und
![$\displaystyle B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\varepsilon_0\cdot c^2}$](img1063.gif) |
(3.305) |
Wir brauchen die Transformationsgesetze für
und
wenn
das Ruhesystem der Ladungen und
ist. Wir bekommen
![$\displaystyle \sigma' = \sigma\cdot\frac{\gamma_0'}{\gamma_0} = \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-v_0'^2/c^2}}$](img1073.gif) |
(3.307) |
und damit
Mit
berechnet man
Damit ist
![$\displaystyle E_z' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0} = \gamma\left(\frac {\sigma}...
...{\sigma v\cdot v_0}{\varepsilon_0c^2}\right)= \gamma\left(E_z-v\cdot B_x\right)$](img1085.gif) |
(3.310) |
und
![$\displaystyle B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\varepsilon_0\cdot c^2}=\gamma\le...
...sigma\cdot v}{\varepsilon_0 c^2}\right)=\gamma\left(B_x-\frac{v}{c^2}E_z\right)$](img1086.gif) |
(3.311) |
Damit sind die transversalen Felder
und
in
Linearkombinationen der Felder
und
in
.
Die Transformationseigenschaften von
und
erhält man, indem man die obige Anordnung um
um die
-Achse dreht. Dann gehen
über. Die Transformationsgleichungen sind dann
Lorentztransformation von und .
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Skizze zur Transformation eines longitudinale
-Feldes (links) und des
-Feldes (rechts).
Die Transformation des longitudinalen
-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur
Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines
Plattenkondensators12 nicht
vom Plattenabstand abhängt. Also ist
Also ist auch
![$\displaystyle E_y' = E_y$](img1108.gif) |
(3.315) |
Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule
berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist
![$\displaystyle B_y = \mu_0\frac{I\cdot N}{L}$](img1109.gif) |
(3.316) |
wobei
die Anzahl Windungen und
die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr
lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit
ist
![$\displaystyle B_y = \mu_0\frac{N}{L}\frac{dQ}{dt}$](img1112.gif) |
(3.317) |
Die Anzahl Windungen
und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann
![$\displaystyle B_y' = \mu_0\frac{N}{L'}\frac{dQ}{dt'}$](img1113.gif) |
(3.318) |
Mit der Längenkontraktion
und der Zeitdilatation
folgt, dass sich die
relativistischen Effekte kompensieren und damit
![$\displaystyle B_y' = B_y$](img1116.gif) |
(3.319) |
ist.
Bei einer Bewegung in die -Richtung mit
(
)
werden die elektrischen und magnetische Induktion wie
transformiert.
|
Im Vakuum gilt
. Die Lorentztransformation
für elektrische und magnetische Felder ist dann
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm